高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1.2 复数的几何意义课件 新人教版选修22.ppt

3 1 2复数的几何意义 第三章 3 1数系的扩充和复数的概念 1 理解用复平面内的点或以原点为起点的向量表示复数 及它们之间的一一对应关系 2 掌握实轴 虚轴 模等概念 3 掌握用向量的模表示复数的模的方法 学习目标 栏目索引 知识梳理自主学习 题型探究重点突破 当堂检测自查自纠 知识梳理自主学习 知识点一复平面的概念和复数的几何意义 1 复平面的概念根据复数相等的定义 任何一个复数z a bi 都可以由一个有序实数对 a b 唯一确定 因为有序实数对 a b 与平面直角坐标系中的点一一对应 所以复数与平面直角坐标系中的点之间可以建立一一对应 如图所示 点z的横坐标是a 纵坐标是b 复数z a bi可用点z a b 表示 答案 这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做 x轴叫做 y轴叫做 显然 实轴上的点都表示实数 除了原点外 虚轴上的点都表示纯虚数 复平面 实轴 虚轴 2 复数的几何意义按照这种表示方法 每一个复数 有复平面内唯一的一个点和它对应 反过来 复平面内的每一个点 有唯一的一个复数和它对应 因此 复数集c和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的 即复数z a bi复平面内的点 这是复数的一种几何意义 z a b 3 复数集与复平面中的向量的一一对应关系在平面直角坐标系中 每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示 而有序实数对与复数是一一对应的 这样 我们还可以用平面向量来表示复数 因此 复数集c与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的 实数0与零向量对应 即复数z a bi平面向量 这是复数的另一种几何意义 思考 1 虚轴上的点都对应着唯一的纯虚数吗 答案 答案不是 2 象限内的点与复数有何对应关系 答案第一象限的复数特点 实部为正 且虚部为正 第二象限的复数特点 实部为负 且虚部为正 第三象限的复数特点 实部为负 且虚部为负 第四象限的复数特点 实部为正 且虚部为负 知识点二复数的模 答案 2 复数的模的性质 设z1 z2是任意两个复数 则 思考复数的模的几何意义是什么 答案复数z在复平面内对应的点为z 复数z0在复平面内对应的点为z0 r表示一个大于0的常数 则 满足条件 z r的点z的轨迹为以原点为圆心 r为半径的圆 z r表示圆的内部 z r表示圆的外部 满足条件 z z0 r的点z的轨迹为以z0为圆心 r为半径的圆 z z0 r表示圆的内部 z z0 r表示圆的外部 返回 答案 题型探究重点突破 题型一复数与复平面内的点 解析答案 反思与感悟 例1在复平面内 若复数z m2 2m 8 m2 3m 10 i对应的点 1 在虚轴上 2 在第二象限 3 在第二 四象限 4 在直线y x上 分别求实数m的取值范围 反思与感悟 解复数z m2 2m 8 m2 3m 10 i的实部为m2 2m 8 虚部为m2 3m 10 1 由题意得m2 2m 8 0 解得m 2或m 4 反思与感悟 复数实部 虚部分别对应了复平面内相应点的横坐标和纵坐标 在复平面内复数所表示的点所处的位置 决定了复数实部 虚部的取值特征 跟踪训练1实数m取什么值时 复数z m2 5m 6 m2 2m 15 i 1 对应的点在x轴上方 解析答案 解由m2 2m 15 0 得m5 所以当m5时 复数z对应的点在x轴上方 2 对应的点在直线x y 4 0上 题型二复数的模的几何意义 解析答案 例2设z c 在复平面内对应点z 试说明满足下列条件的点z的集合是什么图形 1 z 2 解方法一 z 2说明复数z在复平面内对应的点z到原点的距离为2 这样的点z的集合是以原点o为圆心 2为半径的圆 方法二设z a bi 由 z 2 得a2 b2 4 故点z对应的集合是以原点o为圆心 2为半径的圆 2 1 z 2 不等式 z 2的解集是圆 z 2及该圆内部所有点的集合 不等式 z 1的解集是圆 z 1及该圆外部所有点的集合 这两个集合的交集 就是满足条件1 z 2的点的集合 如图中的阴影部分 所求点的集合是以o为圆心 以1和2为半径的两圆所夹的圆环 并且包括圆环的边界 解析答案 反思与感悟 解决复数的模的几何意义的问题 应把握两个关键点 一是 z 表示点z到原点的距离 可依据 z 满足的条件判断点z的集合表示的图形 二是利用复数的模的概念 把模的问题转化为几何问题来解决 反思与感悟 解析答案 解析设z x yi x y r 则z i x yi i x y 1 i 2 题型三复数的模及其应用 解析答案 反思与感悟 例3已知复数z 3 ai 且 z 4 求实数a的取值范围 解方法一 z 3 ai a r 利用模的定义将复数模的条件转化为其实 虚部满足的条件 是一种复数问题实数化思想 根据复数模的意义 结合图形 也可利用平面几何知识解答本题 反思与感悟 解析答案 跟踪训练3已知复数 z 1 求复数3 4i z的模的最大值及最小值 解析答案 复数与函数的综合应用 对于求复数的题目 一般的解题思路是 先设出复数的代数形式 如z a bi a b r 利用题目给出的条件 结合复数的相关概念和性质 列出方程 或方程组 求出a b 最后将复数的代数形式写出来 例4已知f z 2 z z 且f z 3 5i 求复数z 返回 方法技巧 分析题目中出现了f z 与f z 的关系式 可由f z 得到f z 的另一种关系式 要求复数z 只需设z a bi a b r 求出a b即可 利用复数相等的充要条件即可列方程组求解 解析答案 解设复数z a bi a b r f z 2 z z f z 2 z z 又 f z 3 5i 2 z z 3 5i 2 a bi a bi 3 5i 复数z 10 5i 返回 当堂检测 1 2 3 4 5 1 在复平面内 复数z i 2i2对应的点位于 a 第一象限b 第二象限c 第三象限d 第四象限 解析 z i 2i2 2 i 实部小于0 虚部大于0 故复数z对应的点位于第二象限 b 解析答案 1 2 3 4 5 2 在复平面内 复数6 5i 2 3i对应的点分别为a b 若c为线段ab的中点 则点c对应的复数是 a 4 8ib 8 2ic 2 4id 4 i c 解析答案 解析由题意知点a的坐标为 6 5 点b的坐标为 2 3 由中点坐标公式 得线段ab的中点c的坐标为 2 4 故点c对应的复数为2 4i 1 2 3 4 5 3 复数z1 a 2i z2 2 i 如果 z1 z2 那么实数a的取值范围是 解析答案 1 1 解得 1 a 1 1 2 3 4 5 解析答案 9 1 2 3 4 5