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第一部分 用数学模型思想方法解决数学实际应用问题一、 初中学生解决实际应用问题的难点 1.1、对实际问题中一些名词术语感到生疏 由于数学应用题中往往有许多其他知识领域的名词术语，而学生从小到大一直生长在学校，与外界接触较少，对这些名词术语感到很陌生，不知其意，从而就无法读懂题，更无法正确理解题意，比如实际生活中的利率、利润、打折、保险金、保险费、纳税率、折旧率、移动电话的收费标准等概念，这些概念的基本意思都没搞懂。如果涉及到这些概念的实际问题就谈不上如何去理解了，更谈不上解决问题。 1.2 缺乏解决实际问题的信心 与纯数学问题相比，数学实际问题的文字叙述更加语言化，更加贴近现实生活，题目也比较长，数量也比较多，数量关系显得分散隐蔽。因此，面对一大堆非形式化的材料，许多学生常感到很茫然，不知如何下手，产生惧怕数学应用题的心理。具体表现在：在信息的吸收过程中，受应用题中提供信息的次序，过多的干扰语句的影响，许多学生读不懂题意只好放弃；在信息加工过程中，受学生自身阅读分析能力以及数学基础知识掌握程度的影响，许多学生缺乏把握应用题的整体数学结构，并对全立体结构的信息作分层面的线性剖析的能力。即使能读懂题意，也无法解题；在信息提炼过程中，受学生数学语言转换能力的影响，许多学生无法把实际问题与对应的数学模型联系起来，缺乏把实际问题转换成数学问题的转译能力。 1.3对数据处理缺乏适当的方法 许多实际问题中涉及到的数据多且杂乱，学生面对如此多而杂乱的数据感到无从下手，不知应把哪个数据作为思维起点，从而找不到解决问题的突破口。 1.4缺乏将实际问题数学化的经验 数学模式的呈现形式是多种多样的，有的以函数显示，有的以方程显示有的以图形显示，有的以不等式显示，有的以概率显示，当然，还有其他各种形式的模型，具体到一个实际问题来讲，判断这个实际问题与哪类数学知识相关，用什么样的数学方法解决问题，是学生深感困难的一个环节。 七、克服数学建模困难的对策 针对学生解决实际应用问题的困难以及解实际应用问题的思路和方法，我认为在平时的应用题教学中应重视对学生进行数学应用意识的培养。如数学语言，数学阅读理解等要有计划，有针对性地训练和培养，具体地讲，应抓好以下几个方面的教学。 7.1着力培养学生的自信心 一个人的自信心是他能有效地进行学习的基础，更是他将来能适应经济时代必备的心理素质。基于这样一个事实，许多国家都把对学生自信心的培养作为数学教育的一个基本目标。因此，在平时教学中，应加强实际问题的教学，使学生从自身的生活背景中发现数学，创造数学，运用数学，并在此过程中获得足够的自信。例如：我曾经安排学生个人或小组到银行去调查储蓄存款利息计算方法：让学生学会选择储蓄存款的最佳期限： 7.2培养学生阅读理解能力，使学生逐步学会数学地阅读材料了解材料 通过数学阅读，能促进学生语言水平的发展以及认知水平的发展，有助于学生探究能力和自学能力的培养；通过数学阅读，有助于学生更好地掌握数学。前苏联著名数学教育家斯托利亚尔指出“数学教学也就是数学语言的教学“，因此，从语言学习的角度讲，数学教学也必须重视数学阅读，作为数学教师，不仅要重视培养学生的阅读能力，还要注重教给学生科学有效的阅读方法，让学生认识到数学阅读的重要性使学生体验到数学阅读的乐趣及对学习的益处。从而在兴趣和利益的驱动下自觉主动地进行数学阅读。具体地讲，强化阅读能力的培养，教学时要注意以下几个方面：（1）让学生学会说题。所谓说题，就是让学生通过阅读题目后，进行分析思考，说出题目提供的信息条件，现象过程，解题思路及应采用的规律方法等等。教学中可让学生通览全题说题目的要素，也可让学生剖析字句，说题目的条件；还可让学生形成解题思路后说解题步骤；（2）组织适当的课堂探究交流，课堂探究交流常常需要教师给出一个中心议题或所要解决的问题，学生在独立思考的基础上，以小组或班级的形式围绕议题发表见解、互相讨论；实践证明，课堂探究交流为师生之间，同学之间的多向交流提供了一个很好的平台；探究交流对学生独立活动的自由度增大，可以运用数学语言进行提问、反驳、论证、收集材料，统计数据等多种活动并与别人的思想进行比较，以达到更深层次的理解和掌握。因此，课堂探究交流不仅适合培养学生的交流能力，还有助于激发学生的学习兴趣，增进对知识的理解；（3）创设写数学的机会，让学生“写数学”，就是要学生把他们学习的数学心得体会，反思和研究结果，用文字的形式表达出来，并进行交流。例如：可让学生写知识小结、解题反思、调查报告和小论文等，这样做不仅可以提高学生的数学写作，阅读能力和理解能力，而且可以进一步提高学生的数学的学习水平与探索研究能力。 7.3构建知识网络，强化从整体的角度选择思维起点的能力，数学实际问题最突出的特点就是数据多，变量符号（字母）多，数量关系隐蔽而且数据具有“生活实际”的本来面目，并非“纯数学化”的数据。学生对数据的感悟能力较差，对已知所求之间的数量关系比较模糊，如果从局部入手，则头绪纷繁，不易突破，但若能从客观上进行整体分析，抓住问题的框架结构与本质关系，常能出奇制胜，找到解决问题的方法。具体的讲可以运用结构数据表格整合信息，理顺数量间的关系，从而建立相应的数学结构，凸显数学“建模”。 加强对学生数学语言能力的培养，主要做好以下两方面的工作：首先，要加强语义、句法的教学。 其次，要加强数学语言的互译的训练。7.5优化教学设计，教学策略。 传统教学中，教学过程基本上由教师控制，教学设计只关注对传授接受过程的优化，而很少关注改变学生学习方式，学生接受的只是一些数学结论，对数学问题是怎样提出的，概念是如何在具体情景中形成的，结论怎样探索和猜测到的，证明的思路和计算的想法是怎样得到的，结论的作用和意义是什么？很少关注。因而无法实现学生的数学学习由被动接受“结果”向主动积极构建“过程”的转化。一碰上实际问题，就茫然不知所措。为改变这一高耗低效的课堂，教学设计应注重创造问题情景，开发教学媒体，提供学习资源，优化学习环境。在指导学生学习策略上：一是变学生“仓库式”学习为“蜂蜜式”学习，二是变学生由知识学习为体验学习、发现学习。因此教学设计不仅要关注“基础知识”传授，更要关注如何向学生提供真实情境，模拟情境向学生展现“春天的原野”，让学生体验尝试，发现探究。让学生博采广撷，自我“酿蜜”；优化教学设计离不开研究学生的数学学习心理，摸清学生的学情，否则，教师无法有针对性地提供给学生解决数学实际问题的思想和方法。 76开发教材潜能，创造性地用好教材 教材是教与学的依据，也是教学问题的题源。教材中的例题、习题是经过反复筛选精编而成，看似寻常，实则内涵丰富。有不寻常的价值和应用功能，教师要充分发挥、挖掘教材中例、习题的作用，在教与学中创造性地设置教学情景，并适时地“深挖洞”或“广积粮”形成以问题为中心展开教学，使学生真正理解掌握知识的产生、形成和发展过程。对例题，习题的教学中采取一题多解（多角度、多方位、多层次）的形式，容易的题精讲，旧题新讲，小题大讲（深入挖掘、一题多变、一题多解、一题多用）如果老师教学时在处理上述问题原形时，不引导学生进行横向扩展纵向延伸，学生在面对实际问题时是很难解决的。因此，教师要创造性地使用好教材中的例题、习题，在布置练习时要减少一些“死”的书面作业，增加一些“活”的实践性、开放性、探究性作业。对教材中的概念、公式、法则、定理不仅要求熟记，而且要弄清背景和来源，以及与其他知识的联系，注重教材中概念、公式、法则、定理的提出、知识的形成。发展过程、解题思路的探索过程，解题规律和方法的概括过程，为学生创建了解决实际问题的基石和搭建了登高望远的平台。 第三部分 运用数学思想方法解决实际问题小学数学教学内容贯穿着两条主线，数学基础知识和数学思想方法。数学基础知识是一条明线，直接用文字的形式写在教材里，反映着知识间的纵向联系。数学思想方法则是一条暗线，反映着知识间的横向联系，隐藏在基础知识的背后，需要教师加以分析、提炼才能使之显露出来。数学知识是对生活的提炼，数学思想方法是对数学知识的提炼。美国教育心理学家布鲁纳指出：掌握基本的数学思想和方法，能使数学更易于理解和更利于记忆，领会基本数学思想和方法是通向迁移大道的“光明之路”。在一个人的一生中，最有用的不仅是数学知识，更重要的是数学的思想和数学的意识。因此在小学数学的教学中要不失时机地对学生进行数学思想方法的渗透，掌握数学思想方法是数学学习的最高境界。一、在教学过程中渗透数学思想方法如果在学生获得知识和解决问题的过程中能有效地引导学生经历知识形成的过程，让学生在观察、实验、分析、抽象、概括的过程中看到知识负载的方法、蕴涵的思想，那么，学生所掌握的知识就是鲜活的，可迁移的，学生的数学素质才能得到质的飞跃。如，在“面积与面积单位”一课教学中，当学生无法直接比较两个图形面积的大小时，引进“小方块”，并把它一个一个地铺在被比较的两个图形上，这样，不仅比较出了两个图形的大小，而且，使两个图形的面积都得到了“量化”。使形的问题转化为数的问题。在这一过程中，学生亲身体验到“小方块”所起的作用。接着又通过“小方块大小必须统一”的教学过程，使学生深刻地认识到：任何量的量化都必须有一个标准，而且标准要统一。很自然地渗透了“单位”思想。在教学中，要鼓励学生应用数学知识去分析和解决生活中的实际问题，引导学生抽象、概括，建立数学模型，探求问题解决的方法，使学生进一步体验数学思想方法。再如教学“三角形”时，教师创设小明上学的情境，出示图例：小明家和学校、商店、邮局形成两个三角形，让学生在情境中初步感知小明走中间这条路上学是最近的，使学生产生探究其原因的欲望。接着让学生在教师提供的4根小棒（4cm、5cm、6cm、10cm）中任选三根摆三角形。学生通过操作发现，能摆成三角形的是：5cm、6cm、10cm和4cm、5cm、6cm，不能摆成三角形的是：4cm、5cm、10cm和4cm、6cm、10cm。让学生通过观察、猜测、验证，从而归纳出“三角形任意两边之和大于第三边”的结论。二、把数学思想与实际生活相联系数学必须与学生的生活实际联系起来，把生活中鲜活的题材引入学生学习的课堂，还要让学生走出小教室，走进社会这个大课堂，让学生运用数学思想方法解决实际问题，体验到学习数学的价值，感悟到掌握数学思想方法的价值所在。如教学“比例”这部分知识时，教师把学生带到操场上，提出挑战性的问题：你们能测量出旗杆的高度嘛。如何测量？多数同学摇头，少数几个窃窃私语：生：爬上去量，但是两手抱旗杆怎么量？生：拿绳子量，先用绳子量，再量绳子。生：这可是个好办法，好像“曹操称象”那样，可是旗杆又无枝可攀，如何上去呢？正当同学们议论纷纷、束手无策的时候，教师取来了一根长2米的竹竿和一根长1米的竹竿，笔直插在操场上。这时阳光灿烂，马上出现了竹竿的影子，量得影子长分别是1米、0.5米。教师启发学生思考：竿长与影长什么关系？你发现了什么？你能想出测量旗杆的办法吗？生：旗杆高是它的影长的2倍。这时又有一生说：必须在同一时间。教师问道：为什么？因为不在同一时间阳光照射的角度不一样，实物与影子的倍数关系就不一样了。这个想法得到肯定后，学生们很快测量旗杆影子的长度，算出了杆高。接着，教师又说：“你们能用比例写出一个求杆高公式吗？”于是得出：竿高：竿影长竿高：竿影长或竿高：竿高竿影长：竿影长，学生运用这一规律兴趣盎然的计算出篮球架、楼房的高度，学生意犹未尽，完全沉醉于探讨活动中。教师有意让学生通过观察、分析、运用，了解数学知识在生活中的实际作用，运用数学的思想方法解决实际问题，培养学生多用数学眼光看问题，多用数学头脑想问题。在教学中，要鼓励学生应用数学知识去分析和解决生活中的实际问题，引导学生抽象、概括，建立数学模型，探求问题解决的方法，使学生进一步体验数学思想方法。例：生活中“付整找零”的生活原型是学生熟悉的事例。教学中创设情景：小明的爸爸原来有325元钱，这个月又可以领到298元奖金，让学生扮演爸爸和发奖人，发奖人给爸爸3张100元的，爸爸要找回2元。把这样的生活原型提炼为数学模型，编成应用题，学生在计算325+298时，用325+298=325+300-2，从而明白“多加要减”的算理。象这样从学生熟悉的“常识”上升为“数理”就是一个建模的过程。学生根据已有的购物经验说明“多加要减，多减要加”的道理。这样“多加要减，多减要加”的数学思想方法自然而然的渗透到学生的思想之中了。在解决问题的过程中学生掌握了数学思想方法，就好像是掌握了“万能的钥匙”。三、通过动手操作来渗透数学思想我一直认为数学思想方法对于小学生而言不是那么重要的，是可望而不可及的，小学生没有必要掌握数学思想方法。正是因为有了这种思想，于是本人在教学中只注重对于学生数学知识的讲解把握，很少涉及到数学思想方法的教学，即使涉及，也是“蜻蜓点水”一带而过，学生能掌握多少就算多少。但是我上了这节数学课以后我感受颇深。如：在上认识周长一课时我没有将测量圆形物体的周长的方法直接告诉给学生，而是让学生在自主发现，自由讨论争辩，自己动手实践操作中，掌握了转化这种重要的数学思想，提升和发展了学生的数学素养。数学家华罗庚教授在总结他的学习经历的时指出：“对于书本上的某些原理、定律、公式问题，我们在学习的时候，不仅应该记住它的结论，懂得它的道理，而且还应该设想以下人家是怎样想出来的，经过多少曲折，攻破多少难关，才得出结论的。只有经历这样的探索过程，那么数学的思想方法才能积淀，从而使知识具有更大的智慧价值。”可见，数学思想是要在学生探索的过程中渗透的。此教学片段中我没有直接给出硬币、胶带的圆形的物体，而是首先给学生展示的是一个圆形物体，探索交流测量圆周长的不同方法，学生的思维很活跃，接着，教师给学生加大了思维的难度，给出了树叶等不规则物体，由于之前的铺垫引导，学生能够较容易地选择相应的方法进行测量计算物体的周长。此时，通过学生的动手操作，他们已经能够运用“化曲为直”的思想方法解决问题了，转化这种数学思想方法的渗透已经在他们的动手操作的探索过程中潜移默化地完成了，在他们的认知结构中其实已经对这种思想方法有了深刻的认识，只是他们还不能用准确的言语表达出来。最后通过教师的点拨总结，学生对这种数学方法有了质的认识。从这个教学片段中我们可以看出，在学生获取知识和解决问题的过程中，应该有效地引导学生经历知识的形成过程，使学生在观察、分析、动手操作探索中，体会到知识背后所承载的思想方法，促进学生对数学知识的理解超越机械的水平，达到领悟水平，那么学生所学到的知识才是生动的，灵活的，而且是可以迁移使用的，学生的数学素养才能得到真正的提高。总之，在我们日常教学中，只要认真发掘教材内容中隐含的数学思想方法，把它渗透到自己的备课中，渗透到学生思维过程中，渗透到知识形成的过程中，渗透到课堂小结中，渗透到学生作业中，使学生在探究学习中渗透数学思想方法，在操作中亲身经历、感受、理解、掌握和领悟数学思想方法，才能真正地让数学思想方法在与知识能力形成的过程中共同生成。 第三部分 培养学生运用画图方法解决数学问题 ，是教学中行之有效的教学方法。经过实践，我发现，用画图的方法可以帮助学生正确地理解题意，从而有效地解决数学问题，培养学生宽广的思维能力和学习数学的兴趣。一、画图在解决数学问题中的作用（一）画图搭桥，把抽象问题具体化在数学课程标准提出的课程目标中，把解决问题作为重要的课程目标，并指出：要使学生面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略。画图策略是众多的解题策略中最基本的、也是一个很重要的策略。通过画图，为学生解决抽象的数学问题搭好了桥，帮助学生化抽象为直观，揭示概念本质；化复杂为简单，呈现数量关系；化隐性为显性，再现想象模型；化无序为有序，梳理事件规律等等。从而使学生能从图中理解题意，搜寻到解决问题的突破口，从而形成解题的思路。例如，比多少应用题一直是学生学习的一个难点，学生对谁和谁比，谁多谁少，总是分不清，造成见多就加，见少就减的错误逻辑。如果学生能借助画图来分析数量关系，教学效果就会大大提高。如：同学们站队，从前面数小军站在第5个，从后面数小军站在第6个，你知道这一队一共有几人吗？学生往往算成56=11（人），把小军算了两次。如果学生能画一下图，就不会做错。 三角形代表小军，圆代表其他的同学，从图上我们也能看出小军从前和从后数都数上他了，算了2次，正确列式：5+6-1=10 （人）。通过画图，这道题目的题意就非常清晰。（二）画图方法，能促进学生思维能力的发展根据学生的认知规律，学习都会经历一个从“外化”到“内化”的过程。而学生在画图的过过程中，读题、明确问题、寻找条件，把文字转化成图画，发现数量关系，再把图画转成思维，这一系列脑力活动完整地搭建了这个从“外化”到“内化”过程，这个过程会伴随着一些数学思想的渗透，能提高学生的思维能力。二、培养学生运用画图方法解决数学问题的策略（一）引导学生体会画图的作用1.创设问题情境，使学生产生画图的需要。我让男生、女生进行比赛，让学生在比赛中体验画图在解决有关面积计算方面问题的优越性。男生做文字题，女生做转化为示意图题。女生很快完成了，而男生却慢了许多。男生很快发现自己“上当”了：原来，做画图的题要比做文字的题快好多啊！看图解决问题一目了然，更简单！通过讨论，学生们认识到画图在解决有关面积计算方面的问题时确实非常方便、实用，从而体会到画图方法的价值。2.把握时机，使学生切实体会到画图的作用。要使学生体会画图策略的价值和作用，教学时教师应把握两个时机：第一个时机是在学生理解题意有困难，想不到解题方法时，不要为孩子解释题意和提示算法，而是要引导其通过画图整理信息，理解题意、形成思路、寻找解法；第二个时机是学生在解决完问题后，要引导其认识画图整理信息的作用，启发孩子在以后的解题中自觉使用。（二）鼓励学生用不同形式的图解决数学问题在传统的应用题教学中，提到画图教师们想得更多的是线段图，教师把画图作为一个知识教给学生，而不是把它看成帮助学生解决问题的一个策略来进行教学，所以学生不愿意按照老师的要求来画图。新教材把画图作为一种策略来教给学生，而且画图的形式也不只限于线段图。常见的数学图有以下几种：1.线段图：能够把抽象的问题具体化，是一种半抽象半具体的图，尤其在分数应用题中特别突显它的优势。例如：桃树有180 棵，比梨树少2/5，梨树有多少棵？引导学生作图分析：先找到单位“1”梨树的棵数，并用线段表示出来。再由“比梨树少”可画出表示桃树棵数的线段？如图：这是一道比较复杂的分数应用题，学生通过画图就能很快找到量与率的对应关系，从而正确理解题意，避免不知用乘法还是除法计算的迷茫了。2.树图：在教学“搭配”时，使用“树图”会更加直观。如：有两件不同的上衣，三条不同的裤子，一共有几种不同的搭配方法？通过画图，这些题目学生就能迎刃而解。3.集合图：能够体现数学的思想及方法。例如：三年级一班有15人参加兴趣活动小组，参加美术小组的有9人，参加合唱小组的有10人，同时参加两个小组的有多少人？如果用画集合图的方法，问题就迎刃而解了。如下图：通过画图，学生就会发现图中重叠部分就表示同时参加两个小组的人，即91015=4（人）。4.示意图：在解决问题的过程中，学生们会根据自己的经验，画出一些让我们意想不到的图。这种情况下，教师要充分肯定学生画图的价值，保护学生学习数学的兴趣。例如：一个圆形花坛，它一圈的长度是56米。如果每隔7米种一棵树，这一圈可以种多少颗树？自己动手画一画，就会发现需要栽8棵树。567=8（棵）种树的棵数=间隔数。总而言之，学生可以根据自己的需要画出不同的图来帮助自己分析、理解数量关系，解决实际问题。因此教师应鼓励学生运用多种图的形式分析和解决问题。（三）抓住重要内容来培养学生的画图方法教学要真正做到培养学生运用画图策略解决问题的能力，不是在加深问题的难度上下工夫，而是要通过有代表性的又为学生容易接受的题目，着重培养学生的画图策略，使学生能够产生迁移。这样即使遇到一些未解过的题目，学生经过自己的画图、分析也能找出解答的方法。例如：鸡兔同笼，头共15个，足共40条，鸡兔各几只？这类应用题有两个未知数，如果用方程或假设的方法，低年级同学理解算理都有困难，可是用画图理解比较直观。第一步先画15个头 （ ）第二步每个头画2条腿（|）第三步剩下的10条腿可以分给5个头，每个头画2条腿由此可见：有4条腿的是兔子，2条腿的是鸡。答案：5只兔子，10只鸡。（四）指导学生循序渐进地掌握画图方法画图方法的掌握不是一朝一夕就能学会，是需要从一年级开始不断训练才能形成的。我认为应该分三步进行教学。第一阶段：“自由画图阶段”我也称它为“画丫阶段”， 是用画图法解决问题的初级阶段，即低年级阶段。这时老师应只观望，让学生自由发挥。无论学生画的如何，教师都应鼓励他们。 第二阶段：规范画图阶段，即中年级阶段。当发现你的学生碰到解决问题画图欲望比较强的时候，找到一个可以作画的载体进入第二阶段规范画图。第三阶段：脑中成图阶段，这是用画图法解决问题的最高阶段。这时学生在规范作图的长期训练后，看到题目能在脑中马上形图，然后根据脑中的图来解决问题，从真正意义上提高学生的解题能力。学生通过运用画图策略解决问题，就能体验画图策略的有效性，感受直观图形对于解题的作用，形成应用画图策略的兴趣和自觉性。（五）引导学生将画图方法与其他学习方法灵活结合学生有着不同的知识背景和思考角度，认知水平和领悟力的不同，常常会出现不同的解题方法，这正是学生不同个性的体现。画图方法固然是一种很重要的解题策略，但在解决实际问题中要灵活应用，需要与其他学习方法相结合，充分发挥其作用，达到提高学生解决问题能力的效果。例如：小平和小红同时从a地b地，小平每分钟比小红多走20米。30分钟后小平到b地，然后立即原路返回，在离b地350米处遇到小红。小红每分钟走多少米？我让学生进行题目内容的模拟表演，表演在同学们不断的纠正中越来越正确，说明学生对题目内容的认识也越来越清晰。然后再用线段图将所模拟的情境画下来，这样题目里的数量关系一目了然了，学生的分析思路更清晰了。（六）注重画图方法中数学思想的渗透小学数学基本思想可以分为数形结合思想、对应思想、转化思想等。这些思想是整个小学数学的基石，也是数学通向科学殿堂的桥梁。因此，教师在培养学生利用画图方法解决数学实际问题的过程中，应有意识地渗透数学思想，培养和发展学生的数学能力。1.数形结合的思想数与形是数学教学研究对象的两个侧面，把数量关系和空间形式结合起来去分析问题和解决问题，就是数形结合思想。“数形结合”可以借助简单的图形、符号和文字所作的示意图，促进学生形象思维和抽象思维的协调发展，沟通数学知识之间的联系，从复杂的数量关系中凸显最本质的特征。2.对应的思想小学生在应用题的解答中，很难找准对应的量与率。因为有时“量”是隐蔽条件，有时“率”是隐蔽条件，也有时“量”与“率”都是隐蔽条件。因此，解答此类题目，就必须建立在清晰、明确的量与率对应的前提下。而画图策略在帮助我们明确对应关系中发挥了重要的作用。3.转化的思想转化思想是数学的基本思想之一，也是学生解决数学问题的重要策略之一。有些应用题，按原题的条件，数量关系解答起来比较复杂，如果根据知识之间的内在联系，变换一种方式去思考，恰当地运用直观图形转化题中的数量关系，把原来的问题转化为另一种容易解决的问题，从而打开解题思路，顺利解决问题。教师要善待每一位学生的绘图“作品”，不管是“力作”还是“劣作”，都要一视同仁地肯定其存在的价值。一些看似复杂的应用题，通过画图这座美丽的“桥”，使学生顺利解决数学问题。学生不再谈“题”色变，从对解决问题的“恨”转变到“爱”。让我们借着画图这座“桥”，使所有的孩子都感受解决问题的魅力所在。在18世纪的哥尼斯堡城里有七座桥。当时 有很多人想要一次走遍七座桥，并且每座桥只能经过一次。这就是世界上很有名的哥尼斯堡七桥问题。你能一次走遍这七座桥，而又不重复吗？(自己动手画画吧）第四部分 运用数学思维方式 “解决实际问题”的教学策略 一、运用数学思维方式 “解决实际问题”理论价值数学是研究空间形式和数量关系的科学。当代数学能够处理科学中的数据和观测资料，进行推理、演绎、证明，可提供自然现象、社会系统的数学模型。而且数学的特点具有：高度抽象性、逻辑严密性、应用的广泛性。数学课程改革中的“应用” ，近年来，数学教育界内的“问题解决”、数学建模等无一例外地把应用提高到一个非常高的程度，因此，正确理解“应用”就成为一个非常重要的问题。对于“问题解决”、“大众数学”、“数学建模”、“应用”等等，对于使数学课程“贴近”实际，历史上已作了许多讨论。事实上，理论与实践相结合是数学课程教材改革的重要目标之一。在两千多年前，数学教育就存在着着眼于实用和训练思维的两大目标。今天数学的内容大大地丰富和深化了，实际应用和训练思维的涵义也大大拓展了。归根到底，数学教育的目的除思想教育方针之外，仍然是这两个目标的结合。数学就自身发展来说，始终是理论与实践密切结合一门科学。 综观数学教学，数学和现实的联系 越发为人们所重视，但是如何人教“应用”和运用“现实生活”例子为数学教学服务仍有待研究。应用在数学教学中可以有许多非现实生活的例子，如储蓄、税收等， “现实”的问题。还会有多种形式体现“应用”。比如，守门员如何占位才能缩小对手的射门角度？这些问题把数学与实际情境联系在一起，对一些学生有吸引力，但并不是真用数学解决问题，没有哪个球员会这样去计算他们站立的位置。数学的应用主要不在于这样的“应用”，更重要的是，这种“联系”不可能总是结合学生的“现实”的，正如卡尔松说的“现实是主体和时间的函数，对我是现实的，对别人未必是现实的，在过去是现实的，现在不一定再是现实的了”。可见要使课程有“应用”性。解决实际问题的思想、程序与方法，而这对学生的发展来说，其意义远大于仅仅获得某些数学知识。事实上，前面提到的“再发现”过程，本身体现了一种基本的模式，即研究数学问题的模式，可以表征为：抽象符号应用。荷兰数学家弗赖登塔尔把这个过程称之为“数学化”。数学化的过程，正是学生学会学习的过程，也是学生获得发展性学力的过程。 二、建立数学思维方法 运用数学去解决实际问题的过程本质是数学思维的活动，因此，讨论建立数学思维方法尤为重要，不能离开思维的方法去谈论运用数学去解决实际问题。我们认为，分析与综合、比较与分类、抽象与概括、猜想与验证等既是思维的重要方法，同样是构建数学思维重要方法。 1分析与综合。 分析与综合是重要的思维方式，同样是重要的数学方法，是学习数学过程中建立数学模型的重要途径之一。应用题教学中用“分析法”与“综合法”来分析数量关系，寻求解答方法的过程，就是用这种思维方式来建立一个具有典型意义的数学模型的过程。分析是对所获得的数学材料或数学问题的构成要素进行研究，把握各要素在整体中的作用，找出其内在的联系与规律，从而得出有关要素的一般化的结论的思维方式。事实上，不少学生在掌握某些数学知识或方法的时候，常常表现为一种点式的、孤立的记忆，或者只感知了某些知识之间的浅层的联系，而缺乏对他们之间的内在本质联系的把握，即缺乏一种建构意义上的链式结构，因而，其头脑中的认知结构是很不合理的，很不完善的，这样的认知结构不具有模型的价值，即不能有效地促成一些较复杂的问题的解决。如果运用分析法深人研究，以上的认知结构就可以真正建立为有价值的模型。例如，学生都会判断“谁能被谁整除”，“某两个数是否互质数”，进而判断“某分数是否最简分数”，“某个比是否最简整数比”但是学生可能未必真正理解“为什么这两个数是互质数而另两个数不是互质数”，或者仅将它们之间的联系停留在“约数”与“公约数”上。毫无疑问，这的确是它们之间的联系，但并非是最本质的联系，实际上“两个自然数是否具有相同的质因数”才是它们最根本的连接点。这样，我们便构建了一个有关以上概念之间的联系的合理的认知结构，即构建起以“质因数分析”为特征的数学模型。 综合是将对数学材料、数学问题的分析结果和各要素的属性进行整合；以形成对该对象的本质同性的总体认识的思维方法。因而,分析与综合相结合，在建立起具有本质特征和方法论意义的数学模型上具有重要的意义。例如，将学生对直圆柱各方面的分析、研究以后得到的各种结果加以综合，可以得到对直圆柱的整体认识的结论性描述，即底面是两个相等的圆，侧面可以展开成长方形的立体图形。于是，有关圆柱的数学模型便清楚地得到建立，它是以后解决圆柱形实际问题的关键。 2比较与分类。 比较是对有关的数学知识或数学材料，辨别它们的共同点与不同点。数学中的比较是多方面的，包括多少与大小的比较，相同与不同的比较，结构与关系的比较，定律与性质的比较等。比较的目的是认识事物的联系与区别，明确彼此之间存在的同一性与相似性，以便揭示其背后的共同模型。分类是在比较的基础上，按照事物间性质的异同，将具有相同性质的对象归入一类；不同性质的对象归入另一类的思维方法。因此，比较与分类常常是联系在一起的，在建立数学模型的诸多思维方法中，比较与分类有着重要的作用，它往往是抽象概括、合情推理的前提，而正确地进行比较与分类的基础是仔细、深入地观察。例如，教学“乘法的初步认识”，其基本过程为：（l）计算并观察算式特征：333，243，44444，1362，（2）比较以上算式的特征并分类。（3）讨论、探索加数相同的这一类算式的简便计算方法。（4）建立基本的数学模型：“加数相同的连加算式”可以用“相同加数相同加数的个数这一简便的方法（乘法）来计算。 3抽象与概括。 在数学学习过程中，抽象与概括是数学能力的核心要素之一，是形成概念、得出规律的关键性手段，因而，也是建立数学模型最为重要的思维方法。抽象是从许多数学事实或数学现象中，舍去个别的、非本质的属性，而抽出共同的本质的属性。在数学中表现为抽取数量之间、空间形体之间的关系和形式。而概括则是把抽象出来的事物间的共同特征，归结出来，它以抽象为基础，是抽象过程的进一步发展。例如，学习“分数与除法之间的关系”，整个过程如下。（l）具有一定情景为背景的数学问题。把1米长的绳子平均分成5份，每份是多