形状改变比能的J_积分及应用_蒋玉川.pdf

第17卷第 6 期工 程 力 学Vol 17 No 6 2000 年 12 月ENGINEERING MECHANICSDec 2000 收稿日期1999 05 04修订日期1999 09 26 作者简介蒋玉川 1963 男副教授博士生主要从事岩石断裂力学及强度理论研究 所谓的材料力指的是带裂纹的模型外边界所受的力 文章编号1000 4750 2000 06 110 07 形状改变比能的 J 积分及应用 蒋玉川 四川大学土木工程及应用力学系成都 610065 摘 要本文引进形状改变比能的概念对平面裂纹起裂扩展问题进行了讨论给出一个与路 径无关的 J 积分通过 I 型裂纹的应用其结果与现行公开发表的文献或手册结果一致 关键词形状改变比能材料力应力强度因子 中图分类号O346 文献标识码A 1 引言 众所周知文 1 J Rice等用 J 积分来描述弹塑性情况下裂纹尖端区域应力应变场强度 平均值的一个参量在线弹性情况下J G文 2 指出 J 积分并不是唯一的静弹性力学守 恒定律如 JLM 等也是与积分回路无关的守恒积分公式文 3 用横向释放率描述了 I 型裂纹的扩展问题 他们都取得了成功 本文认为体积应变能对塑性材料中的裂纹扩展无 贡献而用形状改变比能的概念来描述弹塑性情况下平面裂纹扩展更为有效通过 I 型裂 纹的应用取得了良好的效果 2 形状改变比能的 J 积分定义 定义 Ss iiviif SuTnWWSuTnWJd d 1 1 1 1 1 注 f W形状改变比能 v W体积应变比能W应变比能 说明从 J 积分中减去与路径无关的积分 S V SnW d 1 则所得 J 积分与路径无关 2 在偏斜应力张量状态下形状改变比能为 6 6 1 222222 zxyzxyxzzyyxf E W 2 在平面应变情况下 0 0 xxzyzxz 代入上式化简为 形状改变比能的 J 积分及应用111 3 1 1 3 1 22 xyyxyxf E W 3 如图 1 所示以裂纹尖端为圆心半径为 r 的圆周作 为回路则 1 式中的第一项为 Sr E SnW xyyx s yxf dcos 3 1 1 3 1 d 2 2 1 4 其中 2 3 cos 2 cos 2 sin 2 2 3 sin 2 sin1 2 cos 2 2 3 sin 2 sin1 2 cos 2 r K r K r K I xy I y I x 5 将 I 型裂纹尖端的应力分量表达式 5 代入 4 式得 s If K E SnW 2 2 1 12 144 1 d 6 又 J 积分中的第二项 2 1 4 23 1 d I s ii K E SuT 7 因此J 积分为 E K J I 22 6 255 1 8 在平面应变情况当 0 25 时 E K J I 2 807 0 9 由于 J 与积分路径无关如图 2 所示沿 S 路径 积分所得的 J 值也同样是 9 式的结果由于对称 性沿半圆 ab J 积分值为 2 1 1 404 0d abs I iif E K SuTnWJ 10 3 确定所谓的材料力与应力强度因子关系 如图 3 所示梁中裂纹在弯矩和拉伸荷载作用下的模型由于对称性取其中一半研究 这里约定 和分别指示有裂纹和无裂纹部分的梁符号 表示中性轴的位移 取梁的周边 S abcde 为外路径半圆 S ae 为内路径则 J 积分值为 图 1 J 积分路径之一 图 2 J 积分路径之二 112工 程 力 学 1 1 d1d absabs fiif SWSuTnW a 2 2 1 1 d bcs iif MuNSuTnW b 11 1 1 1 d cdscds fiif uuqdSWSuTnW c 2 2 1 1 d des iif MuNSuTnW d 图 3 梁中裂纹在弯矩和拉伸荷载作用下的模型 a b c d 且注意到有SWSW abscds ff dd 则有 1 2 21 2 2 1 1 d abcdes iif uqMuNuqMuNSuTnWJ 11 其中令 1 2 2 1 2 2 uqMuNA uqMuNA 12 所以 1 1 abcdes iif AAdSuTnW 13 沿内路径 S ae 的 J 值为 2 1 1 404 0d aes I iif E K SuTnW 14 由于 J 值与路径无关则有 404 0 2 AA E KI 15 方程 15 提供了所谓的材料力与应力强度因子之间的准确关系式应用方程 15 可以求解对称情况下有限宽板 梁 的 I 型应力强度因子 4 应力强度因子的计算 4 1 梁边裂纹受弯矩作用 形状改变比能的 J 积分及应用113 如图 4 所示梁中边裂纹在弯矩作用下的情况设厚度为 B根据 15 式有 1 404 0 2 B AA E KI 16 且有 12 3 BW I EI M 17 图 4 梁中边裂纹在弯矩作用下的情况 图 5 带椭圆切槽的梁 而且裂纹中性轴上的 可从文献 3 中得到如图 5 所示用椭圆边界的平均值的极限作 为结果 b b b b b b W a EI M x bxWaEI M b xx b Lim d 1 1 2 1 limd 2 1 1 32 0 0 18 且有 1 0 32 1 1 1 d tWa t W a 19 将方程 17 18 19 代入方程 16 有 6 2 3 W a f BW M KI 20 且有 1 909 0 1 W a W a f 21 因为 W a BW M FaFKI 2 3 6 则有 W a F W a f 22 由方程 21 和 22 分别得到不同 a W 值 对应的本文和文 4 的结果并比较于表 1 和 图 6 中图 6 梁中边裂纹在弯矩作用下无量纲的应力强度 因子随无量纲的裂纹长度的变化规律 114工 程 力 学 表 1 梁中边裂纹在弯矩作用下无量纲的应力强度因子与文 4 结果的比较 a W f a W 0 10 20 30 40 50 60 70 8 本文0 4730 7461 0351 3861 8492 5273 6405 955 文 4 0 5850 8351 0901 4081 8732 6223 8685 913 4 2 梁中裂纹受均匀拉伸作用 梁中心裂纹在轴向拉力作用下如图 7 所示根据对称性取 1 4 部分计算从方程 15 式 有 2 404 0 2 22 2 2 uu B N AA E KI 23 图 7 梁中裂纹在均匀拉力作用下的情况 且有 WBA EA N u2 2 2 24 同理 2 2 u的计算与 18 式的方法相同 1 1 d 2 1 lim d 2 1 lim 2 20 2 2 0 2 2 W a EA N bxWaEA xN b xxu b u b b b b b b 25 且有 1 0 2 2 d 1 1 1 t tWa W a 26 将 24 25 26 代入 23 式有 图 8 在均匀拉力作用下无量纲的应力强 度因子随无量纲的裂纹长度变化的规律 形状改变比能的 J 积分及应用115 W a f WB N KI 27 同理有 1 787 0 2 W a W a f 28 W a F W a f 2 1 29 由方程 28 和 29 得到不同 a W值对应的文 4 或本文的结果列入表 2 和比较于图 8 中 表 2 梁中裂纹在均匀拉力作用下无量纲的应力强度因子与文 4 结果的比较 a W f a W 0 10 20 30 40 50 60 70 8 本文0 2260 3340 4380 5370 6470 7760 9371 160 文 4 0 2820 4040 5100 6160 7360 8871 0961 433 4 3 梁边裂纹受轴向拉力作用 如图 9 所示梁中边裂纹在轴向拉力作用下的情况设厚度为 B根据 15 式得出 404 0 2 22 2 2 MuNuNAA E KI 30 图 9 梁边裂纹受轴向拉力作用下的情况 或 2 404 0 2 2 2 2 2 a uu B N E KI 31 同理可以导出 W a f WB N KI 32 W a F W a f 33 式中的 W a f为 图 10 梁边裂纹受轴向拉力作用其无量纲的 应力强度因子随无量纲的裂纹长度的变化规律 116工 程 力 学 2 1 1 2 2 1 3 478 2 W a W a W a W a f 34 将方程 33 和 34 的结果列入表 3 中并比较于图 10 中 表 3 梁边裂纹受轴向拉力作用下无量纲的应力强度因子与文 4 结果的比较 a W f a W 0 10 20 30 40 50 60 70 8 本文0 5450 9721 5192 2603 3505 1108 11014 692 文 4 0 6621 0851 6112 3543 5425 5278 86014 291 5 结语 本文提出形状改变比能的 J 积分概念揭示了塑性材料裂纹扩展的真实原因是由于形 状改变比能的驱动用 J 积分换算得出的 KI与文 4 的结果吻合得较好 参考文献 1 J R Rice A Path independent integral and approximate analysis of strain concentration by notches and crack J J Application Mech 1968 35 379 386 2 Mel Vin F Kanninen Carl H Popelelar 美 著 沈其麟 等译 高等断裂力学 北京 北京航空学院出版 1987 116 122 3 Y J Xie H Xu P N Li Rack mouth widening energy release rate and its application J Theoretical and Applied Fracture Mechanics 1998 29 1195 203 4 H Tada P C Paris G R Irwin The stress analysis of crack Handbook M Del Research Helletown PA 1973 J INTEGRAL OF THE DEVIATOR STRAIN ENERGY PER UNIT VOLUME AND ITS APPLICATION JIANG Yu chuan Sichuan University ChengDu 610065 Abstract J integral of the deviator strain energy per unit volume is introduced in this paper The problem of plane crack critical growth is discussed and a path independent line integral J is gi