第一轮复习第十三课--抽象函数与函数的周期性

第十三课抽象函数与函数的周期性一、函数的周期性1.定义：当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)，(T0),则说函数f(x)是周期函数，T是它的周期； 同时kT(kz,且k0)也是f(x)的周期2.若函数f(x)满足f(x+a)=f(x+b),(ab),则f(x)是以T=a-b为周期的周期函数； 3.若f(x+a)=-f(x),则f(x)是以T2a为周期的周期函数4.若则f(x)是以T=2a为周期的周期函数 5.若f(x)满足, 则f(x)是以T2a为周期的周期函数 6.若函数f(x)图象关于直线x=a对称即f(a+x)=f(a-x),又关于直线x=b对称即f(b+x)=f(b-x)(ab),则f(x)是以T=2a-2b为周期的周期函数7.若函数f(x)的图像关于点M(a,0)和点N(b,0)都成中心对称，则f(x)是以T=2(a-b)为周期的周期函数. 如f(x)=sinx点O(0,0)和点(,0)对称, 它的周期为2(-0)= 28.若函数f(x)图象关于直线x=a对称即f(x)=f(2a-x),又关于点M(b,0)对称,即f(x)+f(2b-x)=0,则f(x)是以T=4(a-b)为周期的周期函数如f(x)=sinx关于x=/2对称，又关于点O(0,0)对称，它的周期为4(/2-0)= 29.熟记函数y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=Asin(x+)的周期.二、练习题1.已知函数满足：若f(x+a)=-f(x)(a0)对任意的实数x都成立,求证：f(x)是以T2a为周期的周期函数；2. 已知函数f(x)满足:f(2+x)=f(2-x)对xR均成立，且f(x)为偶函数,求证f(x)是周期函数.3. 已知偶函数y=f(x)的周期为4，求证：函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称4.设f(x)是定义在R上的以2为周期的周期函数，对kZ,用Ik表示区间(2k-1,2k+1.已知当xI0时，f(x)=x2,求f(x)在Ik上的解析式.三、抽象函数：是指只给出函数的一些性质，而没有给出解析式的一类函数1.若函数f(x)满足f(x)+f(y)=f(x+y),则此函数可以是f(x)=kx; 2.若函数f(x)满足f(x)+f(y)=f(x+y)m,则此函数可以是f(x)=kx+b; 3.若函数f(x)的定义域为(0,+)且满足f(x)+f(y)=f(xy),则此函数可以是f(x)=logax; 另：对数函数也可这样给出：f(x)-f(y)=f(x/y)4.若函数f(x)满足f(x)f(y)=f(x+y), 则此函数可以是f(x)=ax 另：对数函数也可这样给出：f(x)/f(y)=f(x-y)5.若函数f(x)满足f(x) f(y)=f(xy), 则此函数可以是f(x)=xn.四、练习题二：5.已知f(x)对任意的实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y),（1）求证f(x)是奇函数;(2)若f(-3)=a,求f(24);（3）若x0时，f(x)1时，f(x)0;(1)证明f(1)=0;(2)求证:f(x/y)=f(x)-f(y);（3）求f(4)的值；(4)若f(x)+f(x-3)2,求x的取值范围.7.已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x)0，f(1)=2,x0时，f(x)1，且对任意实数x,都有f(x)f(y)=f(x+y),解不等式f(x2)f(4x-2)88.对于任意的非零实数x,y,已知函数y=f(x)(x0)满足f(xy)=f(x)+f(y).(1)求证：f(1)=f(-1)=0;(2)求证函数y=f(x)为偶函数；(3)若函数y=f(x)在(0,+)上是增函数，解不等式f(x)+f(x-1/2)0(4)如果f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)3,且f(x)在(0,+)上是增函数，求x的取值范围9.函数对一切实数，均有成立，且，（1）求的值；（2）对任意的，都有成立时，求的取值范围10.已知函数对任意有，当时，求不等