七年级中垂线培优讲义.doc

中垂线与角平分线的应用教师寄语：正确的道路是这样：吸取你的前辈所做的一切，然后再往前走。-列夫托尔斯泰【知识精要】: 1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 定理的作用：证明两条线段相等（2）线段关于它的垂直平分线对称.2.角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.定理的作用：证明两条线段相等；用于几何作图问题；角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.【例题精讲】例1、已知： PA、PC分别是ABC外角MAC和NCA平分线，它们交于P，PDBM于D，PFBN于F，求证：BP为MBN的平分线。例2、如图10，已知在直角梯形ABCD中，ABCD，ABBC，E为BC中点，连接AE、DE，DE平分ADC，求证：AE平分BAD.例3、如图11-1，已知在四边形ABCD中，对角线BD平分ABC，且BAD与BCD互补，求证：ADCD. 课堂练习：1. ABC中，AB=AC，AC的中垂线交AB于E，EBC的周长为20cm，AB=2BC，则腰长为_。2. 如图所示，AB/CD，O为A、C的平分线的交点，OEAC于E，且OE=2，则AB与CD之间的距离等于_。已知：如图，B=C=900，DM平分ADC， AM平分DAB 。求证： M B=MC【知识板块链接】（一）角平分线、平行线、等腰三角形综合：角平分线遇平行线出现等腰三角形。分a、b两种情形： 如图甲：一直线与角的一边平行图甲a、 如图乙：一直线与角的平分线平行432ODECBA1图乙方法小结：角平分线、平行线、等腰三角形关系密切，在题设中若见其一，应思其二，想其三；或作其二，寻找发现其三，这种解题思路方法往往能得到打开第一道大门的金钥匙，突破解题的一个难点，使一类题目变难为易成为可能，使学生对题目一看就会成为可能。角平分线、平行线、等腰三角形“知识板块”的应用：321IEDABC例1、如图1：已知在ABC中ABC、ACB的平分线交于点I，过点I作DE/BC，分别交AB、AC于点D、E。求证：DE=BD+CE。13ABCDEI图（2）2例2、如图2：已知I是ABC的内心，DI/AB交BC于点D，EI/AC交BC于E。求证：DIE的周长等于BC。例3、如图3：已知在ABC中，ABC的平分线与ACB的外角平分线交于点D，DE/BC，交AB于点E，交AC于点F，求证：EF = BECF。4321FEDMCBA例4、平行四边形ABCD中，AB=3，BC=4，的平分线交AD于点E， 的平分线交AD于点F，BE、CF交于点G，FG=1。求：的度数。例5、在矩形ABCD中，AC与BD交于点O；DE平分ADC，交BC于点E，BDE=150，求COE的度数。EODABC例6、在ABC中，A DB C于点D ，点E在B C的延长线上，且，AD=3，DE=4。求：CD：CE的值。例7、如图：BD是角平分线DE/BC，交AB于点E。求DE之长。3CBAED12（二）角平分线类问题常用思路：1、 轴对称性：内容：角是一个轴对称图形，它的角平分线所在的直线是它的对称轴。思路和方法：边角等 造全等，也就是在角的两边上取相等的线段 构造全等三角形 基本结构：如图，2、 角平分线的性质定理：注意两点（1）距离相等 （2）一对全等三角形3、 定义：带来角相等。4、 补充性质：如图，在ABC中，AD平分BAC，则有AB:AC=BD:DC针对性例题：例题1：如图，AB=2AC,BAD=DAC,DA=DB 求证：DCAC例题2：如图，在ABC中，A等于60，BE平分ABC，CD平分ACB求证：DH=EH例题3：如图1，BCAB，BD平分ABC，且A+C=1800，求证：AD=DC例题4 已知：如图5，在ABC中，C=90,AC=BC,AD平分CAB.求证：AC+CD=AB 【数学故事】：习惯人生父子两住山上，每天都要赶牛车下山卖柴。老父较有经验，坐镇驾车，山路崎岖，弯 道特多，儿子眼神较好，总是在要转弯时提醒道：“爹，转弯啦！” 有一次父亲因病没有下山，儿子一人驾车。到了弯道，牛怎么也不肯转弯，儿子用尽 各种方法，下车又推又拉，用青草诱之，牛一动不动。 到底是怎么回事？儿子百思不得其解。最后只有一个办法了，他左右看看无人，贴近 牛的耳朵大声叫道：“爹，转弯啦！” 牛应声而动。 牛用条件反射的方式活着，而人则以习惯生活。一个成功的人晓得如何培养好的习惯 来代替坏的习惯，当好的习惯积累多了，自然会有一个好的人生。【当堂测验】：一、填空题1三角形三边的垂直平分线交于一点，且这点到三个顶点的距离_2到线段两端距离相等的点在这条线段的_3已知线段AB外两点P、Q，且PA=PB，QA=QB，则直线PQ与线段AB的关系是_4底边AB=a的等腰三角形有_个，符合条件的顶点C在线段AB的_上二、选择题5下列命题中正确的命题有( )线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；经过线段中点的直线只有一条；点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线；过线段上任一点可以作这条线段的中垂线A1个 B2个 C3个 D4个6下列作图语句正确的是( )A过点P作线段AB的中垂线 B在线段AB的延长线上取一点C，使AB=BCC过直线a，直线b外一点P作直线MN使MNab D过点P作直线AB的垂线7如图，在RtABC中，ACB=90，BC的垂直平分线交斜边AB于D，AB=12 cm，AC=6 cm，则图中等于60的角共有( )A2个 B3个 C4个 D5个8ABC中，C=90，AB的中垂线交直线BC于D，若BADDAC=22.5，则B等于( )A37.5 B67.5 C37.5或67.5 D无法确定三 解答题如图，AD平分BAF，且AD是CE的垂直平分线，AB=AF.求证：BC=EF. 【快乐作业】：1.已知，D是