数的开方讲义.doc

数的开方【教学内容】第十六章 数的开方16.1 平方根 16.2 立方根【知识点精析】一、平方根1平方根如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，即如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作x=，其中a叫被开方数。2平方根的性质（1）任何一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。如正数a的平方根是，其中与恰是一对相反数；（2）零的平方根是零，即；（3）负数没有平方根。3算术平方根正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根。4开平方求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。开平方与平方互为逆运算。5求一个正数的平方根的基本方法和基本步骤（1）明确（或易求出）所要求的正数是哪一个数的平方的。先写出是哪个数的平方等于已知的数；再求出这个正数的算术平方根；最后求出这个正数的平方根。（2）不易求出所要求的正数是哪个数的平方的。方法1：利用数学用表的平方根表查。方法2：利用计算器计算。6注意的问题（1）负数没有平方根；（2）的非负性，即当a0时，0，非负数的算术平方根一定是非负数；（3）用计算器求一个正数的平方根应注意精确度，或根据精确度取近似数。二、立方根1立方根如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，即如果x3=a，则x叫做a的立方根，记作：x=，其中a叫做被开方数，3叫做根指数。2立方根的性质任何一个正数的立方根是一个正数，即a0时，0；任何一个负数的立方根是一个负数，即a0时，0时，0；a=0时，=0；a0时，0。（4）用计算器求立方根时，应注意精确度，或根据精确度取近似数。【典型例题】例1将下列各数开平方（1）49 （2） （3）0.0169分析 开平方的实质就是求一个数的平方根，而求平方根的关键是求出这个数的算术平方根。解（1）因为72=49，所以，因此49的平方根为7，即。（2）因为，所以，因此的平方根为，即。（3）因为（0.13）2=0.0169，所以，因此0.0169的平方根为0.13，即例2下列五个命题：只有正数才有平方根；2是4的平方根；5的平方根是；都是3的平方根；（2）2的平方根是2。上述命题中正确的命题是（ ）ABCD分析 显然是错的，因为“0”的平方根还是“0”；是正确的；是错的，因为5的平方根是；是对的；也是错的，因为（2）2=4，4的平方根是2，因此所给的命题中只有是对的。解 本题应选D。方法总结 判断命题是否正确，关键是会举反例。例3求下列各数的立方根：（1）343 （2）0.064 （3）分析 求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方。解（1）因为73=343，所以。（2）因为（0.4）3=0.064，所以.或 因为0.43=0.064，所以=0.4.（3）因为，所以，或因为.例4求下列各式中x的值：（1）25x249=0； （2）（x1）25=0（3） （4x3）3=0.343 （4）x337=分析 通过移项并把x的系数化为1，以上各式可以化为x2=a或x3=a的形式，再利用平方根、立方根的定义求出x的值。解（1）25x249=0 （2）（x1）25=025x2=49 （x1）2=5x2= x1=x= x=1x=（3） （4x3）3=0.343 （4）x337=4x3=0.7 x3=37+4x=3.7 x3=x= x=例5已知2a1的平方根是3，3a+b1的平方根是4，c是的整数部分，求a+2b+c的平方根。分析：2a1的平方根是3，由平方根的定义可知2a1=（3）2=9，a=5。同理，由3a+b1的平方根是4可知 3a+b1=16， b=2。c是的整数部分，495764， 78， 的整数部分c=7， a+2b+c=16，从而可求出a+2b+c的平方根。解：2a1的平方根是3，2a1=（3）2=9， a=5又3a+b1的平方根是4，3a+b1=（4）2，3a+b1=16， b=2.又495764， 70，则a0。其中错误的是（ ）ABCD15求下列各式的值：（1） （2）（）3 （3）16计算：（1） （2）17求下列各式中的x。（1）（x1）2=289 （2）x33= （3）x3+343729=018.已知有理数，求x8y的平方根和立方根。19若x2=16，那么（5x）的算术平方根是（ ）A1 B4 C1或9 D1或320“的平方根是”用数学式子表示正确的是（ ）A BC Da021数a在数轴上的位置如图所示，则下列各式中有意义的是（ ）A B C D22.用计算器求值：=（ ）A.0.22 B.0.32 C.0.18 D.0.2823计算：（1） （2） （3）（4） （5）； （6）24.数2，3的大小关系是（ ）A.2 B.3C. 2 D.3225.对于有理数x， =（ ）A0 B2005 C2005 D26如果，那么x的取值范围是（ ）A. x2 B.x227.若，则m、n分别为_。28计算2005的算术平方根时，现有如下三个方案，请你只选择其中一个方案填空：方案一：用双行显示科学计算器求：先按动键 ON/C ， 再依次按键_、 2 、 0 、 0 、 5 、 = 。方案二：用单行显示科学计算器求：先按动键ON/C ，再依次按键 2 、 0 、 0 、 5 、_。方案三：查算表（数学用表）计算：下表是平方根表的一部分，依据下表，得=_。N01234567891234567892.01.4141.4181.4211.4251.4281.4321.4351.4391.4421.446011122233204.4724.4834.4944.5064.5174.5284.5394.5504.5614.572123467891029.设a、b、c为有理数，且ax2+bx+c=0，（a2）2+，试求x2+x+1的值。30设等式在实数范围内成立，其中a， x， y是两两不同的实数，求 的值。参考答案与提示1.B 2.D 3.B 4.D 5.D 6.a ； 1； 0或1 7. 3； 8. 1 9. 110. 1， 11. 0或1；0或1. 12.； 13. 5或1 14. A15（1）5； （2）2； （3）1 16.（1）3 （2）117（1）x=18， 16 （2） （3）6318. x8y=9 平方根为3，立方根为19.D 20.B 21.B 22.C23. （1） 3 （2）0