不定积分概念与性质课件.ppt

第五章不定积分本章的教学基本要求是 1 理解原函数和不定积分的定义 掌握原函数和不定积分的性质 2 熟练掌握不定积分的基本公式及凑微分法 3 熟练掌握不定积分的换元积分法和分部积分法 一 原函数与不定积分的概念 四 不定积分的性质 三 基本积分表 五 小结 第一节不定积分的概念与性质 二 不定积分的几何意义 例 定义 一 原函数与不定积分的概念 primitivefunction 定义 原函数存在定理 简言之 连续函数一定有原函数 问题 1 原函数是否唯一 例 为任意常数 2 若不唯一它们之间有什么联系 定理 关于原函数的说明 1 若 则对于任意常数 2 若和都是的原函数 则 为任意常数 证 为任意常数 不定积分 indefiniteintegral 的定义 定义 原函数 例1求 解 解 例2求 例3某商品的边际成本为 求总成 解 其中为任意常数 本函数 二 不定积分的几何意义 显然 求不定积分得到一积分曲线族 在同一横坐标 处 任一曲线的切线有相同的斜率 0 x y 实例 启示 能否根据求导公式得出积分公式 结论 既然积分运算和微分运算是互逆的 因此可以根据求导公式得出积分公式 三 基本积分表 基本积分表 是常数 说明 基本积分表导数基本公式 0dx cC 0 C为常数 xndx xn 1 n 1 c xn nxn 1 1 xdx ln x c lnx 1 x axdx ax lna c ax axlna exdx ex c ex ex cosxdx sinx c sinx cosx sinxdx cosx c cosx sinx sec2xdx tanx c tanx sec2x csc2xdx cotx c cotx csc2x secx tanxdx secx c secx secx tanx cscx cotxdx cscx c cscx cscx cotx 1 1 x2 1 2dx arcsinx c arcsinx 1 1 x2 1 2 1 1 x2 dx arctanx c arctanx 1 1 x2 例4求积分 解 证 等式成立 此性质可推广到有限多个函数之和的情况 四 不定积分的性质 2020 1 28 19 可编辑 例5求积分 解 求不定积分的方法 1 直接积分法 2 第一类换元法 3 第二类换元法 4 分部积分法 直接积分法根据不定积分的性质和基本积分公式 对于一些比较简单的函数的不定积分可以直接求出结果 或者只需经过简单的恒等变换 再辅以积分的法则 就可按基本公式求出结果 这样的积分方法 叫做直接积分法 该方法主要把被积函数变换成基本积分公式中的被积函数的形式 例6求积分 解 例7求积分 解 例8求积分 解 说明 以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形 才能使用基本积分表 化积分为代数和的积分 解 所求曲线方程为 3 基本积分表 1 13 5 不定积分的性质 1 原函数的概念 2 不定积分的概念 4 求微分与求积分的互逆关系 五 小结 基本积分表 是常数