数学分析试题及答案.pdf

复旦大学 2004 2005 学年第二学期期末考试试卷 复旦大学 2004 2005 学年第二学期期末考试试卷 课程名称 课程名称 数学分析II 数学分析II 课程代码 课程代码 218 121 2 01 218 121 2 01 开课院系 开课院系 数学科学学院 数学科学学院 学生姓名 学生姓名 学号 学号 专业 专业 题 目 题 目 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 总 分总 分 得 分 得 分 填充题填充题 1 每空格 每空格 5 分 共分 共 30 分 分 1 2 0 sin x dttxf 则当时 是关于0 x xfx的 阶 无穷小量 2 2 1 ln x dx x 3 幂级数 1 2 1 n n n x n 的和函数与收敛范围为 4 的幂级数展开中的系数为 21ln 2 xx n x 5 反常积分dx x xx 0 sin 1ln 收敛 则 的取值范围为 6 函数项序列 2 nx n Sxn x e 在区间 1 0上一致收敛 则 的取 值范围为 1 解答题 每题解答题 每题 10 分 分 2 计算积分 2 0 1 n n x dx x 3 收敛 问是否有0 n x 1n n x0lim n n nx 是的话证明之 不一定的 话举出反例 4 求曲线 2 x yxe 0 x 绕x轴旋转所得旋转体的体积 2 5 求 x x xf 21 21 arctan 在0 x的幂级数展开 并求 0 4 12 1 n n n n 的值 6 设底面直径为 2 米 高为 5 米的圆柱体形状的浮桶横躺在 100 米 深的海底 打捞作业时需要将桶内的水 抽 到海面上 问将桶内的 水全部抽干要做多少功 答案可保留水的比重 与重力加速度 g 3 7 判断 与 在 1 2 1 n n xx 1 2 1 n n xnx 1 0上的一致收敛性 并证明你 的断言 8 设函数在 上一致连续 xf a a f x dx 收敛 证明 lim 0 x f x 4 复旦大学 2005 2006 学年第一学期期末考试试卷 复旦大学 2005 2006 学年第一学期期末考试试卷 课程名称 课程名称 数学分析III 数学分析III 课程代码 课程代码 318 157 3 01 318 157 3 01 开课院系 开课院系 数学科学学院 数学科学学院 学生姓名 学生姓名 学号 学号 专业 专业 题 目 题 目 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 总 分总 分 得 分 得 分 填充题填充题 1 每空格 每空格 6 分 共分 共 30 分 分 1 333 3xyzxyz 则dz 2 曲线 222 0 6 xyz 2 xyza 在 2 a aa 处的切线方程为 3 22 rxyz 2 则divgradr 4 2 sin x x xt I xdt t 则 dI dx 5 4 42 00 xx4 x edxx edx 解答题 每题解答题 每题 10 分 共分 共 70 分 分 2 通过变量代换 yxzwxv y x u 变换方程 xy z y z y 2 2 2 2 1 3 设四边形的边长分别为 利用 Lagrange 乘数法求出当四边 形面积最大时四边形的顶角所满足的条件 不必求出最大面积 a b c d 4 计算闭曲面 5 22222 2 2 xyzzxy 所围体积 2 5 在平面上单位质点受力PF作用 力F的方向与OP uuu r 垂直 逆时 针转 90 度为 OP uuu r F的方向 大小与OP uuu r 成反比 比例系数为 求质点 从点沿位于第一象限的曲线移动到点 力 kP 0 1 A 1 0 BF所作的功 6 计算积分 其中是曲面 介于 的部分 积分沿曲面下侧 dxdyzdzdxydydzx S 333 S 22 yxz 10 z 3 7 积分 0 22 x dx 关于 在下述范围是否一致收敛 证明你的断言 1 A 00 2 0 8 将周期为 2的函数 2 xxf x展开成 Fourier 级数 并 计算 1 2 1 1 n n n 的值 4 复旦大学 2005 2006 学年第一学期期末考试试卷 答案 1 本题满分 40 分 每小题 8 分 1 0222 yx 2 2 1 3 e ex ey 1 为极大值 4 曲线在上为上凸 在 1 0 1 上为下凸 7 1 为拐点 5 C x x x 1 ln 1 2 本题满分 15 分 在点连续且可微 f0 x0 0 f 1 0 f 在其它点 不连续 因此也不可微 3 本题满分 10 分 不一致连续 4 本题满分 10 分 2 e 5 本题满分 15 分 Ceex xx 1ln 1 6 本题满分 10 分 证明 要证的不等式1 1ln 11 xx 等价于 0 x 01 1ln 1ln x x x 0 x 设1 1ln 1ln x x x xf 则 2 1ln x xx xf 0 x xg 0 x 且 所以 0 0 g 0 1ln xxxg 0 x xx xf 0 x 因为 因此当时成立 0 lim 0 xf x 0 x x 4 求曲线的凸性与拐点 7ln12 4 xxy 5 计算不定积分 1 2 xx dx 2 讨论函数 为无理数 为有理数 xxx xxx xf 1 1 的连续性与可微性 3 问函数 xx x xf 1 sin 1 2 在上是否一致连续 请对你的结论说明理由 1 0 4 设函数在点可导 且 xf1 x1 1 f 2 1 f 求 n n f n f 1 1 1 lim 5 设函数满足 xf x x xf 1ln ln 求 dxxf 6 证明 当时成立 0 x 1 1ln 11 因为 1 2 1 cos dt tt xt 一致收敛 所以存在1 A 使 得 2 1 cos 2 XXx 2 1 cos 1 2 x0 0 y0 0 z 0 P 二 求球面 被平面 2222 azyx 0 a 4 a z 与 2 a z 所夹部分的面积 三 计算二重积分 D dxdy x yx 2 4 其中是由Dx轴 直线xy 以及曲线 1 yx 2 yx所围成的平面闭区域 四 计算三重积分 其中 dxdydze z 1 222 zyxzyx 五 计算曲线积分 L dszy 22 2 其中L是球面 与平面 2222 azyx 0 ayx 相交而成的圆周 六 计算曲面积分 其中 dxdyzdzdxydydzx 222 为锥面在平面 与 之间的部分 定向为下侧 222 zyx 0 zhz 0 h 七 设是右半平面ji 2 24224 yxxyxxyyxA 0 xyxD上 的向量场 试确定常数 使得为上函数的梯度场 并求出 yxAD yxu yxu 八 将 sin xxf x 展开为 Fourier 级数 并分别求级数 1 2 14 1 n n 1 2 2 14 1 nn 的和 九 设 1 2 1 cos dt tt xt xf x 1 证明积分 1 2 1 cos dt tt xt 关于x在 上一致收敛 2 证明 0 lim xf x 3 证明在上一致连续 xf 复旦大学 2005 2006 学年第一学期期末考试试卷 复旦大学 2005 2006 学年第一学期期末考试试卷 课程名称 课程名称 数学分析I 数学分析I 课程代码 课程代码 318 157 1 01 318 157 1 01 开课院系 开课院系 数学科学学院 数学科学学院 学生姓名 学生姓名 学号 学号 专业 专业 题 目 题 目 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 总 分总 分 得 分 得 分 填充题填充题 1 每空格 每空格 5 分 共分 共 40 分 分 1 111 lim 3 n nnn n abc 2 2 1 0 arctan lim x x x x 3 设 1 sin0 00 xx f xx x 当 在 范围时 x f 在连续 0 x 当 在 范围时 0 f 存在 4 222 1 arcsin 2 x yx 则axa a y 5 2 1x y x 则 2 d y 6 曲线在 0点处的切线方程为 2 34 x yeyx 1 7 不定积分 2 cos dx x 2 求不定积分 1 1 x x e dx e 10 分 1 3 设 证明 0 x 1 1 1 n xx ne 使过 00 y x点的切线 与x轴 轴所围的三角形面积最小 并求出最小的面积 10 分 y 2