离散数学 函数ppt课件.ppt

5 1函数的基本概念 一 概念定义 X与Y集合 f是从X到Y的关系 如果x X 唯一y Y 使得 f 则称f是从X到Y的函数 变换 映射 记作f X Y 或XY 如果f X X是函数 也称f是X上的函数 下面给出A 1 2 3 上几个关系 哪些是A到A的函数 1 下面哪些是R到R的函数 f x y R y g x y R x2 y2 4 h x y R y x2 r x y R y lgx v x y R y 2 2 定义域 值域和陪域 共域 设f X Y f的定义域 domain 记作domf 或Df即Df domf x x X y y Y f Xf的值域 range 记作ranf 或Rf即或f X Rf ranf f X y y Y x x X f f的陪域 codomain 即是Y 称之为f的陪域 3 二 函数的表示方法有枚举法 关系图 关系矩阵 谓词描述法 三 从X到Y的函数的集合YX YX f f X Y YX 它是由所有的从X到Y函数构成的集合例X 1 2 3 Y a b 求所有从X到Y函数 结论 若X Y是有限集合 且 X m Y n 则 YX Y X nm 从X到Y的关系 P X Y 2nm 规定 从 到 的函数只有f 从 到Y的函数只有f 若X 则从X到 的函数不存在 4 四 特殊函数 1 常值函数 函数f X Y 如果 y0 Y 使得对 x X 有f x y0 即ranf y0 称f是常值函数 2 恒等函数 恒等关系IX是X到X函数 即IX X X 称之为恒等函数 显然对于 x X 有IX x x 五 两个函数相等设有两个函数f A Bg A B f g当且仅当对任何x A 有f x g x 5 六 函数的类型例子 一对一 一对一 6 函数的类型1 满射的 f X Y是函数 如果ranf Y 则称f是满射的 2 入射的 f X Y是函数 如果对于任何x1 x2 X 如果x1 x2有f x1 f x2 或者若f x1 f x2 则x1 x2 则称f是入射的 也称f是单射的 也称f是一对一的 3 双射的 f X Y是函数 如果f既是满射的 又是入射的 则称f是双射的 也称f是一一对应的 特别地 Y是单射 是双射 思考题 如果f X X是入射的函数 则必是满射的 所以f也是双射的 此命题在什么条件下成立吗 7 5 2函数的复合 关系的复合 设R是从X到Y的关系 S是从Y到Z的关系 则R和S的复合关系记作R S 定义为 R S x X z Z y y Y R S 8 函数的复合 定义 设f X Y g W Z是函数 若f X W 则g f x X z Z y y Y f g 称为g在f的左边可复合 9 定理 两个函数的复合是一个函数 证明 设f X Y g W Z是函数 且f X W 1 对任意的x X 因为f是函数 故存在唯一的序偶 使得y f x 成立 而f x f X W 又因为g是函数 故存在唯一的序偶 使得z g y 成立 根据复合定义 g f 即domg f X 2 假设 g f且 g f 由复合定义存在y1 Y y2 Y 使得 f g f g 由于f g为函数 所以有 y1 y2 因而z1 z2 由 1 2 得g f是X到Z的函数 10 函数的复合 一 定义 f X Y g Y Z是函数 则定义g f x X z Z y y Y f g 则称g f为f与g的复合函数 左复合 结论 g f x g f x 二 复合函数的计算计算方法同复合关系的计算 11 例f X Y g Y ZX 1 2 3 Y 1 2 3 4 Z 1 2 3 4 5 f g 则g f 用关系图复合 三 函数复合的性质定理1 满足可结合性 f X Y g Y Z h Z W是函数 则 h g f h g f 12 定理2 f X Y g Y Z是两个函数 则 如果f和g是满射的 则g f也是满射的 如果f和g是入射的 则g f也是入射的 如果f和g是双射的 则g f也是双射的 证明 设f和g是满射的 因g f X Z 任取z Z 因g Y Z是满射的 所以存在y Y 使得z g y 又因f X Y是满射的 所以存在x X 使得y f x 于是有z g y g f x g f x 所以g f是满射的 设f和g是入射的 因g f X Z 任取x1 x2 X x1 x2 因f X Y是入射的 f x1 f x2 而f x1 f x2 Y 因g Y Z是入射的 g f x1 g f x2 即g f x1 g f x2 所以g f也是入射的 13 定理3 如果g f是满射的 则g是满射的 如果g f是入射的 则f是入射的 如果g f是双射的 则f是入射的和g是满射的 定理4f X Y是函数 则f IX f且IY f f 14 5 3逆函数 R是A到B的关系 其逆关系RC是B到A的关系 RC R f X YfC Y X 是否是函数 15 定理1若f是X Y的双射 则fC是Y X的函数 证明 1 对任意的y Y 由f是双射 得f是满射 所以ranf Y故domfC ranf Y 2 对任意的y Y 若存在x1 X x2 X使 fC且 fC则 f且 f由于f是单射 有x1 x2 由 1 2 fC是Y X的函数 16 逆函数的定义 定义 设f是X Y的双射函数 则称fC Y X为f的逆函数 并记f 1 定理 f 1是Y X的双射函数 证明 由于ranf 1 domf X 所以 f 1是满射 对任意x X 若存在y1 y2 Y 使得 f 1且 f 1则 f且 f 由于f是函数 所以y1 y2 即f 1是单射 因此 f 1是双射 17 二 性质 1 定理1设f X Y是双射的函数 则 f 1 1 f 2 定理2设f X Y是双射的函数 则有f 1 f IX且f f 1 IY 证明 先证明定义域 陪域相等 因为f X Y是双射的 f 1 Y X也是双射的 所以f 1 f X X IX X X可见f 1 f与IX具有相同的定义域和陪域 再证它们的对应规律相同 x X 因f X Y y Y 使得y f x 又f可逆 故f 1 y x 于是f 1 f x f 1 f x f 1 y x IX x 同理可证f f 1 IY 18 3 定理3令f X Y g Y X是两个函数 如果g f IX且f g IY 则g f 1 证明 证f和g都可逆 因为g f IX IX是双射的 由关系复合性质3得 f是入射的和g是满射的 同理由f g IY 得g是入射的和f是满射的 所以f和g都可逆 显然f 1和g具有相同的定义域和陪域 19 证明它们的对应规律相同 任取y Y f 1 y f 1 IY