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小学数学奥数教练员等级考试 培训讲座 下一页 第五讲 历届真题选讲 例1 2001 16 红 黄 绿三块大小一样的正方形纸片 放在一个底是正方形的盒内 它们之间部分重叠 如图 已知看得见的部分中 红色纸片的面积是20 黄色纸片的面积是14 绿色纸片的面积是10 求正方形盒底的面积 上一页 下一页 解 如图 所示的阴影部分面积为 把黄纸片向左移至最左端 如图 2 所示 则红 绿 黄 A 所以A 12 20 12 7 2 所以盒底的面积为20 12 12 7 2 51 2 上一页 下一页 例2 2001 19 摩托车从大本营出发 要越过450千米的无人区 但摩托车所带的燃油只能行300千米 要走完这一行程 需要再动用几辆同样的摩托车帮助供给燃油 然后供油的摩托车返回大本营 如何安排 解 需要再用2辆同样的摩托车 安排如下表 注 括号内的数表示摩托车拥有的燃油能行多少千米 上一页 下一页 例4 2002 13 有一池泉水 泉底不断涌出泉水 且每小时涌出的泉水一样多 如用8部抽水机 10小时能把水抽干 用12部抽水机 6小时能把水抽干 那么用14部抽水机几小时能把水抽干 解 设1部抽水机1小时抽的水为 1 每小时涌出的泉水是 则原有泉水为 假定用2台抽水机专门抽泉底涌出的泉水 则用14部抽水机抽干泉水的小时数为 答 用14部抽水机5小时能把水抽干 上一页 下一页 例5 2002 18 绕湖一周是24千米 小张和小王从湖边某一地点同时出发 反向而行 小王的速度是每小时4千米 并且每走1小时后休息5分钟 小张的速度是每小时6千米 并且每走50分钟后休息10分钟 问两人出发后多少时间第一次相遇 解 由题意经过2小时20分钟后 小王实际走了2小时10分钟 小张实际走了2小时 此时两人相距 2小时20分钟 20分钟 2小时40分钟 答 两人出发2小时40分钟后第一次相遇 上一页 下一页 例6 2003 14 张老师家的电话号码是七位数 已知它的前四位数与后三位数的和是8401 它的后四位数与前三位数的和是2326 这个电话号码是多少 1 2 得 由 2 可知d 1或d 2 代入 2 得 结果得 代入 2 得 结果得 代入 1 式检验 7861540适合 8971429不适合 所以这个电话号码是7861540 上一页 下一页 上一页 下一页 例7 2003 20 在1 13这13个自然数中 选12个填写在的方格中 使得每横行四个数和和都相等 每竖列三个数也都相等 共有多少种不同的填法 解 1 因为所选的12个数的和既是3的倍数 又是4的倍数 所以必然是12的倍数 因此 选用的数只能是1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 12 13 3 找出上述12个数的所有和为21的三个数的组合 试选13 6 2 因为11 8 2 11 6 4都不可能 只能选11 9 1 这时12 8 1 12 6 3都不可能 只能选12 5 4 这时10 9 2 10 6 5都不可能 只有10 8 3 4 从每组中选出1个数 使4个数的和是84 3 28 只有13 4 1 10 28 6 5 9 8 28 2 12 11 3 28 上一页 下一页 5 同样 如果最初选13 5 3 可得 从中找到另一个组解 13 1 4 10 28 5 8 6 9 28 3 12 11 2 28 6 因为每一组解各有个解 所以共有288种不同的填法 上一页 下一页 上一页 下一页 例8 2004 14 将12个三好生名额分配给8个班 每个班至少1名 共有多少种分配方法 解 只需考虑 每班分配1名后 剩下的4个名额如何分配 1 将4个名额分给同一个班 有8种分法 2 将4个名额分给两个班 若每班2个 有分法 种 若一个班1个 另一个班3个 有分法种 共计28 56 84 种 3 将4个名额分给3个班 一个班2个 另两个班3个 有分法 种 4 将4个名额分给4个班 个 有分法 种 则总共有8 84 168 70 330 种 答 共有330种分配方法 上一页 下一页 例9 2004 18 一次考试有6道题 均为是非题 每道题答对给2分 不答给1分 答错不给分 下表是A B C D E F G七人的答案和前六人的得分 求G的得分 提示 因为E得9分 所以E答对4题 答错1题 例10 2005 5 一个口袋里有4种不同颜色的小球若干个 每种至少2个 每次摸出2个 然后放回 要保证有10次所摸的结果是一样的 则至少要摸多少次 上一页 下一页 解 当摸出的2个球颜色相同时 有4种不同的结果 当摸出的2个球颜色不同时 有种不同的结果 因此 一共有10种不同结果 将这10种不同的结果看作10个抽屉 因为要求有10次摸的结果相同 故至少要摸 例11 2005 7 骰子是每个面上分别标有1 2 3 4 5 6的小正方体 在很多游戏中都要掷骰子 比掷出的点子的大小 设甲先掷一次骰子 然后乙掷 谁掷出的点子大谁赢 则甲赢的概率是多大 上一页 下一页 解 当乙掷出的点数是1时 甲要赢 应掷出2 3 4 5 6之一 这时 甲赢的概率是5 6 一般地 当乙掷出的点数是i时 甲赢的概率是 由全概率公式 甲赢的概率是 另解 由对称性 例12 2005 9 一次考试共有10道题 每道题要么10分 要么不得分 各题的得分率如下表 问这次考试的及格率至少是百分之几 大于或等于60分为及格 上一页 下一页 解 设参加这次考试的有100人 则各题未能得分的分数分别是 5 2 8 15 20 23 26 37 44 50 合计230题 每人做错5题就不及格 因此 这次考试的及格率至少有54 所以最多有46人不及格 例13 2005 16 设中的每一个数的值都是 1或者 1 并且有求证 n是4的倍数 上一页 下一页 证明 所以n为偶数 例14 2005 19 如图 将一个大圆分成五个区域 现要给这五个区域染色 要求相邻区域不得使用同一种颜色 现有四种颜色可供选择 则不同的染色方法有多少种 上一页 下一页 解 分如下4步依次进行 1 先染区域A 有4种方法 2 对于区域B 因为不能与B同色 所以有3种方法 对于区域C 因为不能与A B同色 所以有2种方法 4 最后给区域D和E染色 在给D染色时 有两种可能 与B同色或与B不同色 如果区域D与B同色 则给区域E有2种染色方法 如果区域D与B不同色 则给区域E只有1种染色方法 因此 根据乘法原理 共有染色方法 上一页 下一页 解 如图 设空白的六个部分的面积为a b c d e f 又通过作辅助线可知 上一页 下一页 下一页 练习 1 2000 13 一批商品 按50 的利润定价 销售掉70 以后 为了尽早售完剩下的商品 决定按定价打折 这样 售完后所获得的全部利润只有41 问打了多少折扣 用算术方法列综合算式解答 2 2000 14 下图是某邮递员递送的街区 图上标注的数字表示各段街道的长度 单位 千米 他从邮局出发 要走遍各条街道递送邮件 最后回到邮局 问走什么样的路线最合理 全程有多少千米 上一页 下一页 折 46千米 上一页 下一页 3 2001 14 某旅馆底层的客房比二楼的客房少5间 某旅游团有48人 1 如果全部安排住底层 每间住4人 则房间不够 每间住5人 则有的房间住不满 2 如果全部安排住二楼 每间住3人 则房间不够 每间住4人 则有的房间住不满 这家旅馆的底层有客房多少间 2002 7 如果在2002个零件里混杂一个重量较轻的次品 用天平 不用砝码 最少称次才能保证把次品找出来 4 2002 2 有甲 乙两个两位数 甲数的等于乙数的 那么乙最多是 两个数的差最多是 10 42 56 7 01 上一页 下一页 7 2003 7 有一次考试共20题 记分方法是 做对第K题得K分 做错第K题则倒扣K分 小华做了所有题 得分为100分 那么小华至多做对了几题 8 2003 18 能被3整除 但又不含有数字3的四位数有多少个 9 2004 4 在一次测验中 甲答错了题目总数的1 9 乙答对了7道题 两人都答对的是题目总数的1 6 那么甲答对了多少道题 10 2004 20 求证 在任意17个不同的正整数中 必定存在几个这样的正整数 只用减号 乘号与括号 就可以将它们组成一个得数是21879的倍数的算式 17 1969 32 11 2005 3 已知斐波拉契数列 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 此数列前2005项中能被3整除的数有个 12 2005 11 某一整数的个位数是2 把个位数2移至最高位 得到的数是原数的两倍 问原数最小是多少 13 2