矩阵理论 课程报告.doc

矩阵理论及其应用论文 “矩阵论”课程研究报告科 目： 矩阵理论及其应用 教 师： XXX 姓 名： XXX 学 号： 20140802XXX 专 业： 仪器科学与技术 类 别： 学术 上课时间： 2014年9月至2014年12月 考 生 成 绩： 阅卷评语： 阅卷教师 (签名) 矩阵范数的应用 摘要： 矩阵是工程程技术以及经济管理等领域的不可缺少的数学工具，凡是用到矩阵的地方，基本上都要涉及矩阵范数。是数学上向量范数对矩阵的一个自然推广。在工程实际中应用很广，本文先对矩阵范数知识做一个梳理，然后结合应用实际介绍了矩阵范数的具体应用。关键字：矩阵范数，基本知识，相关应用1、 引言用矩阵的理论与方法来处理现在工程技术中的各种问题已越来越普遍。在工程技术中引进矩阵理论不仅是理论表达极为简洁，而且对理论的实质刻画也更为深刻，例如系统工程，优化方法，稳定性理论等，无不与矩阵理论发生紧密的结合。在工程及计算范数中，特别是数值代数中，研究数值方法的收敛性稳定性及误差分析等问题，范数理论显的十分重要。矩阵理论是数学的一个重要分支，在多种工程学科中都有极其重要的应用。特别是对线性控制系统深入研究的需要推动了矩阵理论的发展，使矩阵理论的内容更加丰富多彩。矩阵范数在网络理论、数理统计、系统理论、最优化理论、现代控制理论等许多领域中的重要应用为人们所认识，因而大大推动了矩阵范数的研究，使得这一学科得到迅速的发展，已成为矩阵的一个重要分支。 二、预备知识2.1 矩阵范数的定义由于一个nn矩阵可以看成是一个拉直了的nn维向量，因此可以按定义向量范数的方法来定义矩阵范数，但矩阵之间还有乘法运算，因此，对于nn矩阵A，定义范数如下：设A、B，,按某一法则在上定义一个A的实值函数，极为,它满足以下4个条件 1. 非负性 如果A0，则0 2. 齐次性 如果A=0，则=0; 3. 三角不等式 4. 相容性 则称为矩阵范数或乘积范数。 对于中的矩阵A(mn时），只要第4条的要求AB有意义就行。2.2 矩阵范数的几个常见性质性质1：如果任意向量及任意n阶方阵A，对于给定的向量范数和矩阵范数满足不等式 则称矩阵范数和向量范数相容。性质2：设A,P,Q, P,Q皆为酉矩阵，则 (在A是n级实方阵时，P、Q都是正交矩阵）2.3 几种常见矩阵范数根据向量范数是其分量的连续函数这个性质，则对于每个矩阵A来说，的最大值都是可以达到的。即是说，总可以找到这样的向量0，使于是定义 相关定理 1：设A,=(则从属于向量的三种范数的矩阵算子范数分别为1. =2. 为的最大特征值3.相关定理2：对任意的方阵范数,A,必在上存在与之相容的向量范数。2.4 诱导范数把矩阵看作线性算子，那么可以由向量范数诱导出矩阵范数 A = maxAx：x=1= maxAx/x： x0 ， 它自动满足对向量范数的相容性 Ax Ax， 并且可以由此证明 AB AB。 注： 上述定义中可以用max代替sup是因为有限维空间的单位闭球是紧的（有限开覆盖定理），从而上面的连续函数可以取到最值。 显然，单位矩阵的算子范数为1。 常用的三种p-范数诱导出的矩阵范数是 1-范数：A= max |a|，|a|，|a| （列和范数，A每一列元素绝对值之和的最大值其中|a|第一列元素绝对值的和|a|=|a|+|a|+.+|a|，其余类似）； 2-范数：A = A的最大奇异值 = (max i(AH*A) ) 1/2 （谱范数，即AH*A特征值i中最大者1的平方根，其中AH为A的转置共轭矩阵）； -范数：A= max |a|，|a|,.，|a| （行和范数，A每一行元素绝对值之和的最大值）其中为|a| 第一行元素绝对值的和，其余类似）； 其它的p-范数则没有很简单的表达式。对于p-范数而言，可以证明Ap=AHq，其中p和q是共轭指标。简单的情形可以直接验证A=AH，A=AH，一般情形则需要利用Ap=maxyH*A*x：xp=yq=1。 2.5 非诱导范数有些矩阵范数不可以由向量范数来诱导，比如常用的Frobenius范数（也叫Euclid范数，简称F-范数或者E-范数）：A= （ 2）1/2 (A全部元素平方和的平方根）。 容易验证F-范数是相容的，但当minm,n1时F-范数不能由向量范数诱导（|E11+E22|F=21）。 可以证明任一种矩阵范数总有与之相容的向量范数。例如定义x=X，其中X=x,x，x是由x作为列的矩阵。 由于向量的F-范数就是2-范数，所以F-范数和向量的2-范数相容。另外还有以下结论： = AB 以及 AB A B 2.6 矩阵的谱半径和范数定义：A是n阶方阵，i是其特征值，i=1,2，n。则称特征值的绝对值的最大值为A的谱半径，记为（A）。注意要将谱半径与谱范数（2-范数）区别开来，谱范数是指A的最大奇异值，即AH*A最大特征值的算术平方根。谱半径是矩阵的函数，但不是矩阵范数。谱半径和范数的关系是以下几个结论：定理1：谱半径不大于矩阵范数，即（A）A。因为任一特征对，x,Ax=x，可得Ax=x。两边取范数并利用相容性即得结果。 定理2：对于任何方阵A以及任意正数e，存在一种矩阵范数使得A； Ak1/k。利用上述性质可以推出以下两个常用的推论： 推论1：矩阵序列 I,A,A2，Ak， 收敛于零的充要条件是（A)1。 三、矩阵范数在工程实际的运用3.1 一种基于矩阵范数的零水印算法介绍3.1.1 研究背景随着数字技术和Internet的发展与普及，数字化产品(图片，音频，视频等)越来越丰富；同时，数字信息的复制也变得越来越简单，使得多媒体信息被非法拷贝与篡改的问题变得越来越突出，数字化产品的版权保护成为一个迫切需要解决的问题数字水印技术作为实现版权保护的一个有效办法，成为了多媒体信息安全领域研究的热点。一般的，根据数字水印算法的工作域不同，可将其分为空间域方法和变换域方法空间域方法的主要缺点是稳健性比较差，水印容易丢失因此，目前的研究主要集中于变换域水印方法，其中，常采用的变换有DCT变换、小波变换、奇异值分解等根据检测水印时是否需要原始图像，可将数字水印技术分为私有水印技术、半私有水印技术和公开水印技术检测水印时需要原始图像的称为私有水印技术，检测水印时不需要原始图像但需要所嵌入水印的个拷贝的则称为半私有水印技术目前大多数的水印技术都属于这两种类型检测水印时既不需要原始图像也不需要原始水印的则称为公开水印技术这种水印技术最为实用，特别是在网络和数字图书馆的版权证明、自动验证和信息监控等方面起着重要的作用 现有的基于奇异值分解的水印算法都需要花费大量的计算，因为它们不仅仅要计算出各图像子块矩阵的所有奇异值，而且还需要计算出所有相应的奇异向量，尽管水印的嵌入只与最大奇异值或者所有奇异值相关在分析和讨论了基于奇异值分解和量化的水印算法的本质后，提出一种全新的基于矩阵范数的数字水印算法，无需利用奇异值分解本算法基于图像子块的矩阵范数及其量化策 略，步骤非常简单，很容易实现，重要的是，与基于奇异值分解的水印算法相比大大减小了计算量利用三种不同的矩阵范数进行的数值实验结果表明，本算法具有很好的水印透明性和对常见攻击的稳健性3.1.2 基于矩阵范数的数字水印算法 1998年美国Syracuse大学数学系和美国空军实验室通信遥感部联合发布了WSVD数字水印算法，该算法具有良好的鲁棒性和不可见性。之后有不少学者从各个方面对基于SVD的数字水印算法进行了改进。矩阵的奇异值分解(SVD)是一种正交变换，它可以将矩阵对角化，对矩阵AR进行奇异值分解，有A=USV，其中和V都是正交阵，S=diag()，P=min(m，n)。 首先我们介绍数值代数中比较常用的两种范数：Frobeninus范数和谱范数。 定义3.1.设矩阵A=(，则A的Frobenious范数（简称F-范数） 定义3.2. 设矩阵A=(,A共轭转置矩阵记为A,则A的谱范数（也称2-范数） 其中，为的最大特征值。F-范数和谱范数具有一个很好的性质-酉不变性：定理.对任意的矩阵A=(以及酉矩阵、，有 , .为了更好地讨论本文算法，我们另外在定义一个范数，并称为“L-范数”。定义3.3.对矩阵A=（，定义A的L-范数 .由于范数的等价性，矩阵的F-范数、谱范数和L-范数的数值具有相同的量阶。3.1.3 水印的嵌入设原始宿主图像为I，大小为M N；水印图像为W，大小为PQ；嵌入水印后的图像记为嵌入过程如下Stepl：水印图像的预处理。为了增强水印图像的安全性和抗攻击能力，在嵌入之前对水印图像进行Arnold置乱。为了方便，仍将置WStep2：对原宿主图像I进行L级小波变换(这里L=1)，取其较该尺度小的低频系数矩阵C并对C进行分块，每块大小为mn(m=MP，n=NQ若M、N无法整除P、Q，则补0后再整除)。计算每块的F-范数,得到范数矩阵T= 。Step3：记矩阵T的均值为，将矩阵T中的每一项与均值进行比较，若大于等于均值则记为l，若小于均值则记为0，这样便得到密钥矩阵。Step4：将密钥矩阵与置乱后的水印图像W进行逻辑异或运算，得到认证图像。Step5：最后将送至版权管理中心注册认证。版权管理中心将为版权所有者分配一对密钥，分别为私钥Kl和公钥K2。注册时用私钥Kl对加密，检测时用公钥K2进行解密加密，具体如下：D=E(Kl，)解密：=(K2，D) 。3.1.4 水印的提取水印的提取不需要原宿主图像，为盲提取，具体过程如下：Stepl：将嵌入水印的图像进行L级小波分解，提取低频系数矩阵C，对C进行分块，计算每块的范数得到范数矩阵T，并将T中每个元素与T的均值进行比较，若大于等于均值则记为l，若小于均值则记为O，这样使得到密钥矩阵。Step2：利用公钥K2对D进行解密得到认证图像，然后再将与进行异或运算得到W。表示如下:W=。Step3：最后将W进行反Arnold置乱恢复出水印图像。 3.1.5 基于矩阵范数算法的总结 根据矩阵范数和矩阵奇异值分解之间等价关系，提出了一种基于矩阵范数的零水印算法，并且提取时不需要远宿主图像。算法容易理解、实现简单、计算量小且同时对于JPEG压缩、高斯噪声、椒盐噪声、几何剪切、中值滤波等攻击操作有良好的鲁棒性。3.2 控制系统稳定性判别的矩阵范数分析法3.2.1 应用背景对系统运动稳定性的分析是系统与控制理论的一个重要组成部分通常，可按两种方式来定义系统运动的稳定性，通过输入输出关系来表征的外部稳定性，也即是有界输入一一有界输出稳定的，并简称为BIBO稳定另一种方式是通过零输入下状态运动的响应来表征的内部稳定性，就一般情况而肓，内部稳定性是指系统状态自由运动的稳定性，也即李亚普诺夫意义下的稳定性对于控制系统受到扰动的稳定性分析，可以使用时域法，也可以使用频域法进行分析首先全面回顾了线性系统稳定性分析方法，并指出其不足，在此基础上从另一角度提出了矩阵范数分析法。3.2.2 矩阵范数理论在离散线性系统稳定性判别中的应用A，它的谱半径是一个相当重要的量，的确定对于由A形成的幂级数的收敛以及基于A所作的矩阵迭代的收敛起着重要的作用。这在以后的稳定性分析中将会看到。首先，先介绍一下矩阵范数理论中与稳定性相关的两个定理定理。定理1：有一离散系统，k=0，1，对任何，系统为原点平衡状态，即，当且仅当A的潜半径l时，即系统在原点平衡状渐近稳定。定理2：A,是一组正实数，令 则 。 因此，对于给定的离散性系统，k=0，1，.若分析其稳定性，我们可由以下步骤来完成。第一步，任取一组正实数，这组数的个数与矩阵A的维数相同；第二步，由定理2计算，然后计算；第三步，有定理1，用，判断系统是否在原点平衡状态渐进稳态。3.2.3 算例分析设有一离散线性系统，k=0，1，.其中矩阵 A=试用矩阵范数分析法判断系统在平衡状态处的渐进稳定性。首先，任取一组正实数，；其次，计算，有公式得到=2/3；最后，由于，所以，可以判断该系统在平衡状态