第四章 振动和波动.doc

第四章 振动和波动本章教学要求：1.重点掌握简谐振动方程、波动方程及其物理意义2.确切理解简谐振动的合成、波的干涉现象及其规律3.了解驻波的形式及其规律习题4-1.直径d=1.2cm的U形管装有质量m=624g水银。使水银在管中作微小振动，如题4-1图所示。试求其振动周期（水银密度=13.6103kg/m3，水银与U形管的摩擦忽略不计）。分析 先证明管中水银在作简谐振动，然后求振动周期。解：取坐标如图。当右侧水银柱上升距平衡位置O为x时，两侧水银高度差为2x，则右侧水银柱向下作用力的大小为令 则 管中水银在作简谐振动另解： 令则 管中水银在作简谐振动。4-2.一质量为10g的物体作简谐振动，其振幅为24cm，周期为4s，当t=0时，位移为24cm。求t=0.5s时物体的位移、动能和其所受到的力的大小及方向。分析：先求振动方程。已知A和T 只需求解：设振动方程为 t=0时 振动方程为 cmt=0.5s 时 cm cm/s J N 指向x轴负方向。4-3.如题4-3图，有两个完全相同的弹簧振子a和b，并排地放在光滑水平台面上，测得它们的周期都是2s。现将两物体从平衡位置向左拉开5cm，然后先释放a振子，经过0.4s后，再释放b振子。如以b释放的瞬时为时间的起点，问两个振子位移与时间的关系各如何？并用旋转矢量表示这两个振动。分析：求两个振子位移与时间的关系，即求这两个振子的振动方程。由从平衡位置拉开5cm，然后释放（静止释放）可知A=5cm又已知T，只需求解： cm以释放b时为t=0，则 cmt=0.4s时，a的初相位 cmo xb 2/5 4-4.如题4-4图a、b所示的位移时间曲线，分别写出这两个简谐振动的表达式。分析：已知A，从t=0和t=1时物体偏离平衡位置的位移，可求 和。因为 则v与的符号相反。, ；,解：（a）设振动方程为 t=0时 又 t=1s时 又 （b）设振动方程为 由图可知 T=2s 4-5.两物体作简谐振动，它们的振幅和周期分别是10cm和2s。当t=0时，它们的位移分别为10cm和-10cm，二者的相位差是多少？是同相还是反相？当t=1s时它们的位移各是多少？分析：已知A和T，由t=0时的位移可求 ；将t=1s代入两物体的振动方程，可得t=1s时它们的位移。解：（1） 这两个简谐振动反相。(2) 它们的振动方程分别为 当t=1s时 cm cm4-6.一物体作简谐振动，频率为5Hz，初相位为。若t=1s时的振动速度为m/s，求其振幅。分析：由速度公式可求A解：当t=1s时，,则 A = 0.1m4-7.一物体作简谐振动，已知 ，A=0.04m。若t=2s时，其振动速度m/s，求其振动初相位。分析：由速度公式可求解： 4-8.物体的振动方程为cm。求此物体由x= - 6cm处向x轴负向运动并回到平衡位置所需要的时间。分析：此类题由矢量图解法求解较为简便。画出物体在x= - 6cm处和平衡位置处所对应的矢量位置，由矢量图解法，所求时间为矢量由图中虚线所示位置转到实线所示位置所需要的时间。 在此过程中矢量所转过的角度为 则解： /3 -6cm o x4-9.一弹簧振子，其m=0.5kg，k=50 N/m，A=0.04m。求：（1）当位移x=0.02m时，振子的振动速度、振动加速度和所受的回复力；（2）若将振子具有正的最大振动速度时作为计时零点，写出其振动方程。解：（1） （2） 设振动方程为则 t = 0时 x=0 m4-10.有一质量为1.5kg的弹簧振子水平放置，当其受到7.35N力的作用时可伸长0.25m。现将其拉离平衡位置m后由静止释放。求：（1）其作简谐振动的周期；（2）最大振动速度；（3）最大振动加速度；（4）机械能。分析：对于弹簧振子，由m和k可求其固有周期。解：(1) (2) (3) (4) 4-11.一轻弹簧在60N的拉力作用下伸长30cm，现将质量为4kg的物体悬挂在其下端，待其静止后，将物体下拉10cm由静止释放。求：（1）物体在平衡位置上方5cm处并向上运动时的加速度的大小和方向；（2）物体由平衡位置运动到上方5cm处所需最短时间。分析：（1）对于弹簧振子，由m和k可求其固有频。此题无法求出，故无法用公式直接求出加速度，可利用加速度与位移的关系求出加速度。（2）由矢量图解法求解。画出物体在平衡位置所对应的矢量位置（位置1）和距平衡位置上方5cm处所对应的矢量位置（位置2）。矢量由位置1转到位置2过程中，所转过的最小角度所对应的时间即为题中所求的最短时间。解： 取向下为x轴正方向 （1） m/s2 方向向下（2） -0.05 /6 o x4-12.一弹簧悬挂10g砝码时约伸长8cm。现将这根弹簧下悬挂25g的物体，使它作自由振动，对下列情况分别求出振动方程。（1）开始时使物体从平衡位置向下移动4cm后松手；（2）开始时，物体在平衡位置，给以向上21cm/s的初速度，同时开始计时；（3）把物体从平衡位置拉下4cm后，又给以向上的21cm/s的初速度，同时开始计时。分析：由k和m可求出。（1）由静止松手可得振幅为4cm；（2）、（3）问用公式 求振幅。解：取向下为x轴正方向 （1） cm（2） cm cm（3） cm cm4-13.一物体作简谐振动，振幅为15cm，频率为4Hz。试计算（1）最大速度和最大加速度；（2）位移为9cm时的速度和加速度；（3）从平衡位置运动到相距平衡位置为12cm处所需的最短时间。分析：（2）由于无法求出，故不能由振动方程求出位移为9cm时的速度和加速度。可通过对进行适当的变换，得出含有位移的项，代入位移9cm，可求解。由于没有给出物体运动的方向，所以在9cm处，物体的运动速度可能为正，也可能为负。但加速度只能指向负方向。（3）由矢量图解法可得。解：（1） cm/scm/s2（2） （3）用矢量图解法可知，所求时间为矢量从图中虚线位置转到实线位置时所用的时间。这一过程矢量转过的角度为 12 o x/cm 4-14.质量为10g的物体作简谐振动，其振幅为24cm，周期为1.0s，当t=0时，位移为+24cm。求：（1） 时物体的位置及所受力的大小和方向；（2）在x=12cm处物体的速度、动能、势能和总能量。分析：（1）已知T和A，又已知t=0时的位移，则可求出振动方程。将时间代入方程可得出所求位置。由可求出k，由F= - kx可求给定时刻物体受力的大小和方向。（2）根据简谐振动的能量公式求解。解：(1) 设振动方程为m当t=0时,x=0.24m m当t=s 时,得 mN 指向负方向（2） J4-15.一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动：和 。求合振动的振幅和初相位。解：这里不能取，因为x1和x2是两个相位相反的振动，合振动与振幅较大的那个振动同相位。此题中A2A1，所以合振动与x2同相位，只能取（或）（或4-16.两个在同一直线上的简谐振动：和。求：（1）合振动的振幅和初相位各为多少？（2）若在此直线上另有一简谐振动 ，分别与上两个振动叠加。为何值时，的振幅最大？为何值时，的振幅最小？解：（1）因为x1和x2是两个相位相反的振动，且A2A1，所以合振动与x2同相位，只能取（2）当时，合振动的振幅为最大 当时，合振动的振幅为最小 4-17.有两个同方向、同频率的简谐振动，其合振动的振幅为0.2m，合振动与第一分振动的相位差为。已知第一分振动的振幅为m，求第二个分振动的振幅及两个分振动的相位差。采用旋转矢量合成图求解。如图，取第一个振动的旋转矢量A1沿ox轴，即令其初相位为零，依题意，合振动的旋转矢量A与A1之间的夹角。由图可知，第二个振动的振幅即A2的大小为因为A1、A2、A的量值恰好满足勾股定理，所以A1与A2垂直，第二个振动与第一个振动的相位差为解： A2 Ao A1 x4-18.一波源作简谐振动，周期T =0.01s，振幅A=0.4m，当t=0时的位移恰好在正方向的最大值。设波速u=400m/s。求距波源2m处质点的振动初相位。分析：先求出波源的振动方程，由波源的振动方程写出波动方程，再由波动方程求距波源2m处质点的振动初相位。解：波源的振动方程 m t=0时 y=0.4m m波动方程为 m把t=0 、x=2m代入波动方程, 得该处质点振动的初相位4-19.平面简谐波以波速u=0.5m/s沿x轴负向传播，在t=2s时的波形图如题4-19图所示。求原点处质点的运动方程。分析：由图可知振幅为0.5m，波长为2m，由波长和波速，可求。可由给定时刻位于0.0m、1.0m或2.0m处质点位移求出。解： 设波动方程为 t = 2s时， x=0处质点的位移 y = 0 （或）x=0处，即原点处质点的振动方程为 m4-20.一横波沿绳子传播时的波动方程m。求（1）波的振幅、波速、频率及波长；（2）绳上质点振动时的最大速度；（3）分别画出t=1s和t=2s时的波形以及x=1.0m处质点的振动曲线，并讨论它们的区别。分析：已知波动方程求波动的特征量，可采用比较法，即将已知的波动方程化成波动方程的标准形式，然后通过比较可确定各特征量。 解：1)将已知波动方程表示为 m 与标准形式 相比较得A = 0.2m ，u = 2.5m/s ， = 0 ，Hz ，m（2） m/s（3）t = 1s时的波动方程变为 mt = 2s时的波动方程变为 m ， 波形图如图（a）所示。x =1.0m处质点的振动方程为 m ，振动图象如图（b）所示。 波形图表示某确定时刻波线上所有质点的位移情况，振动图表示某确定位置处质点的位移随时间的变化情况。4-21.题4-21图为一沿x轴传播的平面余弦波在t=0时的波形，其波动方程可表示为。试指出0，2，3三个质点的初相位。分析：初相位是t=0时刻的相位，对于波动来说，将t=0和0、2、3点的位置代入，所得结果即为0、2、3点的初相位。初相位的符号，由t=0时该点的速度方向决定。解：0点： 2点： 为2点的初相位 t = 0时， 3点： 4-22.在波的传播路程上有A、B两点，介质的质点都作简谐振动，B点的相位比A点落后30。已知A、B之间的距离为2.0cm，振动周期为2.0s。求波速u和波长。解：设波动方程为 A、B两点的振动方程分别为由题意得 又 m/s m4-23.平面简谐波的波动方程为 m。求（1）t=2.1s时波源及距波源0.10m两处的相位；（2）离波源0.80m及0.30m两处的相位差。解：（1） （2） 4-24.一质点在弹性介质中作简谐振动，振幅为0.2cm，周期为4s。取该质点过x=0.1cm处向x轴正向运动时为t=0。已知该质点振动激起的横波沿y轴正向传播，波长=2cm。求此平面简谐波的表达式。分析：先求出给定质点的振动方程，再由振动方程写出波动方程。取坐标系如图，设质点在0处，其振动方程为 解： x0.1 0 y cmcm/scm所以波动方程为4-25.一平面简谐横波沿x轴负向传播，题4-25图表示在t=0时位移与位置的关系曲线。已知波速u=12cm/s。试求（1）振幅、波长及周期；（2）质点的最大速率；（3）波的表达式解：（1）由图知A = 5cm = 55-15 = 40cm （2） 1 cm/s （3） x0=4cm 又 cm/s所以波动方程为4-26.已知一平面简谐波的表达式为cm。试求（1）t=5s时介质中任一点的位移；（2）x=4cm处质点的振动规律；（3）波速分析：波动方程中有两个变量t和x。当t为定值时，表示给定时刻媒质中各个质点偏离平衡位置的位移，当x为定值时，表示给定位置质点的振动规律。解：（1）t=5s时 （2） x = 4cm处 （3）将方程化成标准形式 可得 = 3/4 cm/s4-27.一沿x轴负向传播的平面简谐波，t=1s时的波形如题4-27图所示。已知波速u=2m/s，求该平面简谐波的波动方程。解：由图可知=4m A=4m T=/u=2s 设波动方程为t =1s时 x=0处 y=0 m4-28.为保持波源的振动不变，需要消耗4.0W的功率。若波源发出的是球面波（介质不吸收波的能量）。求：距波源5.0m和10.0m处的能流密度。分析：由于波源在单位时间内提供的能量保持不变，并且介质不吸收能量，则单位时间内，通过介质中各波面的能量相等，且等于波源消耗的功率。因为同一波面上各处I相同，所以I=P/s 。解： W/m2 W/m24-29.有一波在介质中传播，波速u=1.0103 m/s，振幅A=1.010-4 m，频率=1.0103Hz。若介质的密度=8.0102 kg/m3。求（1）此波的能流密度；（2）1分钟内垂直通过4.010-4 m2 面积的总能量。解：（1） （2） J4-30如题4-30图，S1和S2为两个由同一振子带动的波源，S1的相位超前S2 。设波长为，求当两波相遇点P为干涉极大时，两波源至P点的波程差为多少分析：同一振子带动的波源具有相同的振动频率。在均匀介质中，两列同频率的波相遇时的相位差由它们的初相位差和由它们的波程差所引起的相位差共同组成。解：P点为干涉极大的条件是 k=0，1，2 （1）(1)式为 4-31.如题4-31图所示，两振动方向相同的平面简谐波的波源分别位于A、B两点，它们的相位相同，频率均为30Hz，波速均为0.50m/s。求两列波在P点的相位差。分析：此题中两个振动的相位相同，故相位差只取决于。解： 在APB中，由余弦定理可得P A B 题4-31图4-32.如题4-32图所示，两相干波源分别在P、Q 两点处，它们发出频率为，波长为，初相位相