机器人技术及其应用作业2.docx

结论：1.新坐标系位置可通过在坐标系矩阵前面左乘变换矩阵得到；2.方向向量经过纯平移后保持不变，但新的坐标系的位置是各向量相加的结果；3.齐次变换矩阵与矩阵乘法的关系使得到的新矩阵的维数各变换前相同。齐次变换矩阵绕轴纯旋转的变换：为了简化绕轴旋转的推导，首先假设该坐标系位于参考坐标系的原点。然后推广到其他的旋转以及旋转的组合。P点为旋转坐标系上的一点则： P点相对于参考坐标系的坐标为： P点相对于运动坐标系的坐标为：当坐标系绕x轴旋转时，坐标系上的点P也随坐标系一起旋转。旋转前，P点在两个坐标系中的坐标是相同的。旋转后，该点的坐标在旋转坐标系中保持不变，但在参考坐标系中改变了。求P点在固定参考坐标系中的新坐标。任一矢量的分量就是该矢量在参考系上单位方向的投影。要求可以先求在X、Y、Z单位方向上的分量，则：齐次变换矩阵T 的意义：1.机器人用到相对变换的时候比较多2.例如机械手抓一个杯子，如右图所示，手爪需要转动一个角度才抓的牢，相对于固定坐标系表达太麻烦，可以直接根据手爪的坐标系表示3.但也要知道在O中的位姿，就用右乘的概念绕通过原点的任意轴旋转的齐次变换：1.有时动坐标系O可能绕过原点O的而分量分别为rx、ry、rz的任意单位矢量r 转动角。2.研究这种转动的好处是可用O绕某轴r 的一次转动代替绕O各坐标轴的数次转动3.为推导此旋转矩阵，可作下述变换：a.绕X 轴转角， 使r 轴处于XZ平面内b.绕Y 轴转-角，使r 轴与OZ轴重合c.绕OZ轴转动角d.绕Y 轴转角e.绕X 轴转-角 由定义1和定义2，上述5次旋转的合成旋转矩阵为：由上图容易求出：可得：1000321twzzztwyyytwxxxqmqmqm齐次交换矩阵的几何意义：=1000100010001T 1111cba设T= ，有一个手爪，已知其在O的位置，设一个该坐标系O，已()111cbao=1000pppTzyyyxxxzzzyxwwwqmqmqm知， ， 那么O在O中的齐次坐标变换为 ，如果手爪转了一个角度，则：T反映了O在O中的位置和姿态，即表示了该坐标系原点和各坐标轴单位矢量在固定坐标系中的位置和姿态。=比例系数透视矩阵位置矢量旋转矩阵11311333wfPRT该矩阵可以由4个子矩阵组成，写成如下形式：=zzzyyyxxxwwwqmqmqm33R为姿态矩阵，表示动坐标系O在固定参考坐标系O中的姿态，即表示O各坐标轴单位矢量在O各轴上的投影TzyxpppP13= 为位置矢量矩阵，代表动坐标系O坐标原点在固定参考坐标系O中的位置 1-T=-1000-R-TTT1-33T1pwpvpvvvvvv）（）（）（m如果需要求解O在O中的位置和姿态，此时的齐次变换矩阵为 ，即求逆矩阵： kpjpippzyxvvvv+=kjizyxvvvvmmmm+=其中：kvjvivvzyxvvvv+= kwjwiwwzyxvvvv+=知识点：1.点和面的齐次坐标和齐次变换2.三个基本旋转矩阵3.绝对变换：如果所有的变换都是相对于固定坐标系中各坐标轴旋转或平移，则依次左乘，称为绝对变换。4.相