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科目名称：高等代数姓名：班级：考试时间：120分钟 考试形式：闭卷一、填空题（每小题5分，共25分）1、 在中，向量关于基的坐标为 。2、 向量组的秩为 ，一个最大无关组为 .。3、 （维数公式）如果是线性空间的两个子空间，那么 。4、 假设的特征根是 ，特征向量分别为 。5、实二次型 的秩为 二、是非题（每小题2分，共20分）1、如果线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合。（ ）2、在中，定义变换,其中，是一固定的数，那么变换是线性变换。（ ）3、设是向量空间的两个子空间，那么它们的并也是的一个子空间。（ ）4、两个欧氏空间同构的充分且必要条件是它们有相同的维数。（ ）5、 令是的任意向量，那么是到自身的线性变换。其中。（ ）6、 矩阵的特征向量的线性组合仍是的特征向量。（ ）7、 若矩阵与相似，那么与等价。（ ）8、 阶实对称矩阵有个线性无关的特征向量。（ ）9、 在中，若由所有满足迹等于零的矩阵组成，那么是的子空间。（ ）10、齐次线性方程组的非零解向量是的属于的特征向量。（ ）三、明证题（每小题分，共31分）1、设是线性空间的一组基，是上的线性变换，证明：可逆当且仅当线性无关。（10）2、设是维欧氏空间的一个线性变幻，证明：如果是对称变幻，=是单位变幻，那么是正交变换。（11）3、设是一个维欧氏空间，证明：如果都是得子空间，那么。（10）四、计算题（每小题8分，共24分）1、 求矩阵的特征根与特征向量，并求满秩矩阵使得为对角形矩阵。2、 求一个正交矩阵，使得使对角形式，其中。3、 化二次型 为平方和，并求所用的满秩线性变换。科目名称：高等代数姓名：班级：考试时间：120分钟 考试形式：闭卷一、填空题（每小题5分，共25分）1、 （3,4,1）2、 秩为2，一个最大无关组为3、 维（）+维（）=维（）+维（）4、 特征根是1，1，2，特征向量分别为5、秩为 3二、是非题（每小题2分，共20分）1、（是 ）2、（是 ）3、（是 ）4、（否 ）5、 （否 ）6、 （否 ）7、 （是 ）8、 （是 ）9、 （是 ）10、（是 ）三、明证题（每小题分，共31分）1、证明 设可逆，则存在，且也是的线性变换，（1）若线性相关，则，(2)即也线性相关，这与假设是基矛盾，故线性无关。(5)反之，若线性无关，因是维线性空间，故它也是的一组基，(7)故对中任意向量有，即存在，使，故为到上的变换。(8)若又有，使，即，因为是基，即，从而又是一一的变换，故为可逆变换。（10）2、证：,(4) = ,(8)=, (10)=0 ,（11）3、证：（1）,(5)同理， (8)则。 （10）四、计算题（每小题8分，共24分）1、解：=，则的特征根为，, (3)，它们对应的特征向量分别为， (6)易知线性无关，取，那么就得。(8)2、解：，则特征根为， (3)对应它们的线性无关的特征向量分别为， (6)他们单位化后分别为，取正交
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