原子物理学作业 云南大学.doc

第一次作业1，证明：在 (氢核动能)0（核在动！）的条件下，用m（折合质量，Mp: 质子质量）代替（4），（5）式中的me，可得氢原子的定态能量和轨道半径满足： rn 2,对类氢粒子（核外只有一个电子的带电粒子），如：He（Z2）一次电离后He；Li（Z3）二次电离后 Li ；Be（Z4）三次电离后 Be 。证明：；rn 3, H有两个同位素（Z相同，质量数不同的一类元素），D（氘: 比氢核多一个中子）和T（氚: 比氢核多两个中子）。中子：MNMP，不带电荷。求：En=?；rn=?。1,分析: 氢核不动的条件下，才有Ek (原子的动能)Ek (电子动能)。但是，氢核不动是不合理的(因为有反作用力！)。为计算Ek (原子的动能)(氢核动能) (电子动能)，以原子的不动点rc(质心)基点。如图示:eme eMpFe-Fe rcrEk (原子的动能) ;由质心公式：rc及Vp= rcw; Ve= (r-rc)wEk=m（rw）2Ep(原子的势能)(仅和相对距离，r，有关)由关系得到: (1) Epm（rw）2，E(原子的总能量能)Ek+ Ep=m（rw）2 =(2)L(原子角动量)IpwNIewe=Mprc2w+ me(r-rc)2w由质心公式：rc,Lr2wm; 由定态条件：L r2wm n; w2n22/m2r4(3)(3)(1):r rn,rn(2):.得证！2,在题1中，Ep(原子的势能)，（N表示原子实）。同题1，可得：； rn 。3,和和(氢原子,）的区别：:M()=2Mpm()=:M()=3Mpm()=带入：，即得：；第二次作业答案：1.4、对于氢原子、一次电离的氦离子和两次电离的锂离子，分别计算它们的：（1）、第一、第二波尔轨道半径；（2）、电子在基态的结合能；（3）、第一激发电势及共振线的波长。分析与解答：（1）、因为： （2）、电子在基态的结合能=电子在基态的电离能 所以：（3）、共振线波长：() m-1, 可取 m-1, 所以： 所以：第一激发电势：（） 所以：1.8、处于激发态的原子在真空中以向前运动，同时发出谱线。发光强度将沿原子运动方向逐渐衰弱。若在相距1.5mm两点谱线强度之比为3.32:1，求激发态平均寿命和自发跃迁概率。分析与解答：自发辐射强度（：激发态平均寿命）时刻：时刻：（题给）所以：1.12、某一能级能够向能量比他低的两个能级发生自发跃迁，跃迁概率分别是和，问此能级的寿命是多长？ 分析与解答：（几率直接相加） （寿命倒数和相加）其中所以：1.13、证明H原子n轨道上电子运动速度为，其中称为精细结构常数（详见第三章）分析与解答： 1） 2）由： （电场力提供向心力）=所以：所以：，第三次作业答案：补充题：求无限深势阱中的定态能量和定态波函数。分析与解答：定态： (1)阱内：；二维：，设代入(1)阱内，用通除上式得：，独立变量，的函数之和为一常数，要求各函数分别为一常数。设；解得 由时，知；由时，知；（）；同理，；（）由得归一化后得：2.1求电子动能为10ev,10Mev时的德布罗意波长。由此推断，电子有可能稳定地处于原子系统中，而不能存在于原子核中。分析与解答：由l1=0.38 nm (V=10v), l2=0.00038 nm (V=107v) 原子尺寸：；轨道周长：即：在轨道内能容纳多个物质波波长，从而可能形成稳定结构（驻波）核尺寸：；轨道周长：即：在轨道内均不能容纳一个物质波波长，从而不可能形成稳定结构。2.2用激光冷却法可把原子冷至极低温度，试求原子在温度时的德布罗意波长。从物质结构的角度来考虑，这个长度大约是一个什么尺度？ 时，的热动能：，（微米尺寸）2.3 一个静止的原子发射的谱线，其波长不确定为。问该原子相应激发态的寿命是多大？分析与解答：而，所以：注：用“”表示“”的绝对值，又，所以：2.6 一粒子在无限深势阱中运动，已给，求归一化常数A。又若粒子在何处概率最大？分析与解答： 如果：概率密度：极值：，即即处，粒子出现的概率最大。2.8 求H原子1s态电子径向概率最大处的位置和距核平均位置r, 将结果与波尔理论作比较。分析与解答：1)、概率密度的最大位置（P54）：2)、距核的平均位置：3)、比较：对1s电子系统，n=1，玻尔理论，同量子力学的结果，但是平均值偏离2.9 氢原子的两个本征函数为及，a)、验证他们是归一化的，。b)、作中心反演，验明其宇称。c)、求出他们间的跃迁矩阵元，表明可以发生跃迁。分析与解答：a)、正交归一性验证：积分公式：归一性：（P54，P56）=1正交性：b)、，奇宇称，偶宇称c)、跃迁矩阵：而：，而所以：在和之间可以发生跃迁，跃迁偶极矩。第四次作业答案：3.2、已知Li原子光谱主线系最长波长为，锐线系和漫线系共同线系极限波长求Li原子第一激发电势和电离电势。4325453245356锐线系D l= -1主线系D l= 1漫线系D l= 1柏格曼系D l= 12S2P2D2F分析与解答：主线系：锐线系：漫线系： When n=2, (1)锐线系和漫线系共同线系极限波长： (2)1)、第一激发电势，由（1）得激发能量：，1.84V2)、电离电势：（从基态2sn = ）激发能量：，由：（1），由（2），。（J），3.3、 K原子共振线波长为766.5nm，主线系系限线波长258.8nm. 已知基态为4S，试求4S,4P能级的量子数亏损。分析与解答：主线系：，共振线， （1）线系极限： （2）由2）得：由1）得：3.7、不少原子核的自旋和磁矩是从光谱数据中求出的。氢原子超精细分裂值能精确计算。对1s态，。式中为1s波函数在r=0处之值，已知氢核I=1/2, 基态超精细裂距为，求氢核（质子）的和（有效数字三位）。分析与解答：1s态： ， 对对所以：裂距由 ； 代入得，=5.578， （）3.9、作出原子谱线超精细结构图。请按书中规格画出能级图、跃迁线及谱线相对位置图，并标明相对频率值。查p81（新书：P93）知：对：，故5，4，3，2 （分离为四个能级）对，故4，3 （分离为两个能级）对： = 62.5 =-937.5 =-1687.5 对， 基态裂距（由表3.4.1, P93，新书）=所以：E0E1所以：由选择定则： 共6条谱线。第五次作业答案4.1、以两个价电子为例，证明无论是耦合还是耦合，都给出相同数目的可能状态。分析与解答：（1）、设此两个价电子为非同科电子，且： 电子1：，电子2：，对单重态：; (共+1项) J =, 共+1项对三重态： ; (共+1项)对每一个L值，有三个J值，即：J =L+1, L, L-1。 所以：三重态共有：项单重态和三重态共有：耦合： 对 ，共+2项对 ，共项对 ，共+2项对 ，共项四种状态之和为项。 所以两种耦合状态数相同（2）、设此两个价电子为非同科电子，但是：（n不同）。 单重态：，共项三重态： 1，0，1 （其中，0，1项不存在）所以，共有项单重态和三重态共有：项耦合： 对 ，共+2项对 ，共项对 ，共项对 ，共项四种状态之和为项。 所以两种耦合状态数相同（3）、对同科电子，耦合的原子数量减少，的原子数量也减少，同样满足（1）、（2）的证明。4.2、 原子产生632.8激光的上能级属组态，下能级属组态。问这两种组态各有哪些耦合以及耦合的能级？又，从的（632.8激光的上能级）到能级，从跃迁选择定则来看，做多能产生多少条激光谱线。分析与解答：耦合：电子1（）：电子2（）：，下能级：电子1（3）： 电子2（）：单重态：，原子态：， 三重态：耦合：上能级: 下能级：； 共两条谱线说明：不能跃迁到，限制 不能跃迁到，限制4.9、用于紫外光电子能谱的放电光源可产生21.2以及40.8的紫外线，请指出产生这两种光的上下能级。分析与解答：21.2：2140.8：（一次电离）能量=24.47所以一个电子已经电离，（类氦离子） 时，所以，下能级， 上能级， （）不允许。第六次作业答案：