弹簧振子运动的研究.doc

弹 簧 振 子 运 动 的 研 究2002级5班 林锡辉 13班 方晓伟 如图（1）所示，把一个有孔的小球安在弹簧的一端，弹簧的另一端固定，小球穿在光滑的水平杆上，可以在杆上滑动。小球在水平杆之间的摩擦忽略不计，弹簧的质量比小球的质量小得多，也可忽略不计。这样的系统称为弹簧振子，其中的小球常称作振子。图（1） 由弹簧振子的定义可以看出，振子在运动的过程中，由于合外力时刻在改变，从而导致了加速度。速度跟着不断改变，因此它的运动就显得较为复杂。为了能够更好的掌握它的运动规律，同时锻炼我们对运动的研究能力，我们对它进行了初步的研究。 一、弹簧振子的周期和运动表达式1.周期规律 可能影响因素：小球的质量（M），弹簧的劲度系数（K）以及振子的振幅（A）。 （1）周期与振幅（A）的关系。 质量为m的小球，前后两次振幅分别为，弹簧的劲度系数为K，前后两次振动的周期分别为T1，T2。 推论：在前后两个运动过程中分别取两小段位移，使得，根据胡克定律及牛顿第二定律，得， 由于位移x是任意的，且q为定值。而 结论：弹簧振子的周期与振幅无关。 （2）周期与振子质量和劲度系数的关系。 有两个弹簧振子，振子的质量分别为，弹簧的劲度系数分别为，并且振子的振幅相同（因为周期与振幅无关，所以不用考虑它的影响） 推论：在两个运动中都取一小段位移x（任意的），同样有 由于是任取的， 同样可得 所以 因此有 由此可以看出：弹簧振子的周期与振子的质量的算术根成正比，与弹簧劲度系数的算术根成反比，即（其中n是一个与小球质量，弹簧劲度系数，振子振幅等无关的常数）。 2.振子位移，速度，加速度的变化规律 根据沙漏实验（图2）可知：弹簧振子的位移时间图像是一条余弦曲线。因为右图沙漏实验得到的余弦曲线，实际上是由x方向上的匀速直线运动和y方向的振动的合成，因此y方向上弹簧振子的振动图像也应为余弦曲线。图（2） 如图（3），以经平衡位置向右运动开始计时，则其初相为图（3） 设 （A ，0） . . 如图（4）是弹簧振子运动的x-t图象。图（4） 由图像可见（即正面的常数 =2）；当时，x达到正向最大，此时振子速度=0（振子-t图象如图（5）所示）；当时，振子位移为0，速度达到反向最大。图（5） （3）振子机械能的变化规律 取任意时刻t，则此时系统的总机构能为： 如图（6）是振子动能和弹簧势能的关系图，亦可见其机械能总量E恒等于图（6） 结论：弹簧振子在运动过程中机械能守恒，恒为 上述弹簧振子均为理想化模型，在实际生活中，由于各种阻力的存在，导致振子周期出现偏差，与理论不相符；振子的振幅也会逐渐减小，机械能逐渐减小。 4.恒力作用下的弹簧振子 如图（7）是竖直方向上的弹簧振子，振子受到一个恒力-重力的作用。设弹簧的劲度系数为K，自然长度为，振子静止时弹簧伸长量为x，则有：mg=kx 。现将振子向下拉伸x，则： 因为F与x反向，所以矢量式为图（7）由此可见，恒力作用下的弹簧振子（此时平衡位置为静止放置时振子所在处）周期不变，运动表达式不变。 二.实验验证周期公式（主要验证周期与质量和振幅的关系） 1.实验装置： （1）如图（1），弹簧和小球（穿孔）穿过细杆，一端固定在支架上，另一端系着一个小球，使小球在细杆上振动。这种装置既有优点，亦有缺点。 优点：可以避免小球在振动中偏离原来的轨道。 缺点：由于细杆与小球间存在较大的摩擦，给实验造成较大的误差。为减小摩擦，考虑在细杆上涂一层油脂。但是油是粘性物质，会给实验造成新的误差。 （2）既然水平细杆的存在会造成摩擦，那么去掉呢？则小球会下落。但如果顺应或防止这种下落，实验还是可以顺利进行。 顺应下落。将水平弹簧振子变为竖直方向上的弹簧振子，如图（7），由于恒力对振子周期没有影响，因此可以用此装置实验。这种装置的优点是：可以减少阻力的影响；但当振子的振幅较大时，振子会左右摆动。图（8） 防止小球下落。考虑用细线吊住小球，但是由于左右受力不平衡，会造成小球严重脱离轨道。因此可以在小球右端加多一根劲度系数与左边相近的弹簧（此时）如图（8） 虽然解决了偏离问题，但也存在一些新的问题。 当振幅太大时，小球受到细绳的拉力变大，且此拉力水平分量也变大，小球会上偏。 解决办法：（1）增加细绳长度。这样，相同振幅下，绳偏离角度变小，绳拉力的水平分量减小，且小球上偏程度减小。（2）减小振子振幅，同样可以减小阻力和上偏程度。 比较图（7）和图（8）装置，图（8）的装置显得优越些。因此，实验时选择图（8）装置。 2.实验测取数据并分析整理 按图（8）装置，取不同质量的小球，振子振幅不同（都不会太大）。测得的数据如下（弹簧劲度系数k=k1+k2=23.13+23.13=46.43N/m）振量质幅时间2cm（30次）4cm（30次）6cm（30次）平均值（1次）理论值（1次）0.133Kg11.0s11.3s12.4s0.3750.3400.184Kg12.1s12.3s12.3s0.4080.3950.245Kg13.7s13.9s14.0s0.4620.450 结论：在误差允许的范围内，周期满足公式，即周期与小球质量的算术平方根成正比，与振幅无关。 三.弹簧振子的扩展-简谐运动 1.除了弹簧振子外，单摆也是简谐运动的典例。下面我们对单摆进行研究。 （1）单摆周期与质量的关系 如图（9）是一个单摆。前后两次用两个质量分别为M，m（M m）小球拉开相同的角度，然后放手让小球作单摆运动。图（9） 假如质量大的周期长（即速度快），所以M运动的速度小于m。如果有一个质量M+m的小球，则它下落的速度应小于M。但是，将M+m的小球看成两部分，由于m下落比M快，m可以带动M从而使整个球的速度大于M，这与质量大的周期长相等。因此质量大的周期不一定长。同样，我们可以推出，质量小的周期也不一定长。由此可见，周期与小球质量无关。 （2）推导单摆周期公式 现在，让我们用能量的角度来推导。如图（10）当小球的振幅为A时，有（很小，所以振幅为A）。 Rt0DRt0E 图（10） 同样，当位移为x时， 由于绳的拉力方向始终垂直于小球的速度方向，因此拉力对绳不做功，机械能守恒。 根据弹簧振子机械能守恒公式得 对比式，用取代，即可得：（亦可得到位移x，速度v，加速度a的表达式） 2.据对弹簧振子和单摆的研究可以得到简谐运动的一般规律。 （1）回复力（亦可写成F=-kx，k为比例常数） （2）周期T= （3）瞬时速度 3.简谐运动的其它例子 （1）均速圆周运动质点在x轴（或y轴）上的投影作反复运动，可以证明，它的运动是简谐运动。 如图所示： 在x轴投影的位移 在y轴投影的位移 由此可见，两个相互垂直，振幅，频率相同初相差为的简谐运动的合成是匀速圆周运动。（2）如下的运动亦为简谐运动： 在半径较大的光滑圆弧槽中运动的小球，其运动为简谐运动，类似单摆。弯曲水管中的具有一定高度差的水在做简谐运动。两物块固定在弹簧两端压缩（或拉伸）一段距离后放手，两物块做简谐运动，周期相同。简谐运动是最简单最原始的振动，