线性规划问题专题_北师大版.doc

线性规划问题专题题型1. 求约束条件及平面区域的面积例1 .双曲线的两条渐近线与直线x=3围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是（ ）A. B. C. D. 【解题思路】依据平面区域的画法求解.解析双曲线的两条渐近线方程为，两者与直线围成一个三角形区域时有，故选A。【思路点拨】本题考查了双曲线的渐近线方程以及平面区域画法。例2.不等式组表示的平面区域的面积为_【解题思路】作出平面区域,再由平面几何知识求面积.ABC解析不等式表示直线上及右上方的平面区域,表示直线 上及右上方的平面区域,表示直线上及左边的平面区域，所以原不等式表示的平面区域如图中的阴影部分,其中,故所求面积【思路点拨】准确无误作出平面区域是解这类题的关键.题型2. 线性规划中求线形目标函数的最值问题l0例1. 设，式中变量满足条件，求的最大值和最小值.【解题思路】按解题步骤求解.解析作出可行域如图8-3-6所示,作直线:上, 作一组平行于的直线：，可知:直线往右平移时，随之增大。由图象可知,当直线经过点时，对应的最大，当直线经过点时，对应的最小，所以，【思路点拨】要注意到线性目标函数的最大(小)值往往是在边界处取到.例2. 已知满足不等式组，求使取最大值的整数【解题思路】先作平面区域,再作一组平行线：平行于：进一步寻找整点.解析不等式组的解集为三直线：，：，：所围成的三角形内部（不含边界），设与，与，与交点分别为，则坐标分别为，作一组平行线：平行于：，当往右上方移动时，随之增大，当过点时最大为，但不是整数解，又由知可取，当时，代入原不等式组得， ；当时，得或， 或；当时， ，故的最大整数解为或【思路点拨】在平行域内找整点最优解，一般采用平移找解法，即打网格，描整点，平移直线，找出最优解题型3 求非线性目标函数的最大（小）值例1. 已知，求：（1）的最小值;（2）的范围【解题思路】分别联想距离公式和斜率公式求解【解析】作出可行域，并求出顶点的坐标、（1）表示可行域内任一点到定点的距离的平方，过M作直线AC的垂线，易知垂足N在线段AC上，故的最小值是（2） 表示可行域内任一点到定点连线斜率的两倍；因为，故的取值范围为【思路点拨】求非线性目标函数的最大（小）值问题的关键是从目标函数联想到相对应的几何意义.最常见的是两点间的距离和斜率公式. 题型4 线性规划在实际问题中的应用题型:在线性规划模型下的最优化问题.例1.(2008揭阳一模) 为迎接2008年奥运会召开，某工艺品加工厂准备生产具有收藏价值的奥运会标志“中国印舞动的北京”和奥运会吉祥物“福娃”.该厂所用的主要原料为A、B两种贵重金属，已知生产一套奥运会标志需用原料A和原料B的量分别为4盒和3盒，生产一套奥运会吉祥物需用原料A和原料B的量分别为5盒和10盒.若奥运会标志每套可获利700元，奥运会吉祥物每套可获利1200元，该厂月初一次性购进原料A、B的量分别为200盒和300盒.问该厂生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套才能使该厂月利润最大，最大利润为多少？【解题思路】将文字语言转化为数学式子建立线性规划模型.解析:设该厂每月生产奥运会标志和奥运会吉祥物分别为套，月利润为元，由题意得 （）目标函数为作出可行域如图所示目标函数可变形为，当通过图中的点A时，最大，这时Z最大。解得点A的坐标为（20,24），10分将点代入得元答:该厂生产奥运会标志和奥运会吉祥物分别为20，24套时月利润最大，最大利润为42800元.【思路点拨】要注意到生产的产品数量是整数这一隐含条件.一、知识梳理、二元一次不等式（组）表示平面区域1.一般地，二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线 某一侧所有点组成的平面区域，我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线。2.在坐标系中画不等式所表示的平面区域时，此区域应包含边界直线，则把边界直线画成实线。3.二元一次不等式表示平面区域的快速判断法：(1)B值判断法区域不等式直线上方直线下方直线下方直线上方注：主要看不等号与B的符号是否相同，若同向，则在直线上方；若异向，则在直线下方，简记为“同上异下”。(2)特殊点判断法在直线的同一侧的所有点，把它的坐标代入，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点，的正负即可判断表示直线的哪一侧平面区域。具体方法：当时，取原点，当原点坐标使成立时，就是含原点的区域，不成立时，就是不含原点的区域。当时，取或，使不等式成立的就是含取点的一侧；不成立就是另一侧。、简单的线性规划1约束条件：二元一次不等式组是一组对变量x，y的约束条件，这里约束条件都是关于x，y的一次不等式，所以又称线性约束条件。2目标函数：（a，b是实常数）是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式，叫做目标函数。由于又是x，y的一次解析式，所以又叫做线性目标函数3最优值：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足现行约束条件的解叫做可行解；由所有可行解组成的集合叫做可行域；使得目标函数取得最值的解叫做这个问题的最优解。4最优值的两种判断方法：将目标函数的直线平行移动，最先通过的或最后通过的顶点便是最优解；利用围成可行域的直线斜率来判断，若围成可行域的直线的斜率分别为 ，而且目标函数的斜率为，则当时，直线相交的点为最优解。（3）线性规划的实际应用利用图解法解决线性规划问题的一般步骤： 作出可行解、可行域，将约束条件中的每一个不等式当作等式，作出相应的直线，并确定原不等式表示的半平面，然后求出所有半平面的交集； 作出目标函数的等值线； 求出最终结果，在可行域内平行移动目标函数等值线，从图中能判断问题有唯一最优解，或者有无穷最优解，或者无最优解。、基础题型探析例1画出下列不等式（组）表示的平面区域。（1）；（2）解：（1）先画出直线（画成虚线）取原点（0，0），代入，得，则原点在表示的平面区域内，不等式表示的区域如图1所示。（2）不等式组表示的平面区域是各不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。不等式表示直线上及右下方的点的集合，表示直线上及右上方的点的集合，表示直线上及左方的点的集合，所以不等式组表示的平面区域如图2所示。评注：二元一次不等式（组）表示平面区域，要判断一个二元一次不等式所表示的平面区域，只需在它所对应直线的某一侧取一个特殊点，从的正负判定即可不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分例2求不等式组表示的平面区域的面积。解：不等式表示直线上及右下方的点的集合。表示直线上及右上方的点的集合。表示直线上及左方的点的集合。所以不等式组表示的平面区域如图所示。因此其区域面积也就是的面积。显然，为等腰直角三角形，B点坐标为（）由点到直线的距离公式：故不等式组表示的平面区域的面积等于36。评注：求平面区域的面积，先要画出不等式组表示的平面区域，然后根据区域的形状求面积解本题时要注意到为等腰直角三角形，点B到直线AC的距离即为ABC的腰长|AB|，由点到直线的距离公式求得|AB|，面积便可求出因此在作出二元一次不等式组表示的平面区域后，要利用图形的形象直观性观察分析图形的结构特征，挖掘其隐含条件，找到解题的捷径例3已知变量满足，求的最大值和最小值。解：设，则z的几何意义是直线在y轴上的截距，显然，当直线越往上移动时，对应在y轴上的截距越大，即z越大；当直线越往下移动时，对应在y轴上的截距越小，即z越小。作一组与平行的直线系，经上下平移，可得：当移动到时，即过点A（5，2）时，；当移动到时，即过点B（1，1）时，评注：求目标函数的最值，把每一个二元一次不等式所表示的平面区域在平面中准确地表示出来，然后求交集，就是不等式组所表示的平面区域，但要注意是否包括边界求目标函数的最大值或最小值，必须先求出准确的可行域，作出目标函数的等值线，根据题意，确定取得最优解的点，从而求出最值例4某工厂制造A种仪器45台，B种仪器55台。现需用薄钢板给每台仪器配一个外壳。已知钢板有甲、乙两种规格：甲种钢板每张面积2 m2，每张可做A种仪器外壳3个和B种仪器外壳5个，乙种钢板每张面积3m2，每张可做A种仪器外壳6个和B种仪器外壳6个。问甲、乙两种矩形钢板各用多少张才能用料最省？（“用料最省”是指所用钢板的总面积最小）解：设用甲种钢板x块，乙种钢板y块，由题意 （*）钢板总面积，适合不等式组（*）的点的集合如图阴影所示。直线与直线的交点P（5，5），当直线经过P点时S最小。甲种钢板、乙种钢板各用5张时用料最省。本例是实际生产中合理下料问题，要求得到的最优解是整数解，简称整点最优解。评注：解线性规划应用题的步骤：（1）转化设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题。（2）求解解这个纯数学的线性规划问题。 求解过程：作图画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平面直线系中的任意一条直线。 平移将平行移动，以确定最优解所对应的点的位置。 求值解有关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值（3）作答就应用题提出的问题作出回答。二、线性规划问题常见题型、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题直线的截距型（或截距的相反数）例1.设变量x、y满足约束条件，则的最大值为。图1书、11解析：如图1，画出可行域，得在直线2x-y=2与直线x-y=-1的交点A(3,4)处，目标函数z最大值为18xyO22x=2y =2x + y =2BA例2.若x、y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是（ ）A、2,6B、2,5C、3,6D、（3,5解：如右上图，作出可行域，作直线l：x+2y0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选A、线性约束条件，非线性目标函数当目标函数时非线性函数时，一般要借助目标函数的几何意义，然后根据其几何意义，数形结合，来求其最优解。近年来，在高考中出现了求目标函数是非线性函数的范围问题.这些问题主要考察的是等价转化思想和数形结合思想,出题形式越来越灵活,对考生的能力要求越来越高.常见的有以下几种：1.比值问题：直线的斜率型关于目标函数的非线性类型常见有以下4种：（1）斜率型，如；（2）距离型（两点距离和点线距离），比如（2010福建理8）：设不等式组所表示的平面区域是,平面区域是与关于直线对称,对于中的任意一点A与中的任意一点B, 的最小值等于( ) A. B.4 C. D.2由题意知，所求的的最小值，即为区域中的点到直线的距离的最小值的两倍，画出可行域，可知点（1，1）到直线的距离最小，故的最小值为，所以选B。（3）面积型， 如例2中求的范围，它表示以为长与宽的矩形的面积。当点在点（-3,1）时，取最大值3；当点在以点（-2,0）、（-1,0）为端点的线段（不包括端点）上时，取最小值0。答案。（4）椭圆型，如，可化为，它表示焦点在横轴，有相同离心率的相似椭圆。故求目标函数的值域，相当于求椭圆长半轴范围。当椭圆过点时，；当椭圆过点时，所以。2.距离问题当目标函数形如时,可把z看作是动点与定点距离的平方，这样目标函数的最值就转化为PQ距离平方的最值。例3.已知实数x、y满足不等式组,求函数的值域.解析：所给的不等式组表示圆的右半圆(含边界)， -22Oxy（-1，-3）-2可理解为过定点，斜率为的直线族则问题的几何意义为：求过半圆域上任一点与点的直线斜率的最大、最小值由图知，过点和点的直线斜率最大，过点所作半圆的切线的斜率最小设切点为，则过B点的切线方程为又B在半圆周上，P在切线上，则有解得因此。综上可知函数的值域为 当目标函数形如时,可把z看作是动点与定点连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ连线斜率的最值。 例4.（09沈阳高三质检）已知函数在内取极大值，在内取极小值，求的取值范围。 【解析】在内取极大值，在内取极小值方程即的两根分别落在区间（0,1）和（1,2）内，且满足（约束条件）目标函数表示可行域内的点到点的距离的平方。易求得答案。 【点评】本题的约束条件较隐蔽，考查导数与单调性、极值的关系。2.距离型（1）平面内两点间的距离型（或距离的平方型）例5.已知求x2y2的最大值与最小值.解：作出不等式组表示的平面区域（如图）.设x2y2z，则z是以原点为圆心的圆的半径的平方.当圆x2y2z过点B（2，3）时，取得最大值，从而z取得最大值zmax223213；当圆x2y2z与直线AC：2xy20相切时，取得最小值，从而z取得最小值.设切点坐标为（x0，y0），则解得x0，y0.因此，zmin.故，当x2，y3时，x2y2取得最大值13；当x，y时，x2y2取得最小值.例6. 已知实数x、y满足，则的最值为_.解析：目标函数，其含义是点(2,2)与可行域内的点的距离的平方。由实数x、y所满足的不等式组作可行域如图所示： -111Oxy（2，2）x+y-1=0-1ABC可行域为图中内部（包括边界），易求B（-2，-1），结合图形知，点(2,2)到点B的距离为其到可行域内点的最大值，；点(2,2)到直线x+y-1=0的距离为其到可行域内点的最小值，。（2）点到直线的距离型例7.已知实数x、y满足的最小值。解析：目标函数，其含义是点(-2,1)与可行域内的点的最小距离的平方减5。由实数x、y所满足的不等式组作可行域如图所示（直线右上方）：(-2,1)1Oxy2x+y=1点(-2,1)到可行域内的点的最小距离为其到直线2x+y=1的距离，由点到直线的距离公式可求得，故同步训练：已知实数x、y满足,则目标函数的最大值是_。答案：13；3截距问题例8.不等式组表示的平面区域面积为81，则的最小值为_解：令，则此式变形为，z可看作是动抛物线在y轴上的截距，当此抛物线与相切时，z最小，故答案为4向量问题例9. 已知点P的坐标（x，y）满足：及A（2，0），则的最大值是 .解析 =|cos AOP即为在上的投影长由cos AOP的最大值为5.5.约束条件非线性线性规划是新课标的一大热点和必考内容，随着其内容向纵深发展，考查形式多样化，与之密切相连的姊妹“非线性规划”逐渐浮出水面，活跃在近年的高考题和竞赛题中。“具有非线性约束条件或目标函数的数学规划，是运筹学的一个重要分支。非线性规划研究一个 n元实函数在一组等式或不等式的约束条件下的极值问题，且目标函数和约束条件至少有一个是未知量的非线性函数。”目标函数和约束条件都是线性函数的情形则属于线性规划。根据“非线性规划”的定义，可将其分为三种类型：约束条件为非线性，目标函数为线性；约束条件为线性，目标函数为非线性；约束条件和目标函数同时为非线性。对于前两种类型，我们较熟悉，平时教学和高考中经常出现。而对于第三种类型则比较少见，一般出现在竞赛中。下面，笔者结合几道典型的题目，根据三种类型，着重谈谈非线性规划在函数值域中的应用。（1） 约束条件为非线性，目标函数为线性例10.已知实数满足，求的值域。【点评】本题是一道常规题，老师们都比较熟悉，就不再赘述了。但下面一道题，就有点特别：例11. 已知a, b 都是不为零的常数且，变 量 满 足 不 等 式 组:，试求的最大值.【解析】换元，令，约束条件转化为，目标函数。（1）若，画出可行域（图1）：弧，由图可知；（2）若，画出可行域（图2）弧，。通过以上例题分析，不难发现，非线性规划问题突出数形结合、化归与转化思想，体现在知识交汇处命题的理念。因此，应该引起我们的重视。（2）约束条件和目标函数均为非线性例12. （第二届“南方杯”）设a、b是两个给定的正实数，实数x、y满足，试求的取值范围（值域）.【解析】本题的约束条件是，目标函数是。那么，可行域怎么画呢？也就是二次曲线表示什么图形？这是一个有着高等数学背景的题目，它是一个二次型，我们要通过变换，将其化为标准型。令。代入约束条件得 - 这表示的是什么曲线？椭圆、圆、双曲线？我们需要分类讨论。因为都是正数，所以，且。只需对的符号进行分类讨论。 当时，式表示的是焦点在轴上的椭圆。如图，目标函数=中的几何意义表示可行域中的点到原点距离的平方。显然，在上图中点运动到顶点处，最大；点运动到顶点处，最小。故此时的值域为。 当时，式表示的是焦点在轴上的双曲线。如图，当运动到顶点或处，最小；随着双曲线的无限延伸无最大值。故此时f的值域为。 当时，式表示的是两条平行直线，如图：同理，当运动到点或处，最小，无最大值。此时f的值域仍为。【点评】当约束条件为非线性时，可行域常涉及圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线或曲面，有的能够一眼识别，如实数满足，求的值域；有的则需要先进行变换，化为标准型，如本题。这里面蕴含着丰富的数学思想和方法，如化归的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想、变换法等。细细品来，便是一片甜润芳泽，余香缭绕。、约束条件设计参数形式，考查目标函数最值范围问题。 例13.在约束条件下，当时，目标函数的最大值的变化范围是（）A. B. C. D. 解析：画出可行域如图3所示,当时, 目标函数在处取得最大值, 即;当时, 目标函数在点处取得最大值,即,故,从而选D;点评：本题设计有新意，作出可行域，寻求最优解条件，然后转化为目标函数Z关于S的函数关系是求解的关键。、已知平面区域，逆向考查约束条件。例14.已知双曲线的两条渐近线与直线围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是（）(A) (B) (C) (D) 解析：双曲线的两条渐近线方程为，与直线围成一个三角形区域（如图4所示）时有。点评：本题考查双曲线的渐近线方程以及线性规划问题。验证法或排除法是最效的方法。O2x y = 0y2x y + 3 = 0例15.已知|2xym|3表示的平面区域包含点（0,0）和（1,1），则m的取值范围是（）A、（-3,6）B、（0,6）C、（0,3）D、（-3,3）解：|2xym|3等价于由右图可知 ,故0m3，选C例16.（山东潍坊08届高三）已知，且的最大值是最小值的3倍，则a等于（ ）A或3 B C或2 D解析：求解有关线性规划的最大值和最小值问题，准确画图找到可行域是关键.如图所示，点和B点分别取得最小值和最大值. 由，由得B(1，1). . 由题意得故答案B。、已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题。例17.已知变量，满足约束条件。若目标函数（其中）仅在点处取得最大值，则的取值范围为 。解析：如图5作出可行域，由其表示为斜率为，纵截距为的平行直线系, 要使目标函数（其中）仅在点处取得最大值。则直线过点且在直线（不含界线）之间。即则的取值范围为。点评：本题通过作出可行域，在挖掘的几何意义的条件下，借助用数形结合利用各直线间的斜率变化关系，建立满足题设条件的的不等式组即可求解。求解本题需要较强的基本功，同时对几何动态问题的能力要求较高。、设计线性规划，探求平面区域的面积问题例18.在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是（）(A) (B)4 (C) (D)2 解析：如图，作出可行域，易知不等式组表示的平面区域是一个三角形。容易求三角形的三个顶点坐标为（，），B(2,0),C(-2,0).于是三角形的面积为：从而选。点评：有关平面区域的面积问题，首先作出可行域，探求平面区域图形的性质；其次利用面积公式整体或部分求解是关键。、研究线性规划中的整点最优解问题例19.某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y须满足约束