2007年数学高考四川(理)第22(Ⅲ)题别解的纠正.doc_第1页
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2007年数学高考四川卷(理)第22()题别解的纠正文1给出了2007年高考四川卷（理）第22 题的别解如下：题目：设函数，（）当时，求的展开式中二项式系数最大的项；（）对任意的实数，证明；（）是否存在，使得恒成立？若存在，试证明你的结论并求出的值；若不存在，请说是理由.解：（）（）略关于第（）小题的别解：先证：，设，则。展开式的通项展开式的通项，由展开式的通项可以求出，。所以，所以，即是一个递增数列，由于，所以，因此存在，使不等式。上述解法表面上看比标准答案来得简捷、明了，推证过程也似乎合情合理，但却是错误解法，为什么呢？问题出在哪里呢？我们先回顾一下高等数学中的两个常用的知识点：1、极限存在定理：若单调增加且有上界（即且存在实数使得一切），则必收敛.2、证明存在可分两步说明数列单调递增说明数列有界.是因为先有数列的有界即，才使得它成立.而上述解法却把结论拿来当已知条件用，把已知条件当成结论，犯了循环论证的错误！通过对上述错误解法的认识后，可以发现本题的第（）小题若要运用不同的方法求解，只能来源于对的不同证法，下面给出两种简便解法：法一：运用均值不等式证明（其中为正数，等号成立当且仅当），从而数列单调递增。又因为当时有，所以，所以。因为，所以，因此存在，使不等式。法二：运用伯努利不等式证明（其中，且为不小于2的自然数）令代入（1）式中，则有，所以，当时，。所以，数列单调递增，令代入（1）式中，则有，由于数列单调递增。所以，所以。因为，所以。因此存在，使不等式。参考文献1. 2007年高考题（省市卷）：
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