复 多重多因衰减模型.doc

同单调相依结构下一类复合生命衰减概率分布 王志坚 暨南大学经济学院统计学系 摘要：在寿险实务中，处理涉及多个生命的问题时常假设各生命间是相互独立的，但事实上，因为受某些相同因素影响导致生命间存在一定的正相依性,而同单调是一种极端的相依结构。本文给出复合生命在同单调结构下受多个减因影响的一类概率分布。关键词：同单调；概率分布；衰减中图分类号 O211.9 文献标识码：AAMS Subject Classification(2000):60K05;62P05;90A46A sort of decrement model for multi-life and multi-causes under comonotonic dependence structureWANG Zhi-jian WANG dabu-xilatu(School of mathematics and information sciences, Guangzhou university, Guangzhou , 510006 )Abstract: In practice of life insurance, when more than one life are involved they are often assumed to be independent . However, it is deemed to be positively dependent among lives as they are affected by some same factors.while comonotonicity is the extreme dependent. In this paper ,we give a sort of probability distribution model for multi-life based on the comonotonicity dependent structure with multi-decrement causes.Key words: Comonotonicity; probability distribution; decrement1 引言传统的保险精算方法基于风险间的独立性假设，利用大数定理和中心极限定理，保险公司可以通过风险集中来有效的管理和控制风险。然而,正如12所提到，很多情况下，风险并不独立，他们之间存在着复杂的相依关系。文3给出了同单调结构下的两重生命只受死亡影响的概率分布，然而实际中导致模型的终止还有除死亡以外的其他减因。文8将上述两重生命推广到多重生命，但减因还只是死亡。文7给出了同单调结构下两重复合状态生命模型，但文中没有涉及到重复合生命的情况。文456均给出了单生命在多个减因衰减下的概率分布，至于多个生命在多个减因下的衰减文中并未涉及。本文给出多重多因衰减模型，这个模型适用于夫妻险 、家庭合险、某公司雇员的团体险等受到残疾、死亡、退休及辞退等多个衰减原因的共同影响，推广了单生命多因和多生命单因衰减模型，弥补了前面几个模型的不足。2预备知识21 单生命多因衰减概率分布假设存在两个年龄为和的生命，记为和，他们的未来生存时间（余寿）均为概率密度存在的连续型随机变量，分别记为和，衰减时间可能是个体的死亡时间也可能是其他原因导致模型终止时间。我们也用表示模型的衰减时间，为方便起见，先讨论只有两个减因导致模型的终止，且这两个减因相互独立，则： ，其中，表示由减因1导致模型的终止时间，表示由减因2导致模型的终止时间。先引入以下几种单生命精算表示法：个体在未来时刻之前由于原因而衰减的概率；：个体在未来时刻之前衰减的概率；：个体在未来时刻之前未衰减的概率。 在多元衰减模型中，对每个减因都可以定义一个单元衰减模型，称其为相关单衰减模型56，也称为由减因引起的绝对衰减率，记为，它与有所不同，前者是单独考虑衰减原因的一元衰减模型的衰减概率，后者是考虑多个衰减原因共同作用下，因衰减原因而衰减的概率。22 独立情况下多重多因衰减模型 在保险实务中，一些保单涉及到多个被保险人，保险金的给付取决于每个个体的生存状况，本节考虑两重生命受两个减因影响的情况，假设此二生命相互独立。状态：当个体和都存活时该状态存在，只要有其中一个个体死亡时该状态即终止，称此状态为联合生存状态状态：当个体和只要有一个个体生存时，该状态即存在，称此状态为最后生存者状态。基于此定义显然有下式成立： 上式的直观意义：两个生命组成的联合生命状态，暴露在两个减因下，当其中一个生命衰减时，联生状态即终止，而对于每个生命来说，其衰减时间也即为在减因一或减因二作用下的最短的时间，所以联生状态的余寿即为，中最小的一个，这个意义有助于我们对多重多因模型的理解。 由的定义有： 则，所对应的概率密度函数分别为： 同理可得： 死亡力函数： 3 主要结果3.1 同单调两重两因模型假设多重生命中涉及到的各个生命总是受到一些共同因素的影响，从而生命间必然存在某种相依性，由文献3知，同单调是最强的一种正相依性。本节考虑同单调的两重生命受两个独立减因影响的生存分布。定义3.1.1 1 设为维欧氏空间，的子集称为同单调的，若对任意或总成立。定义3.1.2 1 设为概率空间上的随机向量。若对中的任何子集有成立，则称为随机向量的支撑集。定义3.1.3 1 对概率空间上的随机向量，如果有同单调的支撑集，则称是同单调的。下述引理给出随机向量同单调的等价定义：引理3.1.1 1 定义在概率空间上的随机向量同单调当且仅当下列等价条件之一成立： 有同单调的支持集； 对的每一取值，的联合分布函数为 对服从上均匀分布的随机变量，即，有 存在随机变量和非降的实函数，使得 引理3.1.2 1 定义在概率空间上的随机向量同单调的充分必要条件是任意的同单调。引理3.1.1，引理3.1.2的详细证明见参考文献1。我们给出几种两重生命的精算表示法：联合生存状态在未来时刻之前由于原因而衰减的概率;：最后生存者状态在未来时刻之前由于原因而衰减的概率;：联合生存状态在未来时刻之前衰减的概率;：最后生存者状态在未来时刻之前衰减的概率;：联合生存状态在未来时刻之前未衰减的概率;：最后生存者状态在未来时刻之前未衰减的概率.推论3.1.1 衰减概率之间的关系如下： 证明：由的定义，得到 ： 同理可证： 定理3.1.1 设同单调，减因间独立。则状态和的消亡概率由下面两式决定： 证明：见参考文献9。 推论3.1.2设同单调，减因间独立。则状态和的概率密度函数由下式决定：证明：见参考文献9。 推论3.1.3设同单调，减因间独立。则状态和的衰减力函数由以下两式决定：证明：见参考文献9。用同样的证法可将上述结论推广到更一般的重因的情况。下面的结论中均要求随机向量同单调，减因间相互独立。定理3.1.2 消亡概率和可分别由下面两式决定： 推论3.1.4 和的密度函数分别为： + 推论3.1.5 死亡力函数和分别为： 32 复合生命多因衰减模型 本节我们讨论重复合生命在个减因作用下的衰减模型。考虑比7更一般的两重复合生命状态，假设个体和的余寿向量同单调，用：表示最后生存者状态与联合生存状态复合而成的联合生存状态；：表示联合生存状态与联合生存状态复合而成的联合生存状态；：表示联合生存状态与联合生存状态复合而成的最后生存者状态。下讨论状态和在个减因作用下的概率分布问题，类似于第2.1节的单生命精算表示法，可有几种复合生命的精算表示法：， ， ， ， ， ，其意义同前2.1。定理3.2.1余寿 和间两两同单调。证明：由余寿向量()同单调及引理3.1.2知同单调,由引理3.1.1（3）知,所以 同分布于,因而 .由于和都关于非降，并且和显然是同单调的，从而由引理3.1.1(4)可知同单调. 再证同单调。由同单调可知，均同单调。因, 故有显然和关于非降，且和又显然同单调，从而由引理3.1.1(4)可知同单调。其它情形的证明完全类似，在此从略。定理3.2.2 和的消亡概率分别为： 证明：由多因衰减定义及定理3.2.1,我们有 同理有： 定理3.2.3 和的概率密度函数分别为： 证明： 同理有： 定理3.2.4 和的衰减力函数分别为： 以上研究重因模型的概率分布问题时，我们假设各减因间是相互独立的，但实际中很多减因间存在相关性。关于减因间的相关性问题我们将另文讨论。小清新文章来源海内论坛:参考文献： 1 Dhaene, J.,Denuit,M.,Goovaerts,M.J.,Kaas,R.,Vyncke,D., 2002. The concept of comonotonicity in actuarial science and nance: theory, Insurance: Mathematics and Economics 31, 133161.2 Dhaene, J.,Denuit,M.,Goovaerts,M.J.,Kaas,R.,Vyncke,D., 2002. The concept of comonotonicity in actuarial science and nance: applications，Insurance: Mathematics and Economics 31, 133161.3 汪荣明，杨亚松. 同单调相依结构下两重生命模型的概率分布J.应用数学学报，2006，29，（1）：131-1384 卡尔斯R ,胡法兹M,达呐J ,狄尼特 M.现代精算风险理论M.唐启鹤,胡太忠,成世学译,北京:科学出版社,2005.5 杨静平. 寿险精算