泛函分析教案.doc

教学单元教案格式 课程教案授课题目：第二节 度量空间中的基本概念邻域,极限,有界集,稠密集,可分空间教学时数：授课类型： 理论课 实践课教学目的、要求：注：指教学中要体现“课程的总体目标”和“章、节或实践教学单元的目标”、预期达到的效果等。注：指该章、节的重点和难点部分，学生必须掌握的知识点和技能。实践教学还包括实践操作训练的主要指导要点；关键环节、关键技术指导方法等。教学重点：教学难点：教学方法和手段：注：是根据教学目的进行教学方式（讲授、演示、实验、实作、讨论、案例分析、仿真或真实现场实作指导等）、教学辅助手段（教具、模型、图表、实物、现代教学设施设备，以及特殊教学或实践环境等）、师生互动、板书等的设计。要能有效地调动学生的学习积极性，促进学生的积极思考，激发学生的潜能。注：以下内容按实际需要进行取舍教学分组；注：指导教师及学生分组情况说明安全事项；注：教学实践过程中的人身、设备、仪器及产品等安全；操作安全规范说明；或安全隐患防范措施等。教学条件；注：教学场地、设施、设备、软件等要求说明；参考资料；注：是提供给学生课后参考，辅助其掌握课程教学内容，扩大知识面的资料其它；注：指另行增加的要素项目，由各系、教研室根据不同专业不同课程的教学需要自行规定其名称和要求。第 页 课程教案教学内容及过程旁批注：是指通过对教学大纲、教材和主要参考资料的研析，确定本教学单元的课程教学知识信息的总和。实践课还应注重其对实践环节的指导性，必要时应包含实践步骤及其说明。教学引入（可选）：教学内容与教学设计：注：此部分详略取决于教师教学经验多少、教学内容的熟悉程度；经验少、内容较生疏的教师此部分应更详细。一 邻域，内点，聚点，开集，闭集设(X,d)为度量空间，d为距离，E是X的任一子集1 邻域集合 称为的以为半径的开球，也称为的 -邻域。称为的空心-邻域。2 内点，内部若，使得 ，则称为E的内点。E的所有内点构成的集合称为E的内部，记为：3 聚点，导集，闭包若,都有,则称为为E的聚点。E的所有聚点构成的集合称为E的导集，记为：称为E的闭包，记为：4 开集，闭集中的每一点都是内点，则称开集。即： 有吗，则的每一聚点都在中，则称为闭集。即定理：(1) E为开集当且仅当(2) E为闭集当且仅当(3) E为闭集当且仅当是开集.二收敛点列，极限定义设中的点列， 则称点列中的收敛点列，x是点列的极限。记为：或 注 (1) 表达(2)邻域表达极限的唯一性利用收敛点列对聚点，闭集，闭包的刻画命题：X是度量空间，(1) x是E的聚点当且仅当存在E中互异点列使得 (2) 当且仅当存在E中点列使得 (3) E是闭集当且仅当E中任一收敛点列的极限都在E中.三 有界集1 直径设 M 是度量空间(X,d)中的点集，定义 为点集M的直径.2 有界集及其判断若，则称M为有界集.命题： M是度量空间(X,d)中的有界集当且仅当 3 度量空间中的收敛点列是有界集.四 稠密性，可分空间1 定义设 X 是度量空间，如果，那么称 M 在集合 E 中稠密.当，则称 M 为 X 的稠密子集.如果 X 有一个可数稠密子集，则称 X 是可分空间. 否则 X 称为不可分的.2 判定：命题1：M 在 E 稠当且仅当（由定义得） 当且仅当存在 M 中点列， 使得命题2：M 是度量空间 X 的稠子集当且仅当，当且仅当命题3：度量空间 X 是可分的当且仅当存在可数子集使得，有，3 可分度量空间，不可分度量空间的例子例是可分的例是不可分的4 问题：离散度量空间是可分的充要条件？五 具体度量空间中点列收敛的具体含义1 为中的点列, 按欧式距离收敛于的充要条件为对每个即的坐标分别收敛于的对应坐标.2 Ca,b是 Ca,b 中的点列，按 Ca,b 中度量收敛于的充要条件是函数列 在a,b上一致收敛于3 S 在S 中（按度量）收敛于的充要条件为依坐标收敛于即：对每个正整数都有4 M(X)收敛于的充要条件为函数列依测度收敛于.作业布置：注：作业、思考题、讨论题、实验实训报告、实作实训练习等课后小结：注：教师完成本教学单元教学后对教学设计、教学重难点把握、教学方法应用、教学效果等课堂教学过程情况的总结与分析，为以后教学提供经验和素材课后小结：在关于具体度量空间中点列收敛的具体含义1,2必要性的证明中可采用迫敛性得到点点收敛这样避免了使用数