高中数学 探究导学课型 第一章 集合与函数的概念 1.3.1 单调性与最大（小）值 第1课时 函数的单调性课件 新人教版必修1.ppt

1 3函数的基本性质1 3 1单调性与最大 小 值第1课时函数的单调性 自主预习 主题1 增函数1 观察下列两个图象 从图形上看 它们有什么共同特征 提示 从图形上看 它们的图象都是上升的 2 上述特征能否用数量间的关系来体现 试着填下表 2 3 4 5 7 8 9 1 4 9 16 36 49 64 通过对应值表你发现了什么 用文字语言描述 当自变量x的值增大时 对应的函数值y也随着 用符号语言描述 增大 x1 x2时 f x1 f x2 增函数的定义 如果对于定义域i内某个区间d上的任意 两个自变量的值x1 x2 当x1 x2时 都有f x1 f x2 那么就说函数f x 在区间d上是增函数 主题2 减函数观察下列两个函数图象 类比增函数的认知 探究过程完成下面填空 0 1 2 3 4 5 6 7 1 用文字语言描述 当自变量x的值增大时 对应的函数值y逐渐 用符号语言描述 减小 x1f x2 减函数的定义 如果对于定义域i内某个区间d上的任意 两个自变量的值x1 x2 当x1f x2 那么就说函数f x 在区间d上是减函数 单调性 如果函数y f x 在区间d上是 那么就说函数y f x 在这一区间具有 严格的 单调性 区间d叫做y f x 的 增函数或减函数 单调区间 深度思考 结合教材p29例2 你认为怎样判断函数的单调性 第一步 取值 第二步 作差变形 第三步 判断符号 第四步 下结论 任取x1 x2 d且x1 x2 作差f x2 f x1 并对其变形 确定f x2 f x1 的符号 根据单调性的定义下结论 预习小测 1 函数y f x 的图象如图所示 其增区间是 a 4 4 b 4 3 1 4 c 3 1 d 3 4 解析 选c 由图可知增区间为 3 1 2 已知 a b 是函数y f x 的单调增区间 且x1 x2 a b 若x1f x2 d 以上都正确 解析 选a 根据函数单调性的定义可得正确答案 备选训练 1 已知函数f x 在 5 6 上单调 且f 2 f 3 则f x 在 5 6 上 a 单调递增b 单调递减c 在 5 3 上单调递减 在 3 6 上单调递增d 无法判断 解析 选b 因为f x 在 5 6 上单调 而2f 3 故f x 在 5 6 上单调递减 2 函数y f x 的图象如图 根据图象函数y f x 的增区间为 减区间为 解析 由图象可知函数y f x 的增区间为 1 0 1 2 减区间为 2 1 0 1 答案 1 0 1 2 2 1 0 1 3 已知函数f x 则f 1 与f 2 的大小关系为f 1 f 2 解析 因为函数f x 在 0 上为减函数 所以f 1 f 2 答案 4 证明函数f x x 0 是减函数 仿照教材p29例2的解析过程 证明 设x1 x2 0 且x10 又x10 则 0 所以f x1 f x2 0 即f x1 f x2 故f x 在 0 上是减函数 互动探究 1 如果在函数y f x 中有f 1 f 2 能否得到函数为增函数 提示 不能 函数单调性的定义中任取x1 x2 当x1 x2时 f x1 f x2 则函数y f x 为增函数 而1和2只是定义域上的两个特殊值 不能说明对任意的x1 x2 都有f x1 f x2 所以由f 1 f 2 得不到函数为增函数 2 若函数y f x 在d上是减函数 d1 d 则y f x 在d1上是什么函数 提示 减函数 3 在函数增减性的定义中 x1 x2的符号与f x1 f x2 的符号之间有什么关系 提示 当函数是增函数时 x1 x2与f x1 f x2 的符号相同 当函数是减函数时 x1 x2与f x1 f x2 的符号相反 探究总结 知识归纳 方法总结 1 函数y f x 与y f x 的单调性相反 2 当c 0时 函数y f x 与y cf x 的单调性相同 当c 0时 函数y f x 与y cf x 的单调性相反 3 当函数y f x 恒为正或恒为负时 y f x 与y 的单调性相反 4 函数y f x 与函数y f x c的单调性相同 5 函数f x 和g x 都为增 减 函数 则函数f x g x 亦为增 减 函数 注意事项 1 单调区间必须是函数定义域的子集 2 若函数f x 在其定义域内的两个区间a b上都是增 减 函数 一般不能简单认为f x 在a b上是增 减 函数 3 函数的单调区间的书写 只要在端点处有定义 用开区间或闭区间都可以 但若在端点处无定义 必须用开区间表示 题型探究 类型一 求函数的单调区间 典例1 2016 成都高一检测 设函数f x 画出函数f x 的图象 并指出函数的定义域 值域 单调区间 解题指南 分别在同一坐标系内作出二次函数y x2 4x 3及一次函数y x 3的图象 然后分别截取在区间 4 0 及 0 上的部分 即得到f x 的图象 再由图象得出函数的定义域 值域 单调区间 解析 图象如图所示 由图象可知 函数的定义域 4 值域 3 单调增区间 2 0 单调减区间 4 2 0 规律总结 求函数单调区间的三种方法方法一 转化为已知的基本初等函数 如一次函数 二次函数等 的单调性判断 方法二 定义法 即先求出定义域 再利用单调性的定义进行判断求解 方法三 图象法 即先画出图象 根据图象求单调区间 巩固训练 1 f x 的单调递减区间为 解析 f x 的定义域为 1 1 任取x1 x2 1 且x10 所以f x1 f x2 1 为f x 的单调递减区间 同理 1 为f x 的单调递减区间 答案 1 1 2 作出函数f x 的图象 并指出函数的单调区间 解析 f x 的图象如图所示 由图可知 函数的单调减区间为 1 和 1 2 单调增区间为 2 类型二 函数单调性的证明 典例2 2016 佛山高一检测 讨论函数f x a 0 在 1 1 上的单调性 解题指南 利用单调性的定义作差变形后讨论差的符号 从而得出f x 的单调性 解析 设 10 x1x2 1 0 x12 1 x22 1 0 又a 0 所以f x1 f x2 0 即f x1 f x2 所以f x 在 1 1 上为减函数 规律总结 利用定义证明函数单调性时的变形技巧 1 因式分解 当原函数是多项式函数时 常进行因式分解 2 通分 当原函数是分式函数时 作差后通分 然后对分子进行因式分解 3 分子有理化 当原函数是根式函数时 作差后往往考虑分子有理化 巩固训练 2016 浏阳高一检测 已知函数f x x 且此函数图象过点 1 5 1 求实数m的值 2 判断函数f x 在 0 2 上的单调性 并用定义证明你的结论 解题指南 1 把 1 5 代入函数f x 可求得m的值 2 函数在 0 2 上单调递减 可利用单调性的定义证明 解析 1 把 1 5 代入函数f x 得f 1 1 m 5 解得m 4 2 函数在 0 2 上单调递减 证明如下 任取0f x2 所以函数在 0 2 上单调递减 类型三 函数单调性的应用 典例3 2016 葫芦岛高一检测 若函数y 在 1 上单调递增 求a的取值范围 解题指南 将y 化为y a 再由增减性确定a的范围 解析 因为y 又y a 在 1 上单调递增 所以a 0 即a的取值范围是a 0 延伸探究 1 变换条件 若加上条件 y a 2 x在 1 上也是增函数 求a的取值范围 解析 由函数y a 2 x在 1 上单调递增得 a 20 综上0 a 2 2 变换条件 若条件改为f x 在r上为增函数 求a的取值范围 解析 由y a 2 x在 1 上递增 则a 20 又f x 在r上为增函数 所以还需 a 2 1 得a 综上a的取值范围是 a 2 规律总结 函数单调性应用的两个关注点 1 单调性的定义的 双向性 利用定义可以判断 证明函数的单调性 反过来 若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围 2 若一个函数在区间 a b 上是单调的 则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的 巩固训练 已知函数f x ax2 2x 2 1 若f x 的单调减区间为 4 求a的取值范围 2 若f x 在区间 4 上为减函数 求a的取值范围 解析 1 由题意知 2 由f x 在区间 4 上为减函数 说明 4 只是函数f x 的一个减区间 当a 0时 f x 2x 2在 4 上单调递减 故成立 当a 0时 由得0 a 综上可知0 a 拓展类型 抽象函数的单调性 典例 已知定义在 0 上的函数f x 对任意x y 0 恒有f xy f x f y 且当00 判断f x 在 0 上的单调性 解题指南 根据单调性的定义 将f x1 f x2 转化为再根据f xy f x f y 判断f x1 f x2 的符号 解析 设x1 x2 0 且x10 所以f x1 f x2 0 即f x1 f x2 所以f x 在 0 上单调递减 规律