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数学思想在直线位置关系中的活用举隅邮政编码：444303 湖北省巴东县第三高级中学 联系人：许贤永 电话学思想是数学中的一朵奇葩，它贯穿于数学界的各个领域，在直线位置关系中也不例外，若能根据题中的信息“暗示”，合理采用不同的数学思想去解决实际问题，能达到化繁为简、条理清晰、事半功倍的良好效果。一、“补集思想”的运用例1.已知三直线：， ：， ：，当为何值时，三直线能构成三角形？解： 三条直线能构成三角形 三条直线两两相交且不共点，即任意两条直线都不平行且三线不共点. 若：三条直线相交于一点.则联立、的方程，解得、的交点A（）又点A在上， 解得：或 若：，则， 解得 若：，则，解得 若：，则， 解得 综上所述，当且仅当时，三条直线能构成三角形。点评：该题欲解决“三直线能构成三角形”的问题，但解答时巧妙利用“补集想想”：先求“情况较少”的“三直线不能构成三角形”的问题，使该题的解答达到了化繁为简的目的。二、分类讨论想想的运用例2.已知集合A=（），B=（）()满足AB=，求实数的值。解：（1）当时，B=，则AB=，符合题意. （2）当时，. 若（2，3）,由题意可知（2，3） ， 此时AB=，符合题意. 将（2，3）代入()中， 解得：或 . 若（2，3）B，由两条直线 和平行得， 解得 此时:A= B=2y+15=0 AB=.综上所得：或或或时，AB=.点评：此题要满足AB=，必须分三种不同的情况具体进行分析“A=时”、“B=时”、“A、B都不为时”，否则，将会使问题难以得到正确的答案。特别要注意的是：集合A=（）代表的是“挖去”了点（2，3）的一条直线。 三、化归思想的运用例3.已知： 为实数，两条直线：，：相交于一点，求证：交点不可能在第一象限及轴上。解：由题意有 解得交点（-，）若0时， 则而当时，-此时交点在第二象限内. 又为任意实数时，都有， 此时交点不可能在轴上.所以，符合题意的交点不可能在第一象限及轴上。点评：此题欲判断交点在哪一个象限，只需判断交点的符号即可，然而先通过联立直线方程将交点坐标解出后，由于交点的横、纵坐标中含有“参数”，则问题“化归”成求交点的横、纵坐标形成的函数值域问题了（即判断交点的横、纵坐标的取值
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