排列组合精选试题讲解.doc

排列组合精选试题讲解一解排列组合题的“16字方针，12个技巧”。（1）“十六字”方针是解排列组合题的基本规律，即分类相加、分步相乘、有序排列、无序组合（2）“十二”个技巧是速解排列组合题的捷径即相邻问题捆绑法；不相邻问题插空法；多排问题单排法；定序问题倍缩法；定位问题优先法；有序分配问题分步法；多元问题分类法；交叉问题集合法；至少（或至多）问题的间接法；选排问题先取后排法；局部与整体问题排除法；复杂问题转化法二. 在解有限制条件的组合应用题时，要正确理解题目中出现的“至少”“至多”“全是”“有且仅有”“都不是”等词语的含义，使其等价转化，才能正确地分类或用间接法求解有时还要辩证地看待“元素”和“位置”，其实，元素和位置是解题者视具体情况而定的，是人为的，有时用逆选的方法，用位置去选元素反而会更容易解决，方法二用的是“插板法”，要注意与“插空法”的区别，深刻理解“插板法”的思想，能快速、简捷地处理一部分题目【典型例题】例1. 为了参加学校的元旦文艺汇演，某班决定从爱好唱歌的4名男同学和5名女同学中选派4名参加小合唱节目，如果要求男女同学至少各选派1名，那么不同的选派方法有多少种？分析：本题主要考查组合数公式、分类讨论的思想方法以及逻辑推理能力、分析问题的能力可按选派的男同学的个数进行分类，或用间接法求解解法一：按选派的男同学的人数分三类： 选派一名男同学，三名女同学，有种方法； 选派两名男同学，两名女同学，有种方法； 选派三名男同学，一名女同学，有种方法；由分类计数原理，共有不同的选派方法 406020120 种解法二：在这九名同学中任选四名，有种方法其中四人都是男同学的有种方法；四人都是女同学的有种方法，因此符合要求的选派方法有12615120种注意：易列出错式，即先男女各选1人，再从余下7人中选2人，造成重复 点评：有限制条件的组合应用题的限制条件主要表现在被选出的元素“含”或“不含”某些元素，或是“至少”“至多”等类型的组合问题，对于这类组合应用题解题的总体思路为：（1）用直接法一般是从整体分类，然后再局部分步，对于较复杂的从若干个集合里选元素的问题，首先应以其中一个集合为基准进行分类（当然，为了使类别尽量少，这个集合里的元素较少为好），分类时要做到不重不漏，也就是各类的并集是全集，任意两类的交集为空集，在合理正确分类的前提下，在每一类中，依据题目中的要求进行分步，分步要做到步步连续，各步之间相互独立（2）用间接法当正面求解较为困难时，也可采用正难则反的思想用“间接法”求解，但要注意找准对立面本例的一个常见错误解法是：先从4名男同学中选出1名，有种选法从5名女同学中选出1名，有种选法，再在剩下的7名同学中选出2名，有种选法，由分步计数原理得，共有420种选派方法：这种看似不错的解法产生重复（因为分步计数是有顺序的），避免产生重复的最好方法就是分类，先分类后分步是解排列组合应用题时应遵循的原则之一。 例2. 在100件产品中，有98件合格品，2件次品，从这100件产品中任意抽出3件（1）有多少种不同的抽法？ （2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？解析：（1）所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，所以共有（种）（2）从2件次品中抽出1件次品的抽法有种，从98件合格品中抽出2件合格品的抽法有种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有（种）。（3）解法1：从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和2件次品两种情况在第（2）小题中已求得其中1件是次品的抽法有种，因此根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有（种）。解法2：抽出的3件产品中至少有1件是次品的抽法的种数，也就是从100件中抽出3件的抽法种数减去3件中都是合格品的抽法的种数，即（种） 例3. 一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛，按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人，问： （1）这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案？ （2）如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事？分析：对于（1），根据题意，17名学员没有角色差异，地位完全一样，因此这是一个从17个不同元素中选出n个元素的组合问题；对于（2），守门员的位置是特殊的，其余上场学员的地位没有差异，因此这是一个分步完成的组合问题解析：（1）由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案有12376 （种）。（2）教练员可以分两步完成这件事情：第1步，从17名学员中选出11人组成上场小组，共有12376种选法；第2步，从选出的11人中选出1名守门员，共有种选法所以教练员做这件事情的方法数有（种）例4. 从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数中取出3个数，使其和为不小于10的偶数，不同的取法有多少种？ 分析：要和为偶数，三数必须全为偶数或一偶两奇，然后将和小于10的那些取法排除掉即得解析：从这10个数中取出3个不同的偶数取法有种；取出1个偶数和2个不同的奇数的取法有种从这10个偶数中取出3个数，使其和为小于 10 的偶数，有如下9种不同的取法：（0，1，3），（0，l，5），（0，2，4），（1，2，3），（0，l，7），（0，2，6），（0，3，5），（1，2，5），（1，3，4）。因此符合条件的不同取法有种点评：对方法数比较少的计数问题，可采用逐一列举，列举时思路务必清晰，谨防少算例5. 有五张卡片，它们的正、反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？ 分析：在解本题时应考虑两方面的问题：（1）0不能作百位，但0与1同在一张卡片上，因此着眼于限制条件，必须同时考虑0与1的分类（2）每张卡片都有正面与反面两种可能解法上既可用直接法，也可用排除法解析：（法一）（直接法）：从0与1两个特殊值着眼，可分三类：（1）取0不取1，可先从另四张卡片上选一张作百位，有种方法；0可在后两位，有种方法；最后须从剩下的三张中任取一张，有种方法；又除含0的那张外，其他两张都有正面或反面两种可能，故此时可得不同的三位数有（个）。（2）取1不取0，同上分析可得不同的三位数（个）（3）0和1都不取，有不同的三位数（个）。综上所述，共有不同的三位数96144192432 （个）。（法二）（间接法）：任取三张卡片可以组成不同三位数（个），其中0在百位的有（个），这是不合题意的，故共有不同三位数：48048432（个）。例6. 由a、b、c、d、e、f六个字母中每次取4个进行排列，若每个排列都含有a、b，且a在b前的排列有多少个？分析：首先搞清题目的限制条件，然后根据限制的元素（或位置）进行思考。解法一：第一步，在四个位置中任选两个作为a、b的位置，因a在b前，顺序一定，故是组合，方法应有种，第二步，在余下的二个位置由除a、b外的另四个元素来排，因为有位置顺序的要求，故是排列问题，排法为种，由乘法原理得排法应有种解法二：第一步，从c、d、e、f 中任选两个元素来，选法为种第二步，把选出的二个元素排在四个位置上的任意两个上，排法为种，此时余下的两个位置即是a在前b在后的位里，只有一种选法，由乘法原理得：种解法三：第一步，从c、d、e、f 中选出两个元素来，选法为种第二步，将a、b与第一步选出的两个元素共四个元素排在四个不同的位置上，共有种排法，又 a 应在 b 前，应除以 2，故得排法为种 点评：选择方法不同，思考方式就不一样，但要注意处理问题的合理性例7. 7个人到7个地方去旅游，甲不去A地，乙不去B地，丙不去C地，丁不去D地，共有多少种旅游方案？解析：此题可用排除法，7个人赴7个地方共有种可能（1）若甲、乙、丙、丁4人同时都去各自不能去的地方旅游，而其余的人可以去余下的地方旅游的不同选法有种（2）若甲、乙、丙、丁中有3人同时去各自不能去的地方旅游，有种，而4人中剩下1人旅游的地方是，都选完后，再考虑无条件的3人的旅游方法是种，所以共有72种（3）若甲、乙、丙、丁4人中有2人同时去各自不能去的地方旅游，有种，余下的5个人分赴5个不同地方的方案有种，但是其中又包括了有条件的四人中的两人（不妨设甲、乙两人）同时去各自不能去的地方共种，和这两人中有一人去了自己不能去的地方共种，所以共有 种（4）若甲、乙、丙、丁4人中有1人去了自己不能去的地方旅游，有种方案，而余下的六个人的旅游方案仍与（3）想法一致，共有种。所以满足以上情况的不同旅游方案，共有种。例8. 四面体的顶点和各棱的中点共10个点（1）从中任取三点确定一个平面，共能确定多少个平面？ （2）以这10个点为顶点，共能确定多个少凸棱锥？分析：问题（1）的解决可考虑间接法，即从3个点的组合扣除3点共线、四点共面和六点共面的情形，问题（2）首先要对凸棱锥的类型做出判断，然后分类统计解析：（1）四面体的每一个面上的6个点只能确定同一个平面，六个中点中又有3对互相平行的连线，每一条棱上的三个点和棱外的点只能确定一个平面，由间接解法，共能确定不同平面个；（2）依四面体的性质，若从 10 个点中取顶点作棱锥，只能是三棱锥和四棱锥每一组不共面的 4 点确定一个三棱锥，每一无三点共线的共面 4 点与该平面外一点确定一个四棱锥，所以有个三棱锥，即不考虑限制后，减去4个面上4点共面虚构的、6条棱上三点共线虚构的和3对平行中位线4点共面虚构的又每一面上6点，仅确定6个不同凸四边形，即，再以不在该面上的另外4点之一为第5个顶点可做成四棱锥，所以共有个，又每对平行的中位线段为四边形二边可确定一个底面四边形，另取其余6点之一为第5个顶点，可做四棱锥，所以共有个，即共有不同四棱锥个。 所以共能做成不同的棱锥141114255个 点评：处理几何计数问题时，必须综合运用相应的几何概念，发挥空间想象和图形分析能力，要特别重视对应关系及对重复现象的判断问题（1）的解决也可采用分类穷举法例9. 要从7个班中选10人参加数学竞赛，每班至少1人，共有多少种不同的选法？分析：本题主要考查排列、组合的概念，分类讨论的思想方法以及分析问题、解决问题的能力，可按班选出的人数进行分类，或用插板法求解解法一：共分三类：第一类，一个班出4人，6个班各出1人，有种；第二类，有2个班分别出2人，3人，其余5个班各出1人，有种；第三类，有3个班各出2人，其余4个班各出1人，有种，共有种解法二：将10人看成10个元素，这样元素之间共有9个空（两端不计），从这9个空位里任选6个（即这6个位置放入隔板，将其分为七部分），有种放法，如|，表示第1个班1人，第2个班2人，第3个班1人，第4个班1人，第5个班3人，第6、7个班各1人注意：本题易把10个名额看成10个不同的元素，从而得出的错误结果例10. 椭圆的长轴和短轴把椭圆分成4块，现在用5种不同的颜料给4块涂色，要求共边两块颜色互异，每块只涂一色，问一共有多少种不同的涂色方法 分析：本题主要考查两个计数原理、排列组合的基础知识以及分类讨论的思想方法，考查逻辑推理能力和分析问题、解决问题的能力解法一：如图所示，分别用A、B、C、D记这四块区域，A与C可同色，也可不同色，从而按照A、C涂色的异同将问题先分为两类，即A、C涂同色和A、C涂异色，再对每一类进行分步 给A、C涂同种颜色共有种方法，再给B涂色有4种方法，最后给D涂色也有4种方法，由分步计数原理，此时共有种方法 给A、C涂不同颜色共有种涂法，再给B涂色有3种方法，最后给D涂色也有3种方法，此时共有种涂法故由分类计数原理知，共有80180260种涂法解法二：总体实施分步完成，可分三个大步骤第一步，给A涂色；第二步，给B涂色；第三步，给C、D涂色 给A涂色有5种方法； 给B涂色有4种方法； 给C涂色，当C与A异色时，C有3种方法，D有3种方法，共9种方法；当C与A同色时，C有一种方法（与A同色），D有4种方法。由分步计数原理知共有54（94）260种涂色方法点评：按元素性质分类，按事件发生的过程进行分步是处理排列、组合问题的基本思想方法，在某种元素不同限制条件对其他元素产生不同影响时，应以此种元素的不同限制条件为标准进行分类讨论本例方法一是先分类，后分步；方法二是先分步，后分类。如果不考虑到C区域的涂色直接影响D区域的涂色，就会得出如下错解：给A、B、C、D涂色可分4步完成：给A涂色有5种方法； 给B涂色有4种方法；给C涂色有4种方法（与B不同色）；给D涂色有3种方法（与A、C不同色）。由分步计数原理共有5443240种方法【模拟试题】1. 某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手，现在挑选5名队员参加比赛，种子选手都必须在内，那么不同的选法共有（ ）A. 26 种 B. 84 种 C. 35 种 D. 21 种 2. 某小组共有10名学生，其中女生3人，现选举2名代表，至少有1名女生当选的不同选法共有（ ）A. 27 种 B. 48种 C. 21 种 D. 24 种 3. 把正方形的四个顶点，四边中点以及中心都用线段连接起来，则以这9个点中的3点为顶点的三角形的个数是（ ） A. 54 B. 76 C. 81 D. 84 4. 从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有（ ） A. 240 种 B. 180 种 C. 120 种 D. 60 种 5. 从一架钢琴挑出的十个音键中，分别选择3个、4个、5个、10个键同时按下，可发出和弦，若有一个音键不同则发出不同的和弦，则这样的不同的和弦种数是（ ）A. 512 B. 968 C. 1013 D. 1024 6. 安排甲、乙、丙三人在星期一至星期六值班，每人值班两天，甲不值星期一，乙必须值星期六，则不同排法有（ ） A. 12 种 B. 18 种 C. 24 种 D. 30 种7. 五项不同的工程由3个工程队承包，每队至少承包一项，不同的承包方案有（ ）A. 420 种 B. 240 种 C. 150 种 D. 90 种 8. 某市学校“减负”后，增加了学生的社会实践活动，该市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观两天，其余的每所学校只参观一天，则该植物园在30天中不同的安排方法的种数是（ ） A. B. C. D. 9. 从单词“eguation”中选出5个不同的字母排成一排，含有“qu”（其中“qu”相连且顺序不变）的不同排列共有（ ） A. 120 个 B. 480 个 C. 720 个 D. 840 个 10. 某一电子元件串联电路中，共有6个焊点，则因焊点脱落而电路不通的可能性的种数是（ ）A. 6 B. 36 C. 63 D. 64 11. 某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方法共有（ ） A. 5 种 B. 6 种 C. 7 种 D. 8 种 12. 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色，若只有五种颜色可供使用，则不