余弦定理 余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理.doc

余弦定理 余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。该图中，a与b应互换位置 对于任意三角形 三边为a,b,c 三角为A,B,C 满足性质 a2=b2+c2-2*b*c*CosA b2=a2+c2-2*a*c*CosB c2=a2+b2-2*a*b*CosC CosC=(a2+b2-c2)/2ab CosB=(a2+c2-b2)/2ac CosA=(c2+b2-a2)/2bc 证明： 如图，有a+b=c cc=(a+b)(a+b) c2=aa+2ab+bbc2=a2+b2+2|a|b|Cos(-) 整理得到c2=a2+b2-2|a|b|Cos（注意：这里用到了三角函数公式） 再拆开，得c2=a2+b2-2*a*b*CosC 同理可证其他，而下面的CosC=(c2-b2-a2)/2ab就是将CosC移到左边表示一下。 - 平面几何证法： 在任意ABC中 做ADBC. C所对的边为c，B所对的边为b，A所对的边为a 则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c 根据勾股定理可得： AC2=AD2+DC2 b2=(sinB*c)2+(a-cosB*c)2 b2=sin2B*c2+a2+cos2B*c2-2ac*cosB b2=(sin2B+cos2B)*c2-2ac*cosB+a2 b2=c2+a2-2ac*cosB cosB=(c2+a2-b2)/2ac 从余弦定理和余弦函数的性质可以看出，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角一定是直角，如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角，如果大于第三边，那么第三边所对的角是锐角。即，利用余弦定理，可以判断三角形形状。同时，还可以用余弦定理求三角形边长取值范围。 注：a2；b2；c2就是a的2次方、b的2次方、c的2次方；a*b、a*c就是a乘b、a乘c 。特殊角0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360的正切值、正弦值、余弦值各为多少?0度正弦值0，余弦值1，正切值0。30度正弦值1/2，余弦值根3/2，正切值根3/3。45度正弦值根2/2，余弦值根2/2，正切值1。60度正弦值根3/2，余弦值1/2，正切值根3。90度正弦值1，余弦值0，正切值不存在。120度正弦值根3/2，余弦值-1/2，正切值-根3。135度正弦值根2/2，余弦值-根2/2，正切值-1。150度正弦值1/2，余弦值-根3/2，正切值-根3/3。180度正弦值0，余弦值-1，正切值0。270度正弦值-1，余弦值0，正切值不存在。360度正弦值余弦值正切值同0度【本讲教育信息】一. 教学内容：正余弦定理解三角形二. 重点、难点：已知三角形三边长及三个角，求其余相关的量。（1）高线（面积）（2）中线（余弦定理）（3）角分线（余弦定理或正弦定理）（4）面积（公式）（5）周长（6）外接圆半径（正弦定理）（7）内切圆半径（面积）【典型例题】例1 已知ABC中，求（1）角A；（2）高AH；（3）中线AD；（4）角平分线AE；（5）外接圆半径；（6）内切圆半径。解：（1）（2）（3）（4） （5）（6）例2 ABC中，求内切圆半径。解： （1）（2）例3 ABC中，求。解： 例4 ABC中，求ABC的最大角。解： 例5 在ABC中，求证：证明： 由正弦定理得 例6 在ABC中，角A、B、C所对的边分别是，若，求的长度。解： 于是或又 当时，；当时， 的长度为或例7 （06年辽宁卷）ABC的三内角A、B、C所对边的长分别为，设向量，若，则角C的大小为（ ） A. B. C. D. 解： 即根据余弦定理，得 所以选B例8 在ABC中，角A、B、C所对的边分别是（1）若三角形的面积，求C的度数；（2）若，且，求A的大小及的值。解：（1）由，得 ，得（2） 又 在ABC中，由余弦定理得 A=60在ABC中，由面积公式得 ，则例9 ABC的三边为，设，求证：。证明：=【模拟试题】（答题时间：60分钟）1. 在ABC中，B=45，则A等于（ ）A. 30B. 60C. 30或150D. 60或1202. 在ABC中，若，则ABC的形状是（ ）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形3. ABC中，那么（ ）A. B. C. D. 4. 在ABC中，由已知条件解三角形，其中有两解的是（ ）A. ，A=45，C=80B. ，B=60C. ，A=45D. ，A=1205. 在ABC中，已知，C=120，则的值为（ ）A. B. C. D. 6. 在ABC中，B=135，C=15，则此三角形的最大边长为 。7. ABC中，如果，A=30，边 。8. 在ABC中，化简（ ）A. B. C. D. 9. 在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30、60，则塔高为（ ）A. B. C. D. 10. 已知三角形的三边长分别为、，则三角形的最大内角是（ ）A. 135B. 120C. 60D. 9011. （06年山东卷）在ABC中，角A、B、C的对边分别为，则（ ）A. 1B. 2C. D. 12. 三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程的根，则另一边长为（ ）A. 52B. 16C. 4D. 13. （06年江苏卷，文11）在ABC中，已知BC=12，A=60，B=45，则AC= 。14. （06年北京卷，理12）在ABC中，若，则B的大小是 。15. 在ABC中，分别是角A、B、C的对边，且，（1）求C；（2）求A。16. 在ABC中，分别是A、B、C的对边，且（1）求角B的大小；（2）若，求的值；17. （06年全国卷II，文17）在ABC中，B=45，求：（1）BC=？（2）若点D是AB的中点，求中线CD的长度。【试题答案】1. D2. D3. D4. C5. C6. 7. 6或128. A9. A10. B11.