换面法.doc

换面法一、 换面法概述当直线或平面相对于投影面处于特殊位置（平行、垂直）时，它们的投影反映线段的实长、平面的实形及其与头面的倾角。当直线或平面和投影面处于一般位置时，则它们的投影不具备上述特性。换面法的目的，就在于将直线或平面从一般位置变换为和投影面平行或垂直的位置，以便于解决它们的度量和定位问题。1换面法的基本概念换面法就是保持空间几何元素不动，用一个新的投影面替换其中一个原来的投影面，使新投影面对于空间几何元素处于有利于解题的位置。然后找出其在新投影面上的投影。2新投影面的选择原则（1）新投影面必须和空间的几何元素处于有利于解题的位置；（2）新投影面必须垂直于一个原有的投影面；（3）在新建立的投影体系中仍然采用正投影法。二、 点的换面点是一切几何元素的基本元素。因此在研究换面时，首先从点的投影变换来研究换面法的投影规律。1点的一次换面 （1）换V面图2-25（a）表示点A在原投影体系V/H中，其投影为和现令H面不动，用新投影面V1来代替V面，V1面必须垂直于不动的H面，这样便形成新的投影体系V1/H，O1X1是新投影轴。过点A向V1面作垂线，得到V1面上的新投影，点是新投影，点是旧投影，点是新、旧投影体系中的共有的不变投影。和是新的投影体系中的两个投影，将V1面绕O1X1轴旋转到与H面重合的位置时，就得到图2-25（b）所示的投影图。由于在 （a） （b） （c）图2-25点的一次变换（换V面）新投影体系中，仍采用正投影方法，又在V/H投影体系和V1/H体系中，具有公共的H面，所以点到H面的距离（Z坐标）在两个题词体系中是相等的。所以有如下关系：O1X1轴；=A，即：换V面时Z坐标不变。由此得出点的投影变换规律是：点的新投影和不便投影的连线，必垂直于新投影轴；点的新投影到新投影轴（O1X1）的距离等于被替换的点的旧投影到旧投影轴（OX）的距离，也即换V面时高度坐标不变。换V面的作图方法和步骤如图2-25（c）所示：在被保留的H投影附近（适当的位置）作O1X1轴；由H投影向新投影轴O1X1作垂线，在此垂线上量取=，点即为所求。（2）换H面换H面时，新就投影之间的关系与换V面类似，也存在如下关系：O1X1轴；=A，换H面是Y坐标不变。其作图方法和步骤与换V面类似2-25（c），可依此类推，此略。2点的二次换面由于应用换面法解决实际问题时，有时一次换面还不便于解题，有时还需要二次或多次变换投影面。如图3-27表示点的二次换面，其求点的新投影的作图方法和原理与一次换面相同。但要注意：在更换投影面时，不能一次更换两个投影面，为在换面过程中二投影面保持垂直，必须在更换一个之后，在新的投影体系中交替地再更换另一个。如2-26（a）所示，先由H1代替H面，构成新的投影体系V/H1，O1X1为新坐标轴；再以这个新投影体系为基础，以V2面代替V面，又构成新的投影体系V2/H1，O2X2为新坐标轴。二次换面的作图步骤如图2-26（b）所示：（1）先换H面，以H1面替换H面，建立V/H1新投影体系，得新投影，而=A，作图方法与点的一次换面完全相同；（2）再换V面，以V2面替换V面，建立V2/H1新投影体系，得新投影，而=A，作图方法与点的一次换面类似。 （1） （2）图2-26点的二次换面注：根据实际需要也可以先换V 面，后换H 面，但两次或多次换面应该是V 面和H 面交替更换，如：。三、几个基本作图问题1将一般位置直线变换为投影面的平行线如图2-27（a）为把一般位置直线AB变换为投影面平行线的情况。用V1面代替V面，使V1面AB并垂直于H面。此时，AB在新投影体系V1/H中为正平线。图2-27（b）为投影图。作图时，先在适当位置画出与不变投影平行的新投影轴O1X1（O1X1），然后根据点的投影变换规律和作图方法，求出A、B两点在新投影面V1上的新投影、，再连接直线。则反应线段AB的实长，即=AB，并且新投影和新投影轴（O1X1轴）的夹角即为直线AB对H面的倾角，如图2-27（b）。如图2-27（c）所示若求线段AB的实长和与V面的倾角，应将直线AB 变换成水平线（ABH1面）也即应该换H面，建立V/H1新投影体系，基本原理和作图方法同上。 （a） （b） （c）图2-27将一般位置直线变换为投影面平行线2将投影面的平行线变换为投影面垂直线 将投影面平行线变换为投影面的垂直线，是为了使直线积聚成一个点，从而解决与直线有关部门的度量问题（如求两直线间的距离）和空间文质彬彬问题（如求线段面交点）。应该选择哪一个投影面进行变换，要根据给出的直线的位置而定。即选择一个与已知平行线垂直的新投影面进行变换，使该直线在新投影体系中成为垂直线。如图2-28（a）表示将水平线AB变换为新投影面的垂直线的情况。图2-28（b）表示投影图的作法：因所选的新投影面垂直于AB，而AB为水平线，所以新投影面一定垂直于H面，故应换V面，用新投影体系V1/H更换旧投影体系V/H，其中O1X1。 （a） （b）图2-28将投影面的平行线变换为投影面垂直线3将一般位置直线变换为投影面垂直线（需要二次换面）如果要将一般位置直线变换为投影面垂直线，必须变换两次投影面。先将一般位置直线变换为投影面的平行线，然后再将该投影面平行线变换为投影面垂直线。如图2-29所示，先换V面，使直线AB在新投影体系V1/H中成为正平线，然后再换H面，使直线AB在新投影体系V1/H2中成为铅垂线。其作图方法详见图2-29（b），其中O1X1，O2X2。 （a） （b）图2-29直线的二次换面4将一般位置平面变换为投影面垂直面（求倾角问题）将一般位置平面变换为投影面垂直面，只需使平面内的任一条直线垂直于新的投影面。我们知道要将一般位置直线变换为投影面的垂直线，必须经过两次变换，而将投影面平行线变换为投影面垂直线只需要一次变换。因此，在平面内不取一般位置直线，而是取一条投影面的平行线为辅助线，再取与辅助线垂直的平面为新投影面，则平面也就和新投影面垂直了。如图2-30表示将一般位置平面ABC变换为新投影体系中的正平线段的情况。由于新投影面V1既要垂直于ABC平面，又要垂直于原有投影面H面，因此，它必须垂直于ABC平面内的水平线。作图步骤（如图2-30（b）：（1）在ABC平面内作一条水平线AD线作为辅助线及其投影、；（2）作O1X1；（3）求出ABC在新投影面V1面上的投影、，、 三点连线必积聚为一条直线，即为所求。而该直线与新投影轴的夹角即为该一般位置平面ABC与H面的倾角。同理，也可以将ABC平面变换为新投影体系V/H1中的铅垂面，并同时求出一般位置平面ABC与V面的倾角。 （a） （b） （c） 图2-30平面的一次换面（求倾角）5将投影面的垂直面变换为投影面平行面（求实形问题）如图表示将铅垂面ABC变为投影面平行面（求实形）的情况。由于新投影面平行于ABC，因此它必定垂直于投影面H，并与H 面组成V1/H新投影体系。ABC在新投影体系中是正平面。图2-30（b）为它的投影图。作图步骤（如图2-31（b）：（1）在适当位置作O1X1；（2）求出ABC在H1面的投影、，连接此三点，得即为ABC的实形。 （a） （b）图2-31将投影面的垂直面变换为投影面平行面6将一般位置平面变换为投影面平行面（二次换面）要将一般位置平面变换为投影面平行面，必须经过两次换面。因为如果取新投影面平行于一般位置平面，则这个投影面也一定是一般位置平面，它和原体系V/H中的哪个投影面都不垂直而无法构成新投影体系。因此，一般位置平面变换为投影面平行面，必须经过两次换面。如图2-32（a）所示，先换V面，其变换顺序为XX1X2，在H2面上得到=ABC，即是ABC的实形；如图2-32（b）所示，先换H面，其变换顺序为XX1X2，在V2面上得到=ABC，即是ABC的实形。 （a） （b）图2-32平面的二次换面四、 应用举例1. 点到平面的距离确定点到平面的距离，只要把已知的平面变换成垂直面，点到平面的实际距离就可反映在投影图上了。图2-33，用变换V 面的方法，确定点D到ABC的距离，作图步骤如下：（1）由于ABC中的AC为水平线，故直接取新轴O1X1；（2）再作出D面和ABC的新投影和（为一直线）；（3）过点向直线作垂线，得垂足的新投影，投影之长即为所求的距离。 图2-33点到平面的距离2. 点到直线的距离及其投影例 如图2-34（a）所示：已知线段AB和线外一点C的两个投影，求点C到直线AB的距离，并作出C点对AB 的垂线的投影。分析：要使新投影直接反映C点到直线AB的距离，过C点对直线AB的垂线必须平行于新投影面。即直线AB 或垂直于新的投影面，或与点C所决定的平面平行于新投影面。要将一般位置直线变为投影面的垂直线，必须经过二次换面，因为垂直一般位置直线的平面不可能又垂直于投影面。因此要先将一般位置直线变换为投影面的平行线，再由投影面平行线变换为投影面的垂直线。作图步骤：（1）求C点到直线AB的距离。在图2-34（b）中先将直线AB变换为投影面的正平线（V1面），再将正平线变换为铅垂线（H2面），C点的投影也随着变换过去，线段即等于C点到直线AB 的距离；（2）作出C点对直线AB的垂线的旧投影。如图2-34（c），由于直线AB的垂线CK在新投影体系V1H2中平行于H2面，因此CK在V1面上的投影O2X2轴，而与。据此，过点作O2X2轴的平行线，就可得到点，利用直线上点的投影规律，由点返回去，在直线AB 的相应投影上，先后求得垂足K点的两个旧投影点和点，连接、。、即为C点对直线AB的垂线的旧投影。 （a） （b） 图2-34求点到直线的距离及其投影3. 两交叉直线之间的距离两交叉直线之间的距离，应该用它们的公垂线来度量。分析：（1）当两交叉直线中有一条直线是某一投影面的垂直线时，不必换面即可直接求出两交叉直线之间的距离；（2）当两交叉直线中有一条直线是某一投影面的平行线段时，只需要一次换面即可求出两交叉直线之间的距离；（3）当当两交叉直线都是一般位置直线时，则需要进