《实验设计与数据处理》lecture7.doc

Lecture 7正交试验设计 一、正交试验设计的概念及原理 .对于单因素或两因素试验，因其因素少，试验的设计、实施与分析都比较简单。但在实际工作中，常常需要同时考察 3个或3个以上的试验因素，若进行全面试验，则试验的规模将很大，往往因试验条件的限制而难于实施。 .正交试验设计就是安排多因素试验、寻求最优水平组合的一种高效率试验设计方法。 .1、正交试验设计的基本概念 正交试验设计是利用正交表来安排与分析多因素试验的一种设计方法。 它是由试验因素的全部水平组合中，挑选部分有代表性的水平组合进行试验的，通过对这部分试验结果的分析了解全面试验的情况，找出最优的水平组合。 例： 三个因素的实验：A、B、C，每个因素三个水平： 全面试验：各因素的水平之间全部可能组合有 27种。可以分析各因素的效应，交互作用，也可选出最优水平组合。但全面试验包含的水平组合数较多，工作量大，在有些情况下无法完成。 若试验的主要目的是寻求最优水平组合，则可利用正交表来设计安排试验。正交试验设计的基本特点是：用部分试验来代替全面试验，通过对部分试验结果的分析，了解全面试验的情况。 正因为正交试验是用部分试验来代替全面试验的，它不可能像全面试验那样对各因素效应、交互作用一一分析；当交互作用存在时，有可能出现交互作用的混杂。虽然正交试验设计有上述不足，但它能通过部分试验找到最优水平组合，因而很受实际工作者青睐。 如对于上述3因素3水平试验，若不考虑交互作用，可利用正交表 L9(34)安排，试验方案仅包含 9个水平组合，就能反映试验方案包含 27个水平组合的全面试验的情况，找出最佳的生产条件。 .2、正交试验设计的基本原理 在试验安排中，每个因素在研究的范围内选几个水平，就好比在选优区内打上网格，如果网上的每个点都做试验，就是全面试验。如上例中， 3个因素的选优区可以用一个立方体表示（图），3个因素各取 3个水平，把立方体划分成 27个格点，反映在图上就是立方体内的27个“网格点”。 若27个网格点都试验，就是全面试验，其试验方案如右表所示。 3因素3水平的全面试验水平组合数为 33=27，4 因素3水平的全面试验水平组合数为34=81，5因素3水平的全面试验水平组合数为35=243，这在科学试验中是有可能做不到的。 正交设计就是从选优区全面试验点（水平组合）中挑选出有代表性的部分试验点（水平组合）来进行试验。图中标有试验号的九个“ ()”，就是利用正交表L9(34)从27个试验点中挑选出来的 9个试验点。即： .(1)A1B1C1 (2)A2B1C2 (3)A3B1C3 .(4)A1B2C2 (5)A2B2C3 (6)A3B2C1 .(7)A1B3C3 (8)A2B3C1 (9)A3B3C2 上述选择，保证了 A因素的每个水平与 B因素、 C因素的各个水平在试验中各搭配一次。对于 A、B、C 3个因素来说，是在 27个全面试验点中选择9个试验点，仅是全面试验的三分之一。 9个试验点在选优区中分布是均衡的，在立方体的每个平面上，都恰是3个试验点；在立方体的每条线上也恰有一个试验点。 9个试验点均衡地分布于整个立方体内，有很强的代表性，能够比较全面地反映选优区内的基本情况。.3、正交表及其基本性质 正交设计安排试验和分析试验结果都要用正交表。 .记号为L8(27)； .“L”代表正交表； .“8”表示有8行； .底数“2” 表示因素的水平数； .指数 “ 7”表示有7列； .最多可以安排7个2水平因素。 常用的正交表已由数学工作者制定出来，供进行正交设计时选用。 2水平正交表除L8(27)外，还有 L4(23)、L16(215)等；3水平正交表有 L9(34)、L27(213)等（详见教材及有关参考书）。正交性 .1）任一列中，各水平都出现，且出现的次数相等 例如L8(27)中不同数字只有1和2，它们各出现 4次； L9(34)中不同数字有 1、2和3，它们各出现3次。 .2）任两列之间各种不同水平的所有可能组合都出现，且出现的次数相等 例如 L8(27)中(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)各出现两次；L9(34) 中 (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)各出现1次。 .即每个因素的一个水平与另一因素的各个水平所有可能组合次数相等，表明任意两列各个数字之间的搭配是均匀的。 代表性 .一方面： 1）任一列的各水平都出现，使得部分试验中包括了所有因素的所有水平； 2）任两列的所有水平组合都出现，使任意两因素间的试验合为全面试验。 .另一方面： 由于正交表的正交性，正交试验的试验点必然均衡地分布在全面试验点中，具有很强的代表性。因此，部分试验寻找的最优条件与全面试验所找的最优条件，应有一致的趋势。 综合可比性 .（1）任一列的各水平出现的次数相等； .2）任两列间所有水平组合出现次数相等，使得任一因素各水平的试验条件相同。 这就保证了在每列因素各水平的效果中，最大限度地排除了其他因素的干扰。从而可以综合比较该因素不同水平对试验指标的影响情况。根据以上特性，我们用正交表安排的试验，具有均衡分散和整齐可比的特点。 .均衡分散，是指用正交表挑选出来的各因素水平组合在全部水平组合中的分布是均匀的。 .因此，这些点代表性强，能够较好地反映全面试验的情况。 .整齐可比是指每一个因素的各水平间具有可比性。因为正交表中每一因素的任一水平下都均衡地包含着另外因素的各个水平，当比较某因素不同水平时，其它因素的效应都彼此抵消。 .如在A、B、C 3个因素中，A因素的3个水平 A1、A2、A3条件下各有 B、 C 的 3个不同水平，即： .在这9个水平组合中，A因素各水平下包括了B、C因素的3个水平，虽然搭配方式不同，但B、C皆处于同等地位，当比较A因素不同水平时，B因素不同水平的效应相互抵消，C因素不同水平的效应也相互抵消。所以A因素3个水平间具有综合可比性。同样，B、C因素3个水平间亦具有综合可比性。 正交表的三个基本性质中，正交性是核心，是基础，代表性和综合可比性是正交性的必然结果。 .4、正交表的类别 等水平正交表 .各列水平数相同的正交表称为等水平正交表。如 L4(23)、L8(27)、L12(211)等各列中的水平为2，称为2水平正交表； L9(34)、L27(313)等各列水平为3，称为 3水平正交表。 混合水平正交表 .各列水平数不完全相同的正交表称为混合水平正交表。如 L8(424)表中有一列的水平数为4，有4列水平数为2。也就是说该表可以安排一个 4水平因素和 4个2水平因素。再如L16(4423)，L16(4212)等都混合水平正交表。二、正交试验设计的基本程序 .对于多因素试验，正交试验设计是简单常用的一种试验设计方法，正交试验设计的基本程序包括试验方案设计及试验结果分析两部分。 .试验方案设计试验目的与要求试验指标选因素定水平因素、水平确定选择合适正交表表头设计列试验方案试验结果分析.实例：为提高山楂原料的利用率，研究酶法液化工艺制造山楂原汁，拟通过正交试验来寻找酶法液化的最佳工艺条件。 试验方案设计 .（1）明确试验目的，确定试验指标 试验设计前必须明确试验目的，即本次试验要解决什么问题。试验目的确定后，对试验结果如何衡量，即需要确定出试验指标。试验指标可为定量指标，如强度、硬度、产量、出品率、成本等；也可为定性指标如颜色、口感、光泽等。一般为了便于试验结果的分析，定性指标可按相关的标准打分或模糊数学处理进行数量化，将定性指标定量化。 .实例：为提高山楂原料的利用率，研究酶法液化工艺制造山楂原汁，拟通过正交试验来寻找酶法液化的最佳工艺条件。 试验方案设计 .（1）明确试验目的，确定试验指标 对本试验而言，试验目的是为了提高山楂原料的利用率。所以可以以液化率液化率=(果肉重量-液化后残渣重量 )/果肉重量 100%为试验指标，来评价液化工艺条件的好坏。液化率越高，山楂原料利用率就越高。 .（2）选因素、定水平，列因素水平表 根据专业知识、以往的研究结论和经验，从影响试验指标的诸多因素中，通过因果分析筛选出需要考察的试验因素。一般确定试验因素时，应以对试验指标影响大的因素、尚未考察过的因素、尚未完全掌握其规律的因素为先。试验因素选定后，根据所掌握的信息资料和相关知识，确定每个因素的水平，一般以2-4个水平为宜。对主要考察的试验因素，可以多取水平，但不宜过多（6），否则试验次数骤增。因素的水平间距，应根据专业知识和已有的资料，尽可能把水平值取在理想区域。对本试验分析，影响山楂液化率的因素很多，如山楂品种、山楂果肉的破碎度、果肉加水量、原料 pH值、果胶酶种类、加酶量、酶解温度、酶解时间等等。经全面考虑，最后确定果肉加水量、加酶量、酶解温度和酶解时间为本试验的试验因素，分别记作 A、B、C和D，进行四因素正交试验，各因素均取三个水平。 .（3）选择合适的正交表 正交表的选择是正交试验设计的首要问题。确定了因素及其水平后，根据因素、水平及需要考察的交互作用的多少来选择合适的正交表。 正交表的选择原则: .在能够安排下试验因素和交互作用的前提下，尽可能选用较小的正交表，以减少试验次数。 一般情况下，试验因素的水平数应等于正交表中的水平数； 因素个数（包括交互作用）应不大于正交表的列数； 各因素及交互作用的自由度之和要小于所选正交表的总自由度，以便估计试验误差。 若各因素及交互作用的自由度之和等于所选正交表总自由度，则可采用有重复正交试验来估计试验误差。 等水平正交表 正交表选择依据： .列：正交表的列数c因素所占列数+交互作用所占列数+空列。 .自由度：正交表的总自由度（a-1）因素自由度+交互作用自由度+误差自由度。 此例有4个3水平因素，可以选用 ；因本试验仅考察四个因素对液化率的影响效果，不考察因素间的交互作用，故宜选用 正交表。若要考察交互作用，则应选用 。.（4）表头设计 所谓表头设计，就是把试验因素和要考察的交互作用分别安排到正交表的各列中去的过程。 在不考察交互作用时，各因素可随机安排在各列上；若考察交互作用，就应按所选正交表的交互作用列表安排各因素与交互作用，以防止设计“混杂”。 此例不考察交互作用，可将加水量 (A)、加酶量 (B)和酶解温度 (C)、酶解时间（ D）依次安排在 L9(34)的第1、2、3、4列上，见下表。 .（5）编制试验方案，按方案进行试验，记录试验结果。 把正交表中安排各因素的列（不包含欲考察的交互作用列）中的每个水平数字换成该因素的实际水平值，便形成了正交试验方案。 .试验结果分析 分清各因素及其交互作用的主次顺序，分清哪个是主要因素，哪个是次要因素； 判断因素对试验指标影响的显著程度； 找出试验因素的优水平和试验范围内的最优组合，即试验因素各取什么水平时，试验指标最好； 分析因素与试验指标之间的关系，即当因素变化时，试验指标是如何变化的。找出指标随因素变化的规律和趋势，为进一步试验指明方向； 了解各因素之间的交互作用情况； 估计试验误差的大小。 极差分析直观分析法 .计算简便，直观，简单易懂，是正交试验结果分析最常用方法。以上例为实例来说明极差分析过程。 .极差分析法R法 计算：Kjm，为第j列因素 m水平所对应的试验指标和，为Kjm平均值。由 kjm大小可以判断第j列因素优水平和优组合。.极差分析法R法 计算：Rj .Rj为第j列因素的极差，反映了第 j列因素水平波动时，试验指标的变动幅度。Rj越大，说明该因素对试验指标的影响越大。根据 Rj大小，可以判断因素的主次顺序。 判断 .因素主次 优水平 优组合 极差分析直观分析法 .不考察交互作用的试验结果分析: .（1）确定试验因素的优水平和最优水平组合 分析A因素各水平对试验指标的影响。由表可知， A1的影响反映在第 1、2、3号试验中， A2的影响反映在第 4、5、6号试验中， A3的影响反映在第 7、8、9号试验中。 A因素的1水平所对应的试验指标之和为 .KA1=y1+y2+y3=0+17+24=41，kA1= KA1/3=13.7； A因素的2水平所对应的试验指标之和为 .KA2=y4+y5+y6=12+47+28=87， kA2= KA2/3=29； A因素的3水平所对应的试验指标之和为 .KA3=y7+y8+y9=1+18+42=61， kA3= KA3/3=20.3。 .根据正交设计的特性，对A1、A2、A3来说，三组试验的试验条件是完全一样的（综合可比性），可进行直接比较。 .如果因素A对试验指标无影响时，那么kA1、kA2、kA3应该相等，但由上面的计算可见，kA1、kA2、kA3实际上不相等。说明，A因素的水平变动对试验结果有影响。 .根据kA1、kA2、kA3的大小可以判断A1、A2、A3对试验指标的影响大小。由于试验指标为液化率，而kA2kA3kA1，所以可断定A2为A因素的优水平。.同理，可以计算并确定B3、C3、D1分别为B、C、D因素的优水平。四个因素的优水平组合A2B3C3D