高等数学期末复习--多元函数微分学.doc

高等数学期末复习第九章 多元函数微分学一、内容要求1、会求简单二元函数定义域2、会求多二元函数表达式和值3、会求简单二元函数的极限4、掌握二元函数偏导数定义，性质，能确识别二元函数偏导数定义形式，得出偏导数正确表达5、会求二元函数偏导数值：求偏导函数，代入点求值6、会求二元函数微分值：求偏导函数，代入点求微分表达式7、会按一元函数求导法则求直接函数的偏导数8、会由轮换对称性确定多元函数对称元导数9、会用链式规则求抽象形式多元函数的偏导数10、会求多元函数全微分11、会求多元隐函数的偏导数12、会求二元函数驻点，判定二元函数极值的存在性13、能观察出简单多元函数极值情况14、能应用多元函数求极值方法解决简单应用问题15、会求空间曲面的切平面、法线方程16、会求空间曲线的切线、法平面方程17、会求多元函数的方向导数18、会求多元函数的梯度二、例题习题1、二元函数的定义域是( ) A. B. C. D. 解：使函数有意义，只要，即，所以，选B. （内容要求1）2、函数的定义域为 ；解：使函数有意义，只要，所以填（内容要求1）3、设则( ).(A) (B) (C) (D) 解：令，则，于是即由函数与自变量记号选取无关性有。所以选D。（内容要求2）4、设，则 ；解：，所以填。（内容要求2）5、 ( )；A. B. C. D. 解：所以选A。（内容要求3）6、 ；解：所以填0。（内容要求3）7、 ；解：，所以填2。（内容要求3）8、函数在点处存在偏导数，则 ( )；A B C D解：由偏导数定义，所以选C。（内容要求4）9、 函数在点处存在偏导数，则 ( )；A B C D解：由偏导数定义，所以选B。（内容要求4）10、 函数在点处存在偏导数，则 ( )；A B C D解：由偏导数定义，所以选A。（内容要求4）11、函数在点处偏导数存在是在点处连续的( )；A充分必要条件 B必要条件 C充分条件 D既不充分也不必要条件解：选D。（内容要求4）12、设函数，则( ).(A) 1 (B) (C) (D) 解：，所以，所以选C。（内容要求5）13、设，则( ).(A) (B) (C) (D) 解：，所以，所以选C。（内容要求5）14、，则 解：，所以，故，所以填。（内容要求6）15、设，则 解：，所以，故，所以填。（内容要求6）16、设，则( )；A. B. C. D. 解：，所以选D。（内容要求7）17、 设，则( ).(A) (B) (C) (D) 解：，所以选A。（内容要求7）18、设，则( ). (A) (B) (C) (D) 解：，所以选D。（内容要求7）19、设，则( )；A. B. C. D. 解：，所以选D. （内容要求7）20、设， 解：，所以填。（内容要求7）21、 若函数，则 解：，所以填。（内容要求7）22、设，验证。解：，将上述导数代入式子左端得0，所以等式成立。（内容要求7）23、设，求. 解：由在表达式中的对称性，。（内容要求8）24、设，求解：由在表达式中的对称性，所以，。（内容要求8）25、设，求 解：，由在表达式中的对称性，所以，（内容要求8）26、 设，求.解：，由在表达式中的对称性，。（内容要求8）27、设，验证-=0.解：由在表达式中的对称性，将上述各导数代入式子左端得0，所以等式成立。（内容要求8）28、设，求全导数.解：。（内容要求9）29、，求及全微分.解： ，全微分为。（内容要求9）30、设,其中可微，则 解：，所以，所以填.（内容要求9）31、设，其中有一阶连续偏导数，求. 解：量（内容要求9）32、 设，其中有一阶连续偏导数，求. 解：。（内容要求9）33、 有连续偏导数，求解：，所以，（内容要求9）34、设则的全微分( ). (A) (B) (C) (D) 解： 所以，所以选A。（内容要求10）35、函数的全微分为 解：，所以。所以填。（内容要求10）36、设，则( ).(A) (B) (C) (D) 解：，所以选B。（内容要求11）37、设是由方程所确定的隐函数，则( ).(A) (B) (C) (D) 解：，所以选B。（内容要求11）38、设是由方程所确定的隐函数，则有( ).(A) (B) (C) (D) 解：，同理，所以选A。（内容要求11）39、设方程确定了二元函数，则 解：，所以填。（内容要求11）40、 设方程确定了二元函数，则 解：所以填。（内容要求11）41、设方程确定了二元函数，则 ;解：，所以填。（内容要求11）42、设方程确定了二元函数，则 ;解：，所以填。（内容要求11）43、设方程确定了二元函数，则 ;解：，所以填。（内容要求11）44、设函数，则 ( )(A) 不是的驻点 (B) 是的驻点，但非极值点 (C) 是的极小值点 (D) 是的极大值点解：因为满足，所以是驻点，又有，是的极大值点。故选D。（内容要求12）45、设，则它在点(1,0)处( ) A.取得极大值 B.无极值 C.取得极小值 D.无法判断是否有极值解：，所以无驻点，不存在偏导数不存的点，故选B。（内容要求12）46、设，则它在点(2，-2)处( ) A.取得极大值 B.无极值 C.取得极小值 D.无法判断是否有极值解：，故选A。（内容要求12）47、 函数在驻点处 ( )(A) 取到极小值 (B) 取到极大值 (C) 取不到极值 (D) 无法判断是否有极值解：故选A。（内容要求12）48、 二元函数在处( );A. 无法判断是否有极值 B. 取不到极值 C. 取到极大值 D. 取到极小值解：，故选C。（内容要求12）49、 二元函数的极小值点为( );A. B. C. D. 解：，故选C。（内容要求12）50、 二元函数的极大值点为( );A. B. C. D. 解：，故选D。（内容要求12）51、 函数的极大值为 ；解：显然在（0，0）处取极大值3，所以填3。（内容要求13）52、 函数的极小值为 解：显然在（0，0）处取极小值5，所以填5。（内容要求13）53、某养殖场饲养两种鱼，若甲种鱼放养（万尾），乙种鱼放养（万尾），收获时两种鱼的收获量分别为：和，（），求使产鱼总量最大的放养数.解：产鱼总量，所以解得，由实际问题，产鱼总量最大的放养数是甲种鱼放养（万尾），乙种鱼放养（万尾）（内容要求14）54、曲面在点的切平面方程为( ).(A) (B) (C) (D) 解：，所以，在点的法向量为，所以在点的切平面方程为，整理得。所以选A。（内容要求15）55、曲面在点的法线方程为( ).(A) (B) (C) (D) 解：由前题已求得在的法向量为，所以选C。（内容要求15）56、 曲面在点处的切平面方程为( ).(A) (B) (C) (D) 解：令，则，由此得处法向量为，所以得切平面方程为，所以选C。（内容要求15）57、曲面在点处的法线方程为( ).(A) (B) (C) (D) 解：令，则，由此得处法向量为，所以法线方程为，所以选A。（内容要求15）58、曲面在点处的切平面方程为 ， 法线方程为 解：令，由此得处法向量为，切平面方程为法线方程为。（内容要求15）59、曲线，在对应于点处的切线方程是( ).(A) (B) (C) (D) 解：，在点处的切向量为，所以切线方程为C。所以选C。（内容要求16）60、曲线在点处的切线方程为， 法平面方程为 ;解：，所以切向量为，切线方程为，法平面方程为（内容要求16）61、在曲线上求出其切线平行于平面的切点坐标.解：设切点处参数为t，由，得切点处切向量为。又平面的法向量为，于是，故切点坐标为或。（内容要求16）62、函数在点P(1,0)处从点P(1,0)到Q(2,-1)的方向的方向导数为( )A. B. C. D.解：点P(1,0)处从点P(1,0