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利用定积分求简单几何体的体积 1 一 复习 1 求曲边梯形面积的方法是什么 2 定积分的几何意义是什么 3 微积分基本定理是什么 二 新课探析 问题 求函数 x a x b围成的平面图形 绕轴旋转一周所得到的几何体的体积 2 设由曲线y f x 直线x a x b与x轴围成的平面图形 如图甲绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为V 思考 1 简单几何体的体积计算 3 在区间 a b 内插入n 1个分点 使a x0 x1 x2 xn 1 xn 1 把曲线y f x a x b分割成n个垂直于x轴的 小长条 如图甲所示 设第i个 小长条 的宽是 xi xi xi 1 i 1 2 n 这个 小长条 绕x轴旋转一周就得到一个厚度是 xi的小圆片 如图乙所示 当 xi很小时 第i个小圆片近似于底面半径yi f xi 的小圆柱 因此第i个小圆台体积Vi近似为Vi f2 xi xi 该几何体的体积V等于所有小圆柱的体积和V f2 x1 x1 f2 x2 x2 f2 xi xi f2 xn xn 这个问题是积分问题 则有 4 1 找准母线的表达式及被旋转的平面图形 它的边界曲线直接决定了被积函数 2 分清端点 3 确定几何体的构造 4 利用定积分进行体积表示 2 利用定积分求旋转体的体积问题的关键在于 3 一个以y轴为中心轴的旋转体的体积 5 例题研究 6 变式练习1 求曲线 直线 与 轴围成的平面图形绕 轴旋转一周所得旋 转体的体积 答案 例2 如图 是常见的冰激凌的形状 其下方是一个圆锥 上方是由一段抛物线弧绕其对称轴旋转一周所成的形状 尺寸如图所示 试求其体积 7 分析 解此题的关键是如何建立数学模型 将其轴截面按下图位置放置 并建立坐标系 则A B坐标可得 再求出直线AB和抛物线方程 冰激凌 可看成是由抛物线弧OB和线段AB绕X轴旋转一周形成的 解 将其轴截面按下图位置放 置 并建立如图的坐标系 则 设抛物线弧OA所在的抛物线方程为 8 代入 求得 抛物线方程为 设直线AB的方程为 代入 求得 直线AB的方程为 所求 冰激凌 的体积为 9 变式引申 某电厂冷却塔外形如图所示 双曲线的一部分绕其中轴 双曲线的虚轴 旋转所成的曲面 其中A A 是双曲线的顶点 C C 是冷却塔上口直径的两个端点 B B 是下底直径的两个端点 已知AA 14m CC 18m BB 22m 塔高20m 1 建立坐标系 并写出该曲线方程 2 求冷却塔的容积 精确到10m3塔壁厚度不计 取3 14 10 课堂小结 1 求体积的过程就是对定积分概念的进一步理解过程 总结求绕x轴旋转的旋转体体积步骤如下 1 先求出 2 代入公式 P89 90 例题4
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