函 导 数 纵 横 谈.doc

Http:/ 函 导 数 纵 横 谈 江苏省启东中学 张杰 正如任何一部小说中“爱情是永恒的主题”那样， 函数与导数也是中学数学中最重要的主干知识，其观点及其思想方法，贯穿整个高中数学教学的全过程。新课标的考试大纲对函数与导数的考查内容及要求除了理科多了“能求简单的复合函数（仅限于形如f(ax+b)的复合函数）的导数”及“.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念。.了解微积分的基本定理的含义。”外(江苏已对定积分不作要求)，其余要求文理两科相同。因此，历年来高考对本专题考查涉及到所有题型（选择，填空，解答）。除了单独考查函数与导数的题目外，往往在每个题目上涉及函数与其他内容的综合考查。在解答题方面，函数与导数往往作为压轴题出现。 题型一 函数的单调性与值域 函数单调性的证明方法主要有两种:定义法和导数法, 定义法就是利用增减函数的定义证明,在证明过程中,把数式的大小比较转化为求差比较(或求商比较);导数法就是利用函数单调性与可导函数的正负性关系证明。定义法是基本方法,常用来证明解决抽象函数或不易求导的函数的单调性,而用导数方法证明一般函数单调性是很便捷的方法.利用函数的单调性,可解决下列问题: (1) 比较大小:即比较自变量值或函数值的大小; (2)解方程与不等式,特别是有关含参不等式问题; (3)求函数的值域、极值、最值.例1.已知函数，函数 ,若存在，使得成立，则实数的取值范围是 . 解题分析:本题从逻辑角度来看,它是一个存在性命题,若记函数的值域为,的值域,则它们之间满足,因此,本题可转化为求两函数的值域问题,再利用不等式求参数的取值范围.规范解答:当时,是单调递减的一次函数,得,当时,因,为单调增函数, 得,综上所述,时, ;当时,又,故为单调增函数, 得,因的值域与的值域之间满足,故利用求补法,若,则或,解之得或,从而满足题意的实数的取值范围是.探讨之一: 本题中函数是分式函数,也可用定义法证明其在区间上为单调增函数.设,得,所以在区间上为单调增函数.利用定义法证明函数单调性时,一定要通过因式分解的方法,将其分解成积的形式,再观察各式正负,其中配方法是判断其式是否为正的最佳方法.探讨之二: 本题利用求补法求实数的取值范围,也可直接求解,即由可知或得或,得之.探讨之三:若将本题条件 “若存在，使得成立” 改为 “若对于任意的,总存在, 使得成立”,则实数的取值范围又是多少? 解析: 由条件得集合,从而,解之得.探讨之四:能否将本题条件 “若存在，使得成立” 改为 “若对于任意的,总存在, 使得成立”? 解析: 由条件得集合,从而,解之得,所以不能如此改编.探讨之五: 设函数的定义域为，若满足：在内是单调函数；存在区间，使得在上的值域也为，则称为闭函数试判断函数和是否为闭函数. 解析: 对于,虽然当时, ,满足条件,但它不满足条件,故不是闭函数; 对于,因其定义域为R, 它不是单调函数,在上也不是闭函数. 思考题1: 若是闭函数，则的取值范围是 . 解析:定义域为,显然函数是单调增函数,又设存在区间,使, 则有和,即方程有两解,从而,利用数形结合的方法得.题型二 函数的奇偶性与周期性例2图判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，它是否关于原点对称;其次要考虑与之间的关系,即是否满足;还要牢记奇偶函数的图象特征，即奇函数的图象关于原点对称,若奇函数的定义域中含有0,则,图象必过原点,偶函数的图象关于轴对称. 判断一个函数是否是周期函数要抓住两点：一是对定义域中任意的恒有; 二是能找到适合这一等式的非零常数，一般来说，周期函数的定义域均为无限集。例2.已知函数.（1）试判断的奇偶性并给予证明；（2）右图给出的是与函数相关的一个程序框图，试构造一个公差不为零的等差数列，使得该程序能正常运行且输出的结果恰好为0.请说明你的理由.解题分析:本题中给出的函数含有绝对值运算,应根据函数定义域,先化掉绝对值,再研究其奇偶性;本题所给程序框图表示函数值的前10项之和为0, 即,由（1）知函数是奇函数，而奇函数的图像关于原点对称，故利用等差数列的性质，只需等差数列满足：且即可.规范解答:（1）由得，则，任取，都有，则该函数为奇函数.(2)由程序框图知，公差不为零的等差数列要满足条件，不妨设对应的点尽可能的接近原点.如取，存在满足条件的一个等差数列可以是.探讨之一.在上述构造过程中,若设，则的取值范围是 .解析:若，可得,而由题意，须（）同理，若，则须.综上所述, 的取值范围是.探讨之二.在本题(2)中, “数列是等差数列” 是满足“该程序能正常运行且输出的结果恰好为0”的充分必要条件吗? 解析:否. 它是充分不必要条件.根据上述解法可知,当“数列是等差数列”时,能满足“该程序能正常运行且输出的结果恰好为0”,即它是充分条件,反之,若“该程序能正常运行且输出的结果恰好为0”,则数列不一定是等差数列.如数列的通项为,其中,则由,可得,同理,说明此数列也满足题意.探讨之三. 已知函数对于任意实数满足条件,且,则= 解析: 由条件得,所以函数是周期为6的函数,从而,从而.思考题2:定义在上的偶函数满足，且在上是增函数，下面五个关于的命题中：是周期函数；图像关于对称；在上是增函数；在上为减函数；，正确命题的序号是 . 解析: 由条件得,所以是周期为2的函数,命题正确;因,所以命题正确;因在上是增函数,且为偶函数,故在上是减函数, 命题错误;因周期为2, 故在上是增函数, 且,命题错误, 命题正确.综上所述, 正确命题的序号是.题型三 函数中的数形结合思想数形结合既是一个重要的数学思想，也是一种常用的解题策略。一方面，许多数量关系的抽象概念和解析式，若赋予几何意义，往往变得非常直观形象；另一方面，一些图形的属性又可通过数量关系的研究，使得图形的性质更丰富、更精准、更深刻。这种“数”与“形”的相互转换，相互渗透，不仅可以使一些题目的解决简捷明快，同时还可大大开拓我们的解题思路。可以这样说，数形结合不仅是探求思路的“慧眼”，而且是深化思维的有力“杠杆”。例3. 我们把形如的函数因其图像类似于汉字“囧”字，故生动地称为“囧函数”，并把其与轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，以“囧点”为圆心凡是与“囧函数”有公共点的圆，皆称之为“囧圆”，则当，时，所有的“囧圆”中，面积的最小值为_.解题分析: 根据题意可知, “囧函数”是一个偶函数,当时,它的表达式化为,其图象是由双曲线向右平移个单位得到的;当时,于是“囧点”为,以此点为圆心作出“囧圆”，而当“囧圆”半径最小时,其面积的最小值,因此关键是如何确定其半径.例3-图(1)规范解答: 当，时, 如图(1)所示,“囧函数”的解析式为,从而“囧点”为(0,1),它到点(0,-1)的距离为2,而到第一象限的图象上的点的距离为,记得,令得,因式分解得,从而,负值去掉,所以当时,此时有最小值3,即,从而“囧圆”中，面积的最小值为.探究之一:本题求最值,利用的是求导方法,令其导数为零时,出现四次方程,其解法比较特殊,在因式分解时,具有一定的技巧,如改用换元法,则显得简洁些. 解析: 记“囧函数” 在第一象限内的点横坐标为,其中,则,从而,所以当, 得, 即,时有最小值,从而“囧圆”中，面积的最小值为.探究之二: 欲求“囧点”(0,1)到“囧函数” 在第一象限内的图象上的点的最小距离,可转化为求“囧点”(0,1)到“囧函数”的切线的最小距离,即切点恰好是垂足.解析:“囧函数” 在第一象限内可化为,得,设切点坐标为,则切线方程为,而“囧点”(0,1)与切点连线的斜率为,从而由得之.(以下同原题解析).探究之三:对于理科考生而言,学习了“矩阵与变换”后,还能用变换的方法化归后进行计算,也很简洁.解析:首先通过平移变换,将 P(0,1)和双曲线都向左平移一个单位长度得 P(-1,1)和,再将它们作旋转变换,顺时针旋转,转化为点P和,从而点P到双曲线上的点的距离为=,所以“囧圆”半径的最小值为,“囧圆” 面积的最小值为.例3-图(2)探究之四:如果将关于轴对称的点称为“偶点对”(轴上的点除外), 试讨论“囧圆”半径与“偶点对”个数之间的关系.解析:,由原题解析可知,当时,有1个“偶点对”; 当时,有2个“偶点对”(如图(2)所示); 当时,有3个“偶点对”.思考题3图思考题3:若直角坐标平面内两点P、Q满足条件：P、Q都在函数的图象上；P、Q关于原点对称，则称点对（P，Q）是函数的一个“友好点对”（点对（P，Q）与（Q，P）看作同一个“友好点对”）.已知函数则的“友好点对”有 个.解析: 根据题意,将函数的图象绕原点旋转后,得解析式为,再作出函数的图象,如图所示,因的顶点为(1,1),而,故两函数与的图象相交于两点,根据题意得的“友好点对”有2个.题型四 函数的应用问题 函数应用题，就是以函数知识为背景设计，所涉及的函数主要是一次函数，反比例函数，二次函数、分段函数、形如的函数，以及指数函数、对数函数等.解答此类应用题一般都是从建立函数表达式入手，将实际问题数学化，即将文字语言向数学的符号语言或图形语言转化，最终构建函数的数学模型，在题目给出的实际定义域内求解.此类题目在求解时，要注意仔细分析，捕捉题目中的新词汇及数量关系，对于较复杂的数量关系可以根据事物的类别、时间的先后、问题的项目对题目中给出的已知量、未知量、常量的归类，或画出图表，建立等式、不等式，将复杂的数量关系清晰化，从而建立数学模型，进行求解，最后还要注意检验所求是否符合实际意义. 例4.如图，某新建小区有一片边长为1（单位：百米）的正方形剩余地块ABCD，中间部分MNK是一片池塘，池塘的边缘曲线段MN为函数的图象，另外的边缘是平行于正方形两边的直线段。为了美化该地块，计划修一条穿越该地块的直路（宽度不计），直路与曲线段MN相切（切点记为P），并把该地块分为两部分。记点P到边AD距离为，表示该地块在直路左下部分的面积。（1）求的解析式；（2）求面积的最大值。解题分析:从题意知, 直路的解析式是一次函数,其斜率可通过求导法得之;另外直路左下部分的形状不确定,必须对参数进行分类讨论后,写出分段函数的解析式,再求其最大值.规范解题:（1）根据题意可知点P坐标为其中,因为，所以，过点的切线方程为，即， 令，得，令，得.所以切线与轴交点，切线与轴交点. 当即时，切线左下方的区域为一直角三角形，所以. 当 即时，切线左下方的区域为一直角梯形， ， 当即时,切线左下方的区域为一直角梯形,所以.综上所述(2)当时, ，当时, ，所以探究之一:如将 “池塘的边缘曲线段MN” 改为函数,则原题答案如何? 解析:方法同原题,得当时,由得时,有极大值;当时, ,由得,此时有极小值,所以的极大值为;当时, 所以的无极大值,综上所述,.20世纪初,著名数学家菲利克斯克莱因认为