电磁场习题课.doc

习题课1 场论&静电场1、真空中静电场的高斯定理的一种证明方法定理内容：在真空电场中，穿出任意闭合面E的通量恒等于闭合面内电荷的代数和除以真空的介电常数，即证明：设电场E由点电荷q产生，即 ，则E的闭合面通量qER又，则上式被积函数为: 以q所在的点为圆心，R为半径作一球面，是dS在球面上的投影，如图所示。对点电荷q所在的点形成一个空间锥，称这个空间锥为立体角，用表示。从图中可以看出，dS和对点所张的立体角是相等的。整个球面对点所张的立体角为4p，而与整个球面的立体角之比应等于面元与整个球面面积之比，即因此立体角: 上式为空间任意面元矢量对空间任一点所张的立体角。将它代入积分式得分析任意形状的闭合面S对点所张的立体角： 当点位于S内时，曲面S与球面对点所张的立体角相等，为4p。 当点在闭合面外。S的一部分对点所张的立体角为正，而另一部分对点所张的立体角为负，两部分的立体角等值异号互相抵消，于是曲面S对点所张的立体角为零。SSS1S2由此可以更清楚的认识到：真空中电场强度E的闭合面通量只与闭面内的电荷和有关，而与闭面外的电荷无关。结论可以推广到体电荷、面电荷、线电荷以及点电荷系产生的电场。证毕。2、证明狄拉克函数的一个重要等式证明：先证积分形式当时当 ，与狄拉克函数的积分形式比较即可得证。3、证明电位函数是泊松方程的解推导静电场的泊松方程并证明是其解。解：（1）对于各向同性线性介质区域，将和代入中，可得再考虑均匀介质条件，为常数，有（2）证明是其解。4、几个矢量计算（1）设为源点r 到场点r的距离，R的方向规定为从源点指向场点。证明：（a），（b） ，（c），（d） （最后一式在点不成立）。证：（a）所以 （b）据公式 所以 （c）（梯度的旋度等于零）（d） 同理 （2） （3）5、证明恒等式和在普遍意义下成立。证：（1）（2） 闭合曲线C1和C2是方向相反的同一条闭合曲线。6、定理法求解电场强度电荷均匀分布于两圆柱面间的区域中，体密度为, 两圆柱面半径分别为和，轴线相距为，如题图所示，求空间电场分布。解：由于两圆柱面间的电荷不是轴对称分布，不能直接用高斯定理求解。但可把半径为的小圆柱面内看作同时具有体密度分别为的两种电荷分布，这样在半径为的整个圆柱体内具有体密度为的均匀电荷分布，在半径为的整个圆柱体内则具有体密度为的均匀电荷分布，如题图b所示。空间任一点的电场是这两种电荷所产生的电场的叠加。 图a 图b（1）在区域中，由高斯定理可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点产生的电场分别为 点处总的电场为（2）在且区域中，同理可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点产生的电场分别为 点处总的电场为（3）在的空腔区域中，大、小圆柱中的正、负电荷在点产生的电场分别为 点处总的电场为7、证明均匀介质内极化电荷密度等于自由电荷密度的倍。证明：习题课2恒定电场、恒定磁场以及静态场边值问题1、求同轴线内外导体之间的漏电流密度问题同轴线内、外半径分别为a和b，内外导体之间介质的介电常数为e ，电导率为 s。若在同轴线内外导体上施加电压Uab ，求内外导体之间的漏电流密度J。解：方法一：为了分析问题方便，本题采用圆柱形坐标系。先用直接法来求内外导体之间的电流密度矢量J。设同轴线的长度为L。如果内外导体之间的总电流为I，则任何给定半径 r 的同轴圆柱面S上，由对称性可知，电流密度矢量、电场强度矢量与电流的关系为在同轴线任意横截面上，沿 r 方向对电场强度矢量E进行积分，可求得内外导体之间的电压由上式可求得同轴线内外导体之间的漏电流为于是可求得同轴线内外导体之间的漏电流密度矢量为方法二：本题也可以通过拉普拉斯方程来求解。在圆柱形坐标系中，电位函数的拉普拉斯方程为 注意上式中的 r 是圆柱形坐标系的坐标变量，而不是电荷密度。由于沿z轴方向没有变化，上式中的拉普拉斯方程退化为极坐标的二维拉普拉斯方程，即 由轴对称性可知，对于同轴线拉普拉斯方程还可以进一步简化为只对 r 变量进行微分运算，因此问题的边值条件可以写成 方程的通解为 根据边界上的电位函数值可确定两个积分常数分别为 于是可求得电位分布函数为 由微分形式的欧姆定律可求得同轴线任意横截面半径为 r 处的电流密度矢量2、求同轴线的电容同轴线内外半径分别为，外加电压，如题图所示，圆柱面电极间在图示角部分充满介电常数为的介质，其余部分为空气，求介质与空气中的电场与同轴线单位长度上的电容量。题图解：方法一：介质与空气中的电位必须既满足又满足导体表面的边界条件和介质交界面的衔接条件。根据唯一性定理，采用试探方法求解，即假定电位的解是圆柱坐标下一维坐标的对数函数，然后检验它们是否满足所有的边界条件。设两个区域的电位函数为 如已知边界条件，则一定有， 故同时有联立求解以上两个方程，可得于是，由此可知 从角区域两介质边界上的衔接条件来看，显然有，又因，所以试探解是唯一的真实解。又根据的导体边界条件，求得内导体表面单位长度上的电荷量为因此同轴线单位长度上的电容为方法二：根据高斯定理, 由边界条件知在边界两边E连续，设同轴线内导体单位长度带电量为 ，那么3、求电场能量（1）圆球形电容器内导体的外半径为a，外导体的内半径为b，内外导体之间填充两层介电常数分别为、的介质，界面半径为c，电压为V。求电容器中的电场能量。解：设圆球形电容器内导体上的电荷为 q，由高斯定理可求得在内外导体之间 从而可求得内外导体之间的电压为圆球形电容器的电容为 电场能量为 （2）长度为d的圆柱形电容器内导体的外半径为a，外导体的内半径为b，内外导体之间填充两层介电常数分别为、的介质，界面半径为c，电压为V。求电容器中的电场能量。解：设圆柱形电容器内导体上的电荷为q，用高斯定理，在内外导体之间 内外导体之间的电压为 内外导体之间的电容为 电场能量为 （3）真空中半径为a的导体球电位为V，求电场能量。解：用两种方法求解。1） 用电位求电场能量 2） 用电场强度求电场能量导体球内的电场强度为零，导体球外的电场强度为 电场能量为 4、求电荷密度（1）球形电容器内导体半径为a，外导体内半径为c，内外导体之间填充两层介电常数分别为，电导分别为的非理想介质，两层非理想介质分界面半径为b，如果内外导体间电压为V，求电容器中的电场及界面上的电荷密度。解：由于圆球形电容器内填充两层非理想介质，有电流流过，设电流为I。在圆球形电容器内取一半径为的球面，流过此球面的电流密度为，则由得 或 电场强度为 电压为 由此求出电流与电压的关系后，电场为 内导体表面的电荷密度为 外导体内表面的电荷密度为 媒质分界面的（驻立）电荷密度为 （2）当恒定电流通过无限大的非均匀导电媒质时，试证任意一点的电荷密度可以表示为证明：已知恒定电流场是无散场，即 ，那么又由于介质中电通密度在某点的散度等于该点自由电荷的体密度，即由上两式求得（3）将半径为a的半个导电球刚好埋入电导率为的大地中，如图所示。求接地电阻。解：设从地线流出的电流为I，在大地中作与导体球同心，半径为的半球面，在此半球面上电流密度相同，显然满足关系 电场强度为 导电球的电位为 因此导电球的接地电阻为 （4）在电导率为的大地深处，相距d平行放置半径均为a的无限长导体圆柱。求导体圆柱之间单位长度的漏电导。解：用静电比拟法。此问题可与介质中的平行双导线比拟，其电导与电容的关系为 因为介质中的平行双导线单位长度的电容为 因此，埋地导体圆柱之间单位长度的漏电导为 （5）设有同心球电容器，内球半径为，外球内半径为，中间充有两层介质，其界面为。内、外层介质的介电常数及电导常数及电导率分别为，；，。(1) 若在内、外球间加电压，求两层介质中的及，处的自由电荷密度。(2) 求此电容器的漏电阻。解：根据题意，设从内球面流出的总电流为，可知，则内层介质和外层介质中的电场强度分别为 ，容易验证上面两式满足介质分界面（）处的边界条件，而内外导体间的电压为式中，。因此电流密度矢量为根据，则处的电荷密度为处的电荷密度为处的电荷密度为而此电容器的漏电阻为5、求电感（1）长直导线附近有一矩形回路，回路与导线不共面，如题5.12图所示。证明：直导线与矩形回路间的互感为 图 图解 设长直导线中的电流为，则其产生的磁场为 由题5.12图可知，与矩形回路交链的磁通为其中 故直导线与矩形回路间的互感为 （2）真空中长直线电流的磁场中有一等边三角形回路，如图所示，求直导线与三角回路之间的互感。解 直线电流产生的磁场 则磁通 如图所示，三角形面积为 对上式两边取微分，得 则因此，直导线与三角回路之间的互感为（3）同轴线的内导体是半径为的圆柱，外导体是半径为的薄圆柱面，其厚度可忽略不计。内、外导体间充有磁导率分别为和两种不同的磁介质，如题图所示。设同轴线中通过的电流为，试求：（a）同轴线中单位长度所储存的磁场能量；（b）单位长度的自感。解 （a）同轴线的内外导体之间的磁场沿方向，在两种磁介质的分界面上，磁场只有法向分量。根据边界条件可知，两种磁介质中的磁感应强度相同，但磁场强度不同。根据安培环路定理，当时，有 所以 当时，有 题图由于，以及，所以得到 同轴线中单位长度储存的磁场能量为 （b）由，得到单位长度的自感为 习题课3 时变电磁场、电磁辐射以及平波的传播特性1、已知无界理想媒质中，正弦均匀平面电磁波的频率，电场强度为试求：均匀平面电磁波的相速度、波长、相移常数和波阻抗； 电场强度和磁场强度的瞬时表达式； 与电磁波传播方向垂直的单位面积上通过的平均功率。解： 电场强度和磁场强度的瞬时值为 复坡印廷矢量为坡印廷矢量的时间平均值为与电磁波传播方向垂直的单位面积上通过的平均功率为2、对于一个在简单媒质中传播的时谐均匀平面波，其电场强度和磁场强度分别为。试证明：均匀平面波在无源区域的个麦克斯韦方程可化简为下列形式：证明：利用复数形式的麦克斯韦方程以及“”算子的相关规则，对所给的场量进行运算。由麦克斯韦方程得 同理又又由麦克斯韦方程得 同理 3、一圆极化波垂直入射到一介质板上，入射波电场为求反射波与透射波的电场，它们的极化情况又如何？解 设媒质1为空气，其本征阻抗为；介质板的本征阻抗为。故分界面上的反射系数和透射系数分别为式中都是实数，故也是实数。反射波的电场为可见，反射波的电场的两个分量的振幅仍相等，相位关系与入射波相比没有变化，故反射波仍然是圆极化波。但波的传播方向变为-z方向，故反射波也变为右旋圆极化波。而