数学建模：论车辆的停止距离问题.doc

数学建模期中论文题目：论车辆的停止距离问题姓 名：专业班级：学 号:指导教师：日 期：论车辆的停止距离问题 情景 正常的驾驶条件对车与车之间的跟随距离的要求是每10英里的速率可以允许一辆车的长度的跟随距离，但是在不利的天气或道路条件下要有更长的跟随距离。做到这点的一种方法就是利用2秒法则，这种方法不管车速为多少，都能测量出正确的跟随距离。看着你面前的汽车刚刚驶过的一个高速公路上涂油柏油的地区或立交桥的影子那样的固定点。然后默数“一千零一，一千零二”，这就是2秒。如果你在默数完这句话前到达这个记号，那么你的车和前面的车靠的太近了。【1】背景和问题的分析 上述的方法做起来很容易，但是，它只是一个粗略的、模糊的判断，而且在一些意外情况它是没用的。我们需要是用更多的细节并清楚地解决和说明问题，这时我们需要对它做一个科学的数学分析和数学建模来应对各种可能的问题。识别问题 预测作为车辆速度的函数的总的停止距离。假设和变量 首先对此问题提出总模型：总的停止距离=反应距离+刹车距离反应距离：从司机意识到要停车的时刻到正真刹车的时刻所走过的距离。刹车距离：刹车后使车完全停下来所滑行的距离然后对反应距离和刹车距离各研究一个子模型。反应距离是许多变量的函数，其中反应时间和速度上最主要的两个因素，所以可设：反应距离=f（反应时间，速度）。刹车距离也是许多变量的函数，其中影响最大的是车辆的重量和速度，所以可设：刹车距离=h（重量，速度）。然后我们开始确定研究中的变量之间的相互关系。首先，规定自变量的符号:d总停止距离,dr 反应距离，tr反应时间， db刹车距离，v速度，F刹车力，m质量。假设从司机决定需要停车到刹车起作用的时间里车辆继续以常速行驶，在这个假设下，反应距离dr只是反应时间tr和速度v的乘积:反应距离dr=trv。而在一般情况下，每个人对此的反应时间应该是相差不多的。所以，可以近似的看作是一个常数，则反应距离drv。可设dr=k1v。假定司机是慌慌张张地停车，而且在整个停车过程中作用的是最大的刹车力F。刹车力作用在车辆上减小车的动能等于刹车力做的功，于是：所做的功=F db=1/2*mv*v。然而，不管什么车，在设计时都有一个标准，为了安全，不管车的重量是多少，当作用上最大的刹车力时，最大的速度是不变的，因此由牛顿第二定律F=ma知道F和质量呈正比例关系，所以结合上式可得：db=k2v2。检验模型 对于上述模型，我们可以用美国公路局提供的有关数据（表1）来检验子模型。表1 观察到的反应距离和刹车距离速度（英里/小时）反应距离（英尺）刹车距离（英尺）总的停车距离（英尺）20221822（20）4044（42）25282531（28）5359（56）30333645（40.5）6978（73.5）35394758（52.5）8697（91.5）40446480（72）108142（116）455082103（92）132153（142.5）5055105131（118）160186（173）5561132165（148）193226（209）6066162202（182）228268（248）6572196245（220.5）268317（292.5）7077327295（266）314372（343）7583283353（318）366436（401）8088334418（376）422506（464）利用表1，我们可以画出司机反映距离对速度的图形，如图1所示，这个图形是一条经过原点的直线。取直线上的两点，即可计算出它的斜率，k1=（83-33）/(75-30)=50/451.1,即：dr=1.1v。然后检验刹车距离的子模型。首先画出表1记录的观察到的刹车距离对v的平方的图形，如图2所示。图1反应距离和速度的比例性 图2刹车距离和速度平方的关系图然后，我们需要求k2，求k2需要用图形为数据拟合模型。图2中的每个点可以看成一个区间，以正负偏差、误差值4%设置数据的格式，如图3所示。对数据图形地拟合一条直线，估计其斜率：k2=266/490=0.054，即db=0.054v2。图3刹车距离和速度平方的比例性 由上述司机反映距离和刹车距离的模型可得总停止距离d的模型：d=1.1v+0.054v2。把总停车距离的模型和表1中记录的实际观察到的停止距离都画出来，如图4所示。图4 总停止距离图中圆形表示的是模型预测的数据，方形表示的是观察数据。考虑到假设的粗糙性以及数据的不精确性，该