04第四篇 时空过程分析作业题.doc

研究生地理数学方法 第四篇 时空过程分析第四篇 时空过程分析1 证明题1）给定一个MA(1)过程的数学模型,.试证明其自协方差函数.【注意：不要采用课文的推导方法，需要另辟蹊径。】2）在协方差平稳的条件下，给定一个AR(1)过程,.其协方差可以表作.试从这个式子出发，证明Yule-Walker递推关系.【注意：不要采用课文中的证明方法，要另辟蹊径。提示：需要借助AR过程的性质、MA过程的性质，必要时将AR过程转化为MA过程。】3）一阶移动平均过程即MA(1)模型可以表作,式中xt表示可观测的现期数值，随机冲击t为白噪声. 由于MA(1)过程的平均值为0，故其协方差可以表作.式中E表示均值算子。试证明：（1）协方差为：.（2）自相关函数为：,（3）一阶自相关函数具有对称性：2 计算题1） 我们在第三章“多元统计分析”中曾经要求大家以某省连续18年的工业产值、农业产值、固定资产投资为自变量，运输业产值为因变量，进行多元回归和逐步回归分析（原始数据见作业2）。现在，我们进行如下回归计算： 分别以工业产值（x1）、农业产值（x2）、固定资产投资（x3）为自变量，以运输业产值（y）为因变量，进行一元线性回归。 以时间序号（t）为自变量，以固定资产投资额的倒数（1/y）为因变量，进行非线性回归。显然，结果为双曲线模型的一种。 以工业产值、农业产值、固定资产投资为自变量，以运输业产值为因变量，进行多元线性回归。全部回归的残差列于下表。序号x1-yx2-yx3-yt-1/y3 x-y10.15570.3250-0.8926-0.0037-0.314620.44390.4566-1.0274-0.0198-0.217630.81980.53600.3403-0.04280.632640.39680.34170.2418-0.03080.34725-0.42800.6597-0.20130.0367-0.34816-0.06780.42280.10180.00550.00837-0.20570.50500.33380.03150.034480.15200.13510.74860.01450.44809-0.2820-0.45590.32440.01010.017710-0.4377-0.74620.08080.0081-0.178211-0.1610-1.0575-0.32530.0156-0.194412-0.0430-0.90620.25520.01820.136713-0.0950-0.8139-0.49040.0121-0.251114-0.4891-1.0146-0.01610.0130-0.255815-0.8161-1.01980.10460.0022-0.4006160.59470.77080.3522-0.02700.4355170.22180.67660.1732-0.02100.1299180.24061.1851-0.1033-0.0224-0.0299DW1.36260.46731.19441.00711.8530要求： 对表中的残差序列进行自相关分析，观察结果是否为随机序列，抑或具有某种趋势性（由于时间序列较短，最大时滞可以设为10，即计算10个自相关系数值）。 将自回归结果与DW检验结果进行比较，由此可以得出什么结论？2）现有郑州市非农业人口的时间序列（19852000），见下表。要求： 分析该序列的性质，并指出郑州市规模自身影响的最大时程； 对序列进行平稳化处理，并检验处理结果； 基于平稳化处理结果建立ARMA(p, q)模型，并将模型返回为非线性形式。年份非农人口年份非农人口年份非农人口年份非农人口1985101.02 1989113.28 1993123.231997143.181986102.19 1990115.97 1994132.371998146.511987106.50 1991118.02 1995135.951999151.541988111.08 1992119.99 1996138.822000159.47资料来源：河南城市统计年鉴。3）下面是武汉市户籍人口的时间序列（19852002），要求： 分析该序列的自相关和偏自相关特征，指出序列的主要特性（AR过程抑或MA过程）； 建立自回归模型，并利用模型进行人口预测； 利用回归分析一章的知识建立Logistic预测模型（根据拟合优度的变化搜索模型的包和参数），将预测结果与自回归模型的预测结果进行比较分析。 利用多元非线性自回归的方法估计Logistic模型的人口饱和值，并将结果与基于最佳拟合优度搜索方法得到的结果相比较，看看二者的近似程度。年份人口年份人口年份人口198560839251991677031219977239017198661995531992684464519987317907198762933981993691692319997401993198864172361994700005020007491943198965325631995710010020017582259199066974581996715941420027680958资料来源：武汉市公安局，由北京大学城市与环境学院冯健副教授提供。4）详细的周期图分析。计算周期图，检测隐周期。（1）某水文观测站测得一条河流断面的月平均流量，时间是从1972年6月到1973年5月共计一年。要求： 试根据表中数据作出该河流径流量变化的周期图，并指出可能存在的周期。 基于最小二乘法进行多元回归，并将回归系数与直接计算结果进行对照。月序123456789101112月径流量2693391892411601056848.738.341119176资料来源：陈俊合等，1996。月序从头年6月到次年5月依次排列。（2）河北省某交观测站记录的1992年交通量月变系数。要求同上。表4 河北省某交观测站记录的交通量月变系数月份1234567891011121992年1.40532.11951.01280.86080.86511.01860.94690.92150.88960.94790.8750.9561资料来源：王炜等，2001。5）北京市2004年的气候数据见下表，借助周期图判断是否存在12月的周期。月份平均气温（C）平均相对湿度（%）降水量（mm）日照时数（h）1月-2.3 36 0.7 194.7 2月2.9 34 8.8 213.5 3月7.8 32 0.1 243.6 4月16.3 40 37.2 248.2 5月20.5 44 39.1 253.3 6月24.9 54 69.6 202.0 7月26.0 67 182.0 203.2 8月24.9 65 50.7 187.4 9月21.2 60 74.2 198.9 10月14.0 54 9.9 225.2 11月6.4 48 8.0 201.4 12月-0.5 56 3.2 144.0 资料来源：中国统计年鉴。6）现有广州市连续9年的降水资料。要求： 绘制样本路径的变化曲线，考察降水的变化是否存在某种节律。 对数据进行自相关分析，结论如何？ 对数据进行功率谱分析，是否存在周期。【提示：其实不进行功率谱分析就可以想象得到，城市降水肯定具有年际变化规律，即12月为一个周期。问题在于如何计算和怎样判断这里仅仅是一个方法的练习和计算的体验】月份1996年1997年1998年1999年2000年2001年2002年2003年2004年115.765.973.233.610.667.344.033.159.9245.8105.6112.00.029.785.75.47.654.13105.359.640.861.827.792.594.165.141.14112.4197.1245.3116.8418.7274.533.759.7173.65320.6165.6305.9152.3202.9406.1311.5189.4347.56273.1468.6369.8151.9197.4478.8238.1329.8259.37276.8248.4223.1176.3288.9415.4326.061.0326.08378.8282.4120.7491.5185.0382.3298.8189.0226.59151.6203.6164.8273.356.7335.4299.9367.7132.7100.4142.648.340.1304.337.1128.83.28.1110.19.722.425.734.019.736.530.96.4122.848.89.853.943.084.148.91.71.3资料来源：中国统计年鉴，199720057）现有1998-2003年来华旅游人数数据资料。要求： 绘制样本路径的变化曲线，考察来华旅游人数的变化是否存在某种节律。 对数据进行自相关分析，结论如何？ 从中提取前面64个数据点进行功率谱分析，结论如何？ 剔除趋势以后，对残差或者差分进行功率谱分析，结论如何？【提示：原始数据序列的功率谱分析显示某种自相关，剔除趋势以后的数据则显示出明确的季节变化。】月份1998年1999年2000年2001年2002年2003年1月5082465545939564504047173960740699685334972月4367868553759560701796116213711044773760023月4918927559385466357877538078839543578513984月5757916642138374708207798533807767356491605月5149727581581167435027080126787919554359576月4899486585837667316467119570795773465260177月5391320626375974354467454504849369377694338月5760685640217075735498093024890682888439559月51251185903249712275774132307904196807580710月57087316499834725143675776848695737854986011月54248446469836696361374971038419098828418012月5891314657033269947428150899866122087668168）利用杭州市2000年人口密度分布数据进行空间自相关分析和波谱分析。波谱分析对象包括原始数据和自相关系数。要求： 指出人口密度的空间变化是否存在节律，为什么？ 指出人口分布影响的有效半径（当然是对于2000年的杭州而言）。到市中心的距离x人口密度y到市中心的距离x人口密度y0.3281848.131530.9268218.726831.5246219.323542.1231769.920282.71891010.518283.31960111.116513.91694511.715814.51082912.314905.1728212.914655.7620013.512786.3564414.110336.9429714.79587.5380615.3882资料来源：冯健，2002。*9）现有北京市、天津市1949年到1998年50年的非农业人口时间序列，该序列明显具有一定的趋势性。提取趋势以后，时间序列似乎存在某种周期变化规律（数据以Excel格式给出，见附表）。要求： 分别就北京和天津进行时间序列的自相关分析和功率谱分析，指出其人口变化是否具有某种隐含的周期规律，周期大约为多少？ 对京、津人口序列进行互相关分析和互功率谱分析，指出相互影响的最大时程。10）在本章的第一节我们就曾讨论，现实中的时间序列通常是由多种不同性质的序列以某种方式“合成”的。在合成的数据成分中，可能隐含着一定的周期规律，揭示这种隐含的周期对寻找地理系统演化的内在节律、解释其因果关系（如太阳黑子对地球的影响）以及进行发展预测（如预测中国洪灾发生的时间）具有重要的理论意义和实践价值。我们知道，谱分析的主要功能之一就是揭示时间序列的周期特征。为了说明这个问题，我们可以对模拟数据进行功率谱分