湖南省益阳市第六中学八年级数学下册 第一章 直角三角形小结与复习（无答案）（新版）湘教版.doc

直角三角形教学目标：1、掌握直角三角形的两个锐角互余关系和斜边上的中线等于斜边的一半的性质2、体验勾股定理的探索过程，掌握勾股定理，并会运用勾股定理解决简单问题；3、会用hl及其它方法判定两个直角三角形全等；重点难点：重点：体会勾股定理及其直角三角形的判定在解决实际问题中的作用难点：如何判定两个直角三角形全等复习过程：知识回顾：1、直角三角形的两个锐角有什么关系？2、直角三角形斜边上的中线与斜边有什么关系？3、请用自己的语言叙述勾股定理及其逆定理。4、判断两个直角三角形全等的方法有哪些？5、角平分线有哪些性质？考点呈现图1考点1 “hl”判定直角三角形全等例1 （2011年重庆市江津区）如图1，在abc中，ab=cb，abc=90，f为ab延长线上一点，点e在bc上，且ae=cf(1)说明：rtabertcbf；(2)若cae=30，求acf度数解析：（1）因为abc=90，所以cbf=abe=90在rtabe和rtcbf中，ae=cf，ab=bc，所以rtabertcbf(hl)(2)因为ab=bc，abc=90，所以cab=acb=45因为bae=cab-cae=45-30=15由（1）知 rtabertcbf，所以bcf=bae=15，所以acf=bcf+acb=45+15=60点评：直角三角形全等的判定可以用“边边边、边角边、角角边、角边角”来判定，还可以用斜边和一直角边对应相等来判定两个直角三角形全等，但在运用这种方法判定时一定要强调两个三角形都是“rt”，要注意解题过程的规范性考点2 直角三角形性质adbec图2例2 （2011年贵州黔南）如图2，abc中，ab=ac=6，bc=8，ae平分bac交bc于点e,点d为ab的中点，连接de，则bde的周长是（ ）a7+ b10 c4+2 d12解析：因为在abc中，ab=ac=6，ae平分bac，所以be=ce=bc=4，aeb=90又因为d是ab的中点，所以de=bd=ab=3所以bde的周长为bd+de+be=3+3+4=10故选b点评：本题考查了等腰三角形三线合一和直角三角形的性质“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”考点3 角平分线的性质例3 （2011年湖北恩施市）如图9，ad是abc的角平分线，dfab，垂足为f，de=dg，adg和aed的面积分别为50和39，则edf的面积为（ ）a11 b55 c7 d35图3解析：过d作dhac交ac于点h，因为ad是abc的角平分线，dfab，所以df=dh，在rtdfe和rtdhg中，de=dg，所以rtdfertdhg同理可得rtafdrtahd由图示可知sdhg=sadgsahd=50sahd，sdfe=safdsaed=safd39因为sdhg=sdfe，所以50sahd=safd39，所以2safd=89，所以safd=445，所以sdfe=44539=55，故选b点评：处理角平分线问题的常见思路是过角平分线上的点向两边作垂线，运用角平分线性质解决问题 图4- 图4-考点4 勾股定理例4 （2011浙江温州）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图4-）图4-由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形abcd，正方形efgh，正方形mnkt的面积分别为s1,s2，s3若s1+s2+s3=10，则s2的值是 解析：因为图中正方形abcd，正方形efgh，正方形mnkt的面积分别为s1，s2，s3， cg=ng，cf=dg=nf，所以s1=（cg+dg） 2=cg 2+dg 2+2cgdg=gf 2+2cgdg，s2=gf 2，s3=（ng-nf） 2=ng2+nf 2-2ngnf因为s1+s2+s3=10=gf 2+2cgdg+gf 2+ng 2+nf 2-2ngnf=3gf 2，所以s2的值是点评：主要考查勾股定理的应用，根据已知得s1+s2+s3=10=gf 2+2cgdg+gf 2+ng 2+nf 2-2ngnf=3gf 2是解决问题的关键考点5 直角三角形的判定例5（2011年黑龙江龙东地区）在abc中，bc:ac:ab=1:1：，则abc是（ ）a等腰三角形 b钝角三角形 c直角三角形 d等腰直角三角形解析：设三角形三边长分别为a,a,a，因a2+a2（a）2，故该三角形为等腰直角三角形，故选d点评：判定直角三角形的关键是看两条较短边的平方和是否等于第三边的平方400 m400 m300 m环城路南京路ca八一街edb书店曙光路西安路北图5考点6 勾股定理的实际应用例6 （2011浙江丽水）如图5，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直如果小明站在南京路与八一街的交叉口点a，准备去书店（图中点e），按图中的街道行走，最近的路程约为（ ）a600 mb500 mc400 m d300 m解析：小明去书店共有三种走法：(1)ace；(2)abe；(3)abde因为曙光路与环城路垂直，所以bde为直角三角形，所以bdbe，所以(3)的路程大于(2)的路程，因此只比较(1) 、(2)的路程即可在rtabc和rtedb中，因为cab=bed=90，acbd，acb=ebd，ab=ed，所以rtabcrtedb所以be=ac=300 m，而bc=500 m，所以ec=500-300=200 m所以(1)的路程为：300200=500 m；(2)的路程为：400300=700 m，所以(1)的路程最短为500 m，故选b点评：本题综合考查了全等三角形、勾股定理、平行线的性质等知识点，解题的关键是找出行走路线，然后求出各路线的长，最后作比较误区点拨1生搬硬套定理致错例1 在abc中，a，b，c的对边分别为a，b，c，且(a+b)(a-b)=c2，则（ ）aa为直角 bc为直角 cb为直角 d不是直角三角形错解：选b剖析：因为常见的直角三角形表示时，一般将直角标注为c，因而有同学就习惯性地认为c就一定表示直角，加之对本题所给条件的分析不缜密，导致错误该题中的条件应转化为a2-b2=c2，即a2=b2+c2，应根据这一公式进行判断正解：因为a2-b2=c2，所以a2=b2+c2，所以a为直角故选a2说明条件不充分例2 如图，在abc中，ad平分bac，bd=cd，deab，dfac，垂足为e、f说明：be=cf错解1：没说明de=df，就以此为条件在rtbde与rtcdf中，因为de=df，bd=cd，所以rtbdertcdf（hl）所以be=cf（全等三角形的对应边相等）错解2：没说明adbc，就以此为条件，说明abdacd，得ab=ac再由rtaedrtafd，得ae=af，从而得到：be=cf剖析：错解1中认为de=df，并直接作为条件应用，因而产生错误；错解2中，认为adbc，没有经过推理，而直接作为条件应用，因而也产生错误产生上述错误的原因是审题不清，没有根据题设，结合图形找证题方法，推论过程不符合全等的判定方法正解：因为ad平分bac，deab，dfac，所以de=df在rtbde与rtcdf中，所以rtbdertcdf（hl）所以be=cf跟踪训练1 在rtabc中，a、b、c分别是a、b、c、的对边,若a=90，则( )a a2+b2=c2 bb2+c2=a2 cc2+a2=b2 db+a=c2 以下列各组数据为边长、不能组成直角三角形的是( )aa=15，b=2，c=3 ba=7，b=24，c=25 图1ca=6，b=8，c=10 da=3，b=4，c=53下列作图语句中，正确的是（ ）a作等腰三角形底边上的高，使它平分底边b作等腰三角形底边上的高，使它平分顶角c作等腰三角形底边上的高，使它平分底边且平分顶角d作等腰三角形底边上的高，则高平分底边且平分顶角图24 一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为 5 如图1，已知abc中，ab=5 cm，bc=12 cm，ac=13 cm，那么ac边上的中线bd的长为 cm6如图2，pdab，peac，垂足分别为点d，e，且pd=pe，则apd与ape全等的理由是 课内练习：1、以下不能构成直角三角形三边长的数据是（）a、1，2 b、 c、9，12，15 d、6，7，82、下列条件中不能做出唯一直角三角形的是（）a、已知两直角边 b、已