2011年高考试题——数学理(课表卷)解析版.doc

2011年高考理科数学试题全国课标版第卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的5个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的共轭复数是（A） (B) (C) (D) 2.下列函数中，既是偶函数又在（0，+）单调递增的函数是（A） (B) (C) (D)3.执行右面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的是（A）120 (B)720 (C)1440 (D)50404.有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一兴趣小组的概率为（A） (B) (C) (D)5.已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则=（A） (B) (C) (D) 6.在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为7.设直线过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，与C交于A,B两点，为C的实轴长2倍，则C的离心率为（A） (B) (C)2 (D)38.的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（A）40 (B)20 (C)20 (D)409.由曲线，直线及轴围成的图形的面积为（A） (B)4 (C) (D)610.已知与均为单位向量，其中夹角为，有下列四个命题：0,） :(,: 0, ） :(,其中真命题是（A）， (B) ， (C) ， (D) ，11.设函数=（0，）的最小正周期为，且=，则（A）在（0，）单调递减 (B)在（，）单调递减 (C) 在（0，）单调递增 (D)在（，）单调递增12.函数的图像与函数（24）的图像所有交点的横坐标之和等于（A）2 (B) 4 (C) 6 (D)8 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分，第13题第21题为必考题，每个考题考生都必须作答，第22题第24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.13.若变量，满足约束条件，则的最小值为 .14.在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点 ,在轴上，离心率为，过作直线交于,两点，且的周长为16，那么的方程为 .15.已知矩形的顶点都在半径为4的球面上，且=6，,则棱锥的体积为 .16.在中，,则的最大值为 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）等比数列的各项均为整数，且=1，=，（）求数列的通项公式；（）设=，求数列的前项和.18. （本小题满分12分）如图，四棱锥中，底面为平行四边形，=，=,底面.()证明：;（）若=，求二面角的余弦值.19. （本小题满分12分）某种产品以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品.现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A配方的频数分布表指标值分组90,94）94,98）98,102）102,106)106,110频数82042228B配方的频数分布表指标值分组90,94）94,98）98,102）102,106)106,110频数412423210()分别估计用A配方，B配方生产产品的优质品率；()已知用B配方生产的一件产品的利润（单位：元）与其质量指标值的关系为=，从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为（单位：元），求的分布列与数学期望.(以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率).20. （本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知A(0，1),B点在直线上，M点满足,=,点的轨迹为曲线.()求曲线的方程；()为上的动点，为在点处的切线，求点到距离的最小值.21. （本小题满分12分）已知函数=，曲线=在点（1，）处的切线方程为.（）求，的值；（）如果当0，且1时，求的取值范围. 请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所作第一题记分，作答时请写清题号. 22. （本小题满分12分）选修41：几何选讲如图，,分别是的边,上的点，且不与的顶点重合，已知的长为，的长为，,的长是关于的方程的两根.()证明：，,四点共圆；()若=，且=4，=6，求，,所在圆的半径.23. （本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），是上的动点，点满足=,点的轨迹为.()求的方程；()在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与的异于极点的交点为，与的异于极点的交点为，求.24. （本小题满分10分）选修45：不等式选讲设函数=，其中0.（）当=1时，求不等式的解集；（）若不等式0的解集为，求的值.2011年高考理科数学试题全国课标版答案第卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的5个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的共轭复数是（A） (B) (C) (D) 【命题意图】本题考查复数的运算及共轭复数的概念，是容易题.【解析】=，其共轭复数为，故选C.2.下列函数中，既是偶函数又在（0，+）单调递增的函数是（A） (B) (C) (D)【命题意图】本题考查函数的奇偶性及幂函数、一次函数、二次函数、指数函数单调性，是容易题.【解析】先考查奇偶性，显然是奇函数，排除A，=，显然在（0，+）是单调增函数，故选B.3.执行右面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的是（A）120 (B)720 (C)1440 (D)5040【命题意图】本题考查程序框图的知识，是容易题.【解析】运行第1次，N=6，=1，=1，=1，6是，循环=2，运行第2次，=2，=26是，循环=3，运行第3次，=6，=36是，循环=4，运行第4次，=24，=46是，循环=5，运行第5次，=120，=56是，循环=6，运行第6次，=720，=66否，输出=720，故选B.4.有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一兴趣小组的概率为（A） (B) (C) (D)【命题意图】本题主要考查等可能事件的概率、相互独立事件的概率、互斥事件的概率，容易题.【解析】每位同学参加各个小组的可能性相同,故某个同学参加某一小组的概率都为，又甲、乙参加哪一小组之间没有相互影响，故甲、乙同在某一组的概率为=，又甲、乙同在3个兴趣小组的某一组的3个事件互斥，故甲、乙同在一组的概率为+=，故选A.5.已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则=（A） (B) (C) (D) 【命题意图】本题主要考查三角函数的概念、二倍角的余弦公式，是容易题.【解析】在直线取一点P（1,2），则=，则=，=，故选B.6.在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为【命题意图】本题主要考查简单几何体的三视图及空间想象能力，是容易题.【解析】由几何体得正视图与俯视图知，其对应的几何体如图所示是半个圆锥与棱锥的组合体，故其侧视图选D.7.设直线过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，与C交于A,B两点， 为C的实轴长2倍，则C的离心率为（A） (B) (C)2 (D)3【命题意图】本题主要考查双曲线的性质及简单的直线与双曲线的位置关系，是中档题.【解析】由题知，是双曲线的通径，故=，故=，是等轴双曲线，=，故选A.8.的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（A）40 (B)20 (C)20 (D)40【命题意图】本题主要考查二项式定理系数和、通项公式的应用，中档题.【解析】令=1得，=2，解得=1，第2个因式的通项公式为=当第1个因式取，第2因式展开式取，即，解得=3，当第1个因式取，第2因式展开式取，即=1，解得=2，常数项为+=40，故选D. 9.由曲线，直线及轴围成的图形的面积为（A） (B)4 (C) (D)6【命题意图】本题主要考查利用积分求曲线围成曲边梯形的面积.【解析】解得（4,2），由图知，由曲线，直线及轴围成的图形的面积为=，故选C.10.已知与均为单位向量，其中夹角为，有下列四个命题：0,） :(,: 0, ） :(,其中真命题是（A）， (B) ， (C) ， (D) ，【命题意图】本题主要考查向量的夹角的计算、命题真假的判定，中档题.【解析】由得，即，即=，0,，0,），由得，即，即=，0,，(,，故选A.11.设函数=（0，）的最小正周期为，且=，则（A）在（0，）单调递减 (B)在（，）单调递减 (C) 在（0，）单调递增 (D)在（，）单调递增【命题意图】本题和与差的正余弦公式、三角函数性质，是中档题.【解析】=，由题意知=且=，解得=2，=，又，=，=，当（0，）时，（0，），故在（0，）单调递减，故选A.12.函数的图像与函数（24）的图像所有交点的横坐标之和等于（A）2 (B) 4 (C) 6 (D)8【命题意图】本题考查函数的图像与性质反比例函数图像、三角函数图像、图像平移、对称性、数形结合思想等，是有难度的题目. 【解析】作出与（24），由图像知这两个函数都关于（1,0）对称，故其8个交点关于（1,0）对称，所有交点的横坐标之和等于2+2+2+2=8，故选D. 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分，第13题第21题为必考题，每个考题考生都必须作答，第22题第24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.13.若变量，满足约束条件，则的最小值为 .【命题意图】本题主要考查简单线性规划，是容易题.【解析】作出可行域与目标函数，由图知，目标函数过A点时，取最小值，解得A(4，5)，=6.14.在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点 ,在轴上，离心率为，过作直线交于,两点，且的周长为16，那么的方程为 .【命题意图】本题主要考查椭圆的定义、标准方程、性质，是容易题.【解析】由椭圆定义知的周长=，=16，=，=，=8，椭圆方程为.15.已知矩形的顶点都在半径为4的球面上，且=6，,则棱锥的体积为 .【命题意图】本题主要考查球的截面性质、棱锥的体积公式，是中档题.【解析】设矩形的对角线的交点为E，则OE面ABCD，由题知截面圆半径=12，由截面圆性质得OE=2，棱锥的体积为=.16.在中，,则的最大值为 .【命题意图】本题主要考查正弦定理、三角公式、三角函数最值问题，是有难度的题目.【解析】由正弦定理得，=,=，=+=（，故的最大值为.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）等比数列的各项均为整数，且=1，=，（）求数列的通项公式；（）设=，求数列的前项和.【命题意图】本题考查等比数列的通项公式、性质、等差数列的前项和公式及拆项相消求和法，是容易题目.【解析】（）设数列的公比为，由=得=，所以=，由条件可知0，故=.由=1得=1，所以=，故数列的通项公式为=.（）=故=，=所以数列的前项和为.【解题指导】数列题目由压轴题调整为大题第一题，题目难度降了很多，符合课标对这部分的要求，数列题重点考查等差数列、等比数列的概念、性质、通项公式、前项和公式，简单递推数列问题、分组求和、拆项相消、错位相减、倒序求和等常见数列求和方法.18. （本小题满分12分）如图，四棱锥中，底面为平行四边形，=，=,底面.()证明：;（）若=，求二面角的余弦值.【命题意图】本题考查了线面、线线垂直的判定与性质、利用向量法求二面角的方法,是容易题目.【解析】() =,=,由余弦定理得=,=, ,又面， ， 面， （）如图，以为坐标原点，的长为单位长，射线为轴正半轴建立空间直角坐标系，则（1,0，0），（0，0），（0,0,1），=（1，0），=（0，1），=（1,0，0）.设平面的法向量为=（，），则,即，取=1，则=，=，=(,1, ),设平面的法向量为=(,),则，即，取=1，则=0，=，=(0,1,)，=，故二面角的余弦值为.【解题指导】空间几何体重点考查空间线线、线面、面面的平行、垂直判定与性质，利用向量法和几何法求异面直线所成角、线面角、二面角问题,难度与大纲版要求变化不大，是拿分题目.19. （本小题满分12分）某种产品以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品.现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A配方的频数分布表指标值分组90,94）94,98）98,102）102,106)106,110频数82042228B配方的频数分布表指标值分组90,94）94,98）98,102）102,106)106,110频数412423210()分别估计用A配方，B配方生产产品的优质品率；()已知用B配方生产的一件产品的利润（单位：元）与其质量指标值的关系为=，从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为（单位：元），求的分布列与数学期望.(以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率).【命题意图】本题主要考查给出试验结果的频数分布计算相应的频率，将频率当概率计算随机变量的分布列与数学期望.【解析】()由试验结果知，用A配方生产的产品中优质品的频率为=0.3，用A配方生产的产品中优质品率的估计值为0.3.由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为=0.42，用B配方生产的产品中优质品率的估计值为0.42.（）用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入90,94),94,102),102,110的频率分别为0.04,0.54,0.42， =0.04，=0.54，=0.42，即的分布列为24P0.040.540.42的数学期望=2.68.【解题指导】概率统计是每年必考的题目，侧重考查在统计下的概率计算，重点要掌握抽样方法、数据处理方法茎叶图、直方图，会利用茎叶图、直方图中的信息计算期望、方差、中位数、众数等，掌握离散型随机变量的常见分布：二项分布、两点分布、几何分布、超几何分布等，会求简单随机变量的分布列、数学期望、方差，会根据正态分布的图像解正态分布问题，掌握线性回归分析、独立性检验的思想方法.20. （本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知A(0，1),B点在直线上，M点满足,=,点的轨迹为曲线.()求曲线的方程；()为上的动点，为在点处的切线，求点到距离的最小值.【命题意图】本题以向量为载体考查求曲线方程的方法，考查了抛物线的切线、点到直线的距离公式、利用基本不等式求最值等，是中档题目.【解析】()设(，)，由已知得(,3)，(0,1),=(,)，=(0,)，=(,2),由题意可知=0，即=0，化简整理得，曲线的方程为；（）设(,)为曲线：上一点，=，的斜率为， 直线的方程为=，即点到的距离=2，当=0时取等号，点到的距离的最小值为2.【解题指导】本题以向量为载体给出曲线上的点满足的条件，故用直接法求方程，抛物线的切线可用导数求切线方程，然后利用点到直线的距离公式化为函数问题，再用函数求最值的方法求解.21. （本小题满分12分）已知函数=，曲线=在点（1，）处的切线方程为.（）求，的值；（）如果当0，且1时，求的取值范围.【命题意图】本题考查了利用导数解函数的切线问题、已知含参数的不等式在某个范围上成立求参数范围问题及分类讨论思想，是难题.【解析】()=,直线=0的斜率为，且过点（1,1），=1且=，即，解得=1，=1；（）由()知=，=设=（0），则=当0时，由=知，当时，0，而=0，故当（0,1）时，0，可得；当（1，+）时，0，可得，从而当0，且1时，0，即；当01时，由于当（1，）时，0，故0，而=0，故（1，）时，0，可得0与题设矛盾；当1时，此时0，而=0，故当(1,+)时，0，可得，与题设矛盾，综上所述，的取值范围为（，0.【解题指导】对切线问题，从求切线入手求解；对已知不等成立求参数范围问题，若参变分离后，易求含未知数的一端的最值，常用此法，否则分类讨论，注意分类时要做到不重不漏. 请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所作第一题记分，作答时请写清题号. 22. （本小题满分12分）选修41：几何选讲如图，,分别是的边,上的点，且不与的顶点重合，已知的长为，的长为，,的长是关于的方程的两根.()证明：，,四点共圆；()若=，且=4，=6，求，,所在圆的半径.【命题意图】本题考查了四点共圆的判定与圆的性质，是容易题.【解析】()连结DE，根据题意在和中，=, 即,又, , C,B,D,