八年级数学《频率与机会》教学案例与思考.doc

八年级数学频率与机会教学案例与思考 苏腾亮 案例背景 华东师大版数学教材八年级（上）第十五章统计与概率部分的一节课频率与机会，要求学生通过实验体验随机事件概率的意义：尽管随机事件在每一次实验中发生与否具有不确定性，但只要保持实验条件不变，那么这一事件发生的频率就会随着实验次数的增加而趋向稳定。我的教学设计要解决这样的问题：利用短暂的课内时间完成几百次、上千次的实验，使学生明白“随机事件在每次实验中发生的机会，可以用该事件在大数次重复实验中发生的频率来估计”。为此，我准备了供学生进行实验的必要器材，并制作了Flash课件（见本刊网络版），以便进行模拟实验。本文描述了教学实况和我的一些思考。 我为本课制订的教学目标是：1.通过大数次实验的观察，使学生了解随机事件发生的频率是稳定的；2.通过讨论，使学生体验用频率的稳定值估计机会的合理性；3.使学生初步掌握实验的基本程序、方法，用比较准确的语言概括实验结果，培养他们的探索意识，合作精神。 教学环节预设及意图 实验利用“转盘”进行，以三项任务驱动学生操作和思考，实现教学目标。 任务一：组织学生自主探究转盘上的指针停留在某种颜色区域的机会究竟跟什么有关：是此种颜色区域的面积，还是指针在此颜色区域转过的角度？要由学生自己来解决，用自己的语言来表述。 任务二：组织学生设计转盘，使指针停在蓝色区域的机会为/。要求学生尽可能突破思维束缚，发挥想像力，通过设计，深化对任务一所得出的结论的理解。 任务三：利用青年学生对歌星的崇拜心理，设计一个关于“索取周杰伦签名照”的假想场景，让学生来猜一猜、动手试一试，明确有的随机事件非得通过大数次实验才能发现其发生的机会，从而使学生体验模拟实验的必要性和可靠性，对学生进行科学态度和科学方法的教育。 案例描述 一、像科学家那样去探究问题 为了让学生体会到“指针停在蓝色区域的机会等于指针在蓝色区域转过的角度的总和与360的比值”，并用自己的语言表述出来，我设计了一连串问题。 用幻灯片出示如图的转盘。学生知道，用力旋转转盘，当转盘停下时，指针可能指向红色，也可能指向蓝色。 问题一：请每一个同学选择一种颜色，当转盘停下时，指针指向哪一种颜色，选择这种颜色的同学就获胜。你会选择哪种颜色？ 学生齐刷刷地回答：当然是红色。当我问为什么时，学生几乎也是齐刷刷地回答：红色面积比蓝色面积大。 这是一个忽视前置条件的答案，显然缺失了数学思维的严谨性。所以我马上出示了如图2的幻灯片，提出问题二。 问题二：用力旋转转盘甲和转盘乙，如果你想让指针停在蓝色上，选择哪个转盘能使你成功的机会比较大？ 这个问题马上引起了学生的深思。大部分同学都回答“转盘甲和乙上，指针停留在蓝色区域的机会一样大”，但也有两位同学说转盘乙的机会大。我让学生以四人小组为单位进行验证。每组有统一制作的一大一小两只转盘，同桌两人一只转盘，一人转动，一人在表格中记录指针停在蓝色区域的次数。各转动转盘次，最后把数据汇总到老师的电脑上。这个实验进行了十分钟。根据各小组的汇总数据制作的Excel图表出现在屏幕上：两只转盘的指针停留在蓝色区域的频率与/的差，绝对值都在0.10.2之间，“机会一样大”的猜测初步得到验证。我再用电脑进行模拟实验：每只转盘各转了10000次，显示指针停留在蓝色区域的机会分别为0.252（甲）和0.249（乙），这两个频率与/的差，绝对值都不超过0.002。学生由此感受到“频率随着实验次数的增加而趋于稳定”的事实。 于是我开始启发：刚才大家认为指针停留在蓝色区域的机会由蓝色区域的面积大小决定，可是转盘乙的蓝色区域面积显然比转盘甲大，为什么转动这两个转盘，指针停留在蓝色区域的机会却几乎相同呢？谁能修正一下刚才的判断？ 仅仅思考分钟，就有一位同学对原先的结论进行修改：蓝色区域所占的面积占总面积的比越大，指针停留在蓝色上的机会也越大。 适当的问题有利于学生意识到他们的结论不严谨，修改后的结论显然比第一次的说法准确些。但要使这个判断成为真命题，还是缺少前提转盘必须是圆盘，转轴在中心。于是我出示了图所示的三只转盘，用问题三启发学生继续思考。 问题三：转动哪一个转盘，指针停留在蓝色区域的机会比较大？ 幻灯片一出现，同学们纷纷脱口而出，有的说正方形，有的说正八边形。没等我说话，他们又自己统一了意见：正方形和正八边形转盘的机会一样大，都是/，正三角形转盘的机会最小。 我追问：为什么？马上有一位同学说：因为在正方形和八边形中，蓝色区域都占了总面积的/，而三角形中，蓝色区域占总面积的比不到/。 这时，一位平时爱动脑筋的同学突然醒悟：老师，我认为这三个转盘指针停留在蓝色区域的机会都是/。我马上请他说说理由。这位同学很自信地说：指针在蓝色区域上转过的角度都是90，90是360的/。 “同意他的说法的同学请举手。”我说完一看，举手者寥寥无几，可见许多同学对这种说法并没有立刻认可。这与我的估计相同。 于是我让大家回到实验中去寻找规律。为了节省时间，我让个小组用正方形转盘做实验，另个小组用正三角形转盘做实验。最后汇总统计结果显示：正方形转盘和正三角形转盘指针停留在蓝色区域的频率都接近/。 此时我问同学们：“蓝色区域的面积占总面积的比越大，指针停留在蓝色上的机会也越大”这句话还需要修改吗？ 下面是两位同学的修正意见： “指针旋转一周，在蓝色区域转过的角度越大，机会越大。” “干脆说，指针在蓝色区域转过的角度与360的比值，就是指针停留在蓝色区域的机会。” 一步步的问题设置，让学生逐渐说出指针指向蓝色区域机会的实质。此前我给另一个班级上同一节课时，有一位同学的思考更精彩：“用剪刀把这三个转盘都修剪成圆，如图，就能发现它们的指针停留在蓝色区域的机会是相同的。”从特殊中发现一般，闪耀着理性思考的光辉。 在上述探究活动中，我尽可能让学生多动手操作，怕数据不够多，我用汇总各小组数据和电脑模拟的方法，解决了“利用短暂的课堂教学时间完成几百次、上千次实验”的难题。学生的活动和思考过程，除了使他们亲身体验偶然性中蕴涵必然性的道理，对他们的发展至少还有以下两方面的意义。 培养实事求是的科学态度。明白学习数学，既要大胆猜想，又要小心求证。求证不外乎两种方法，一是逻辑推理，如以上最后三位学生的思考；二是实践验证，动手实验用的就是这种方法。 发展概括能力。我没有把概率的计算方法简单地告诉学生，而是让学生像科学家那样不停地观察、猜测、验证和反思，逐渐修正自己的判断，使之一步步趋向完善、准确，最终自己得出概率的计算方法。这中间，学生用自己的语言比较准确地概括自己发现的规律，认识不断强化。著名数学家，北师大的教授曹才翰说过，概括能力是数学能力的核心。重教学过程，特别要精心设计这样的思维活动过程，发展学生的数学能力才不会成为空话。 二、放飞想像，深化理解 在这个环节中，我首先提出下面的问题。 问题四：河坊街有“捏糖人”的摊子，花两块钱转一下如图的转盘，指针停留在哪块区域，你就能得到上面所标的那种“糖人”。非常吸引孩子。 我的女儿非常希望得到她喜欢的“老鼠拖油瓶玩具。你认为她玩一次转盘，实现愿望的机会有多大？ 老师观察许久，发现玩的孩子得到的大多是一块糖或一个廉价的气球。你认为这是为什么？ 学生纷纷通过量角器度量，做出了正确的回答，理由也说得非常清楚，说明他们真正理解了玩这样的转盘，“角度决定机会大小”的结论。 在此基础上，我要求学生设计一个转盘，使指针停留在蓝色区域的机会等于。学生的设计五花八门，转盘形状也突破了中心对称的限制。 三、到实验中寻找规律，学会用数据说话 本节课的课题是在实验中寻找规律，能不能找一个学生难以预见机会大小的问题，让他们更深刻地体会实验的重要性呢？正好月日周杰伦在杭州召开了个人演唱会，我以此为背景设置了一个问题。 问题五：某矿泉水厂家在月日的周杰伦杭州个人演唱会上做广告，说买一瓶矿泉水可以转一次如图所示的转盘，获得一张相应颜色的卡片。集齐三种颜色的卡片就可以得到一张周杰伦的签名照。周杰伦的歌迷们互不认识，因而不可能互换卡片。问：他们平均要买几瓶矿泉水才能得到一张周杰伦的签名照？ 学生的回答有平均买6瓶、12瓶，甚至买27瓶的。我终于忍不住：这些人好像手气太差了一点，我看大家还是动手试一试吧。 各四人小组在三色转盘上试，我则用课件在计算机上进行了转盘实验。结果连同我共十组，每组都集齐三种颜色，共得到10张周杰伦的签名照，为此一共买了46瓶矿泉水，平均每组买4.6瓶。 学生不理解“平均”问题为什么可以归结为概率。由于这不是本节课的教学内容，因而不必补充这个知识。让学生通过实际操作体验实验的意义，这才是我们的目的。 我又提出问题：如果有1000个人，每人要一张签名照，他们也平均要买4.6瓶矿泉水吗？ 学生摇头：不会的。那么为什么呢？几个同学齐声答：刚才的数据太少了，说明不了问题。这正好是我要强调的。根据同学们的要求，我用计算机进行模拟实验，输入数据1000，即有1000人想得到照片，转盘共转了5428次，平均每人转.次。观察计算机上的频率走势图，可以看到：在得到50张、100张签名照时，平均购买瓶数分别是5.6和5.9，频率起伏较大；随着输入数据的增加，慢慢地这条线变平稳了；到500张后，就渐渐稳定在5.5和5.4附近。这时陆陆续续有学生说：好像平均买5.5瓶矿泉水吧，太不可思议了！ “要是还想不通，我们把数据增加到10000吧。如果还是5.5左右，你能相信吗？”我似乎跟学生商量。结果运气特好，平均数非常接近5.5。学生不由感叹：真不可思议，这也有规律？！ 这个教学片断的目的是落实本课的基本要求，让学生真正相信“尽管随机事件在每一次实验中发生与否具有不确定性，但只要保持实验条件不变，那么这一事件出现的频率就会随着实验次数的增加而趋于稳定”这个道理。不通过实验，学生无法凭经验猜出这个规律。这个教学片断也教育学生要树立科学的实验观，坚持用真实的数据说话。 案例反思 1.兴趣来自现实生活 华东师大的数学教材关于概率与统计的知识是从七年级到九年级逐步展开和深化的，教学中老是用抛掷硬币和骰子这两种活动，会使学生厌倦。这节课我换了新鲜的学具（转盘）和新鲜的话题，由于它们都来自学生的生活，所以迎合学生的心理，使学生产生浓厚的探究兴趣并得以保持。 2.以问题为线索组织学习活动 从问题出发进行教学，是上海青浦教改实验的重要经验之一。曹才翰教授在总结青浦经验时说过，有问题才会有思考，思维总是指向问题解决的。在这节公开课上，我从头到尾都用一步步递进的问题启发学生的思维，力求使学生的思维像剥笋一样一步步深入，语言表达一步步精确，让学生的思维经历了从混沌到清晰、从似是而非到把握本质，体会到数学思考的乐趣、探索成功的喜悦。 3.合