工程硕士GCT数学基础复习资料.pdf

1 一般复习过程 了解考试要求 复习考试内容 熟悉试题类型 掌握应试技巧 一般复习过程 了解考试要求 复习考试内容 熟悉试题类型 掌握应试技巧 第一部分第一部分 算术算术 内容综述内容综述 1 1 数的概念 整数 分数 小数 百分数等等 数的概念 整数 分数 小数 百分数等等 2 2 数的运算 数的运算 1 1 整数的四则运算 整数的四则运算 2 2 小数的四则运算 小数的四则运算 3 3 分数的四则运算 分数的四则运算 3 3 数的整除 数的整除 整除 整除 m l k m n 倍数 约数 奇数 偶数 质 素 数倍数 约数 奇数 偶数 质 素 数 合数 质因数 公倍数 最小公倍数 合数 质因数 公倍数 最小公倍数 11 1 1 mnnm m n m n 公约数 最大公约数 互质数 最简分数 公约数 最大公约数 互质数 最简分数 4 4 比和比例 比例 比和比例 比例 d c b a 正比例关系 正比例关系 k b a 反比例关系等 反比例关系等kab 典型例题典型例题 一 算术平均数 平均值 问题一 算术平均数 平均值 问题 例例 某书店二月份出售图书某书店二月份出售图书 36543654 册册 比一月份多出售比一月份多出售 216216 册册 比三月份少出售比三月份少出售 714714 册册 第二季度的出售量是第一季度出售量的第二季度的出售量是第一季度出售量的5 1 倍 求书店上半年平均每月出售图书多少册 倍 求书店上半年平均每月出售图书多少册 分析 分析 4775 6 71421636543 2 5 6 7143654 3654 2163654 2 3 7143654 3654 2163654 又如前 又如前 1010 个偶数 奇数 素数 合数等的平均值问题 个偶数 奇数 素数 合数等的平均值问题 二 植树问题二 植树问题 1 1 全兴大街全长 全兴大街全长 13801380 米 计划在大街两旁每隔米 计划在大街两旁每隔 1212 米栽一棵梧桐树 两端都栽 求共栽梧桐多少棵 米栽一棵梧桐树 两端都栽 求共栽梧桐多少棵 分析 分析 232 1 12 1380 2 2 2 将一边长为将一边长为 2 2 米的正方形木板沿其边用钉子固定在墙上米的正方形木板沿其边用钉子固定在墙上 为了安全为了安全 钉子的间距不能超过钉子的间距不能超过 3030 厘米厘米 且四角必须固定且四角必须固定 求需求需 要的最少钉子数 要的最少钉子数 分析 根据要求 每边至少需要分析 根据要求 每边至少需要 7 7 个空 所以至少需要个空 所以至少需要2874 个钉子 个钉子 三 运动问题三 运动问题 1 1 相遇与追及问题 相遇与追及问题 vts 2121 vvvvvv 21 sss 例例 某部队以每分钟某部队以每分钟 100100 米的速度夜行军米的速度夜行军 在队尾的首长让通信员以在队尾的首长让通信员以 3 3 倍于行军的速度将一命令传到部队的排头倍于行军的速度将一命令传到部队的排头 并立即返回队并立即返回队 尾 已知通信员从出发到返回队尾 共用了尾 已知通信员从出发到返回队尾 共用了 9 9 分钟 求行军部队队列的长度 分钟 求行军部队队列的长度 分析 设队伍长度为分析 设队伍长度为l 则 则 9 100300100300 ll 解得解得1200 l 2 2 顺流而下与逆流而上问题 顺流而下与逆流而上问题 例例 两个码头相距两个码头相距 352352 千米千米 一艘客轮顺流而下行完全程需要一艘客轮顺流而下行完全程需要 1111 小时小时 逆流而上行完全程需要逆流而上行完全程需要 1616 小时小时 求此客轮的航速与这条求此客轮的航速与这条 河的水流速度 河的水流速度 2 分析 因为分析 因为16 352 11 352 水水 vvvv 所以 所以 22 32 水 水 vv vv 解得解得5 27 水 vv 3 3 列车过桥与通过隧道问题 列车过桥与通过隧道问题 例 一列火车全长例 一列火车全长 270270 米 每秒行驶米 每秒行驶 1818 米 全车通过一条隧道需要米 全车通过一条隧道需要 5050 秒 求这条隧道的长 秒 求这条隧道的长 分析 设隧道长为分析 设隧道长为l 则 则5018270 l 所以 所以630 l 四 分数与百分数应用问题四 分数与百分数应用问题 例 某工厂二月份产值比一月份的增加例 某工厂二月份产值比一月份的增加 0 0 10 三月份比二月份的减少 三月份比二月份的减少 0 0 10 那么 那么 A A 三月份与一月份产值相等 三月份与一月份产值相等 B B 一月份比三月份产值多 一月份比三月份产值多 99 1 C C 一月份比三月份产值少 一月份比三月份产值少 99 1 D D 一月份比三月份产值多 一月份比三月份产值多 100 1 分析 设一月份的产值为分析 设一月份的产值为a 则三月份的产值为 则三月份的产值为a99 0 所以一月份比三月份产值多 所以一月份比三月份产值多 99 1 99 0 99 0 a aa 五 简单方程应用问题五 简单方程应用问题 1 1 比和比例应用题 比和比例应用题 例例 1 1 有东西两个粮库 如果从东库取出 有东西两个粮库 如果从东库取出 5 1 放入西库 东库存粮的吨数是西库存粮吨数的放入西库 东库存粮的吨数是西库存粮吨数的 2 1 已知东库原来存粮 已知东库原来存粮 50005000 吨 求西吨 求西 库原来的存粮数 库原来的存粮数 分析 设西库原来的存粮数为分析 设西库原来的存粮数为x 则 则 5 5000 2 1 5 5000 5000 x 所以所以7000 x 例例 2 2 一件工程一件工程 甲独做甲独做 3030 天可以完成天可以完成 乙独做乙独做 2020 天可以完成天可以完成 甲先做了若干天后甲先做了若干天后 由乙接着做由乙接着做 这样甲这样甲 乙二人合起来共做乙二人合起来共做了了 2222 天 问甲 乙两人各做了多少天 天 问甲 乙两人各做了多少天 分析 设甲 乙两人分别做了分析 设甲 乙两人分别做了x天和天和y天 根据题意得天 根据题意得 1 20 1 30 1 22 yx yx 解得解得16 6 yx 2 2 求单位量与求总量的问题求单位量与求总量的问题 例 搬运一堆渣土 原计划用例 搬运一堆渣土 原计划用 8 8 辆相同型号的卡车辆相同型号的卡车 1515 天可以完成 实际搬运天可以完成 实际搬运 6 6 天后 有两辆卡车被调走 求余下的渣土还需要天后 有两辆卡车被调走 求余下的渣土还需要 几天才能运完 几天才能运完 分析 设要运完余下的渣土还需要分析 设要运完余下的渣土还需要x天 则天 则 x 28 68158 所以所以12 x 3 3 和倍 差倍与和差问题 和倍 差倍与和差问题 例 把例 把 324324 分为分为 A B C DA B C D 四个数 如果四个数 如果 A A 数加上数加上 2 2 B B 数减去数减去 2 2 C C 数乘以数乘以 2 2 D D 数除以数除以 2 2 之后得到的四个数相等 求这四个数各之后得到的四个数相等 求这四个数各 3 是多少 是多少 分析 根据题意得分析 根据题意得 2 1 222 324 DCBA DCBA 解得解得144 36 74 70 DCBA 样题与真题样题与真题 一 数的运算一 数的运算 1 1 设直线方程 设直线方程0 abbaxy 且 且x的截距是的截距是y的截距的的截距的 2 倍 则倍 则a与与 2 1 谁大 谁大 C C A A a B B 2 1 C C 一样大一样大 D D 无法确定无法确定 分析 因为分析 因为b a b 2 所以 所以 2 1 a 2 2 方程 方程0 1 2 1 2 1 1 2 xxx 的根的个数为的根的个数为 A A A A 0 B B 1 C C 2 D D 3 分析 因为分析 因为 1 3 1 2 1 2 1 1 22 x xx x 所以 所以0 1 2 1 2 1 1 2 xxx 的根的个数为的根的个数为 0 0 3 3 设 设mba 均为大于零的实数 且均为大于零的实数 且ab 则 则 mb ma 与与 b a 谁大 谁大 A A A A 前者前者 B B 后者后者 C C 一样大一样大 D D 无法确定无法确定 分析 因为分析 因为0 mbb abm b a mb ma 所以 所以 mb ma 比比 b a 大 大 注 特殊值代入法 注 特殊值代入法 4 4 某人左右两手分别握了若干颗石子 左手中石子数乘 某人左右两手分别握了若干颗石子 左手中石子数乘3加上右手中石子数乘加上右手中石子数乘4之和为之和为29 则左手中石子数为奇数 还是偶 则左手中石子数为奇数 还是偶 数 数 A A A A 奇数奇数 B B 偶数偶数 C C 无法确定无法确定 D D 无石子无石子 分析 因为分析 因为2943 yx 所以 所以x为奇数 为奇数 5 5 20032003 已知 已知 2004 2003 2003 2002 2002 2001 cba 则 则 A A cba B B acb C C bac D D abc 注 考虑注 考虑 xx x xf 1 1 1 6 6 20032003 11 1 1 11 1 1 i i i i i A A 10 B B 11 C C 12 D D 13 4 注 注 661211 2 1 1121 7 7 设设nS n n 1 1 4321 则 则 20052004 SS B B A A 2 2B B 1 1C C 0 0D D 1 分析 由于分析 由于 1002 20042003 43 21 2004 S 2005 20042005 SS 所以所以 1200521002 20052004 SS 8 8 20052005 11111111 11111111 23456789 0 10 20 30 40 50 60 70 80 9 apple apple apple apple apple apple apple apple 的值是 A A 2 81 B B 2 9 C C 9 2 D D 81 2 分析 分子分析 分子 9 1 9 8 8 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 分母 分母 2 9 10 987654321 所以正确选项为 所以正确选项为 A A 9 9 20062006 64 1 77 32 1 66 16 1 55 8 1 44 4 1 33 2 1 2211 C C A A 16 15 308B B 32 31 308C C 64 63 308D D 128 127 308 分析 分析 64 63 308 2 1 1 2 1 1 2 1 87 2 1 11 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 7654321 11 64 1 77 32 1 66 16 1 55 8 1 44 4 1 33 2 1 2211 6 5432 1010 20062006 某型号的变速自行车主动轴有 某型号的变速自行车主动轴有 3 3 个同轴的齿轮 齿数分别为个同轴的齿轮 齿数分别为 4848 3636 和和 2424 后轴上有 后轴上有 4 4 个同轴的齿轮 齿数分别个同轴的齿轮 齿数分别是是 3636 2424 1616 和和 1212 则这种自行车共可获得 则这种自行车共可获得 A A 种不同的变速比 种不同的变速比 A A 8 8B B 9 9C C 1010D D 1212 分析分析 本题是算术题 考查两个数的比的大小 本题是算术题 考查两个数的比的大小 由于由于 16 24 24 36 24 24 36 36 12 24 24 48 12 36 16 48 所以这种自行车共可获得 所以这种自行车共可获得8412 种不同的变速比 种不同的变速比 二 平均值问题二 平均值问题 1 1 从生产的一批灯泡中任意抽取从生产的一批灯泡中任意抽取5个个 测的寿命测的寿命 小时小时 分别为分别为95 100 107 110 113 若用它们来估计这批灯泡的平均寿若用它们来估计这批灯泡的平均寿 命应为命应为 C C A A 103 B B 104 C C 105 D D 106 分析 分析 105 5 95100107110113 2 2 张某以 张某以51 10元元 股的价格买进股票股的价格买进股票20手 又以手 又以8 9元元 股买进股买进30手 又以手 又以47 11元元 股买进股买进50手 他要不赔钱 至少要手 他要不赔钱 至少要 5 卖到什么价钱 元卖到什么价钱 元 股股 1手手 100股 股 D D A A 02 11 B B 32 10 C C 98 9 D D 78 10 分析 分析 78 10 10000 500047 1130008 9200051 10 3 3 20032003 记不超过 记不超过 1010 的素数的算术平均数为的素数的算术平均数为M 则与 则与M最接近的整数是最接近的整数是 A A 2 B B 3 C C 4 D D 5 分析 分析 425 4 4 7532 三 植树问题三 植树问题 1 1 20032003 10001000 米大道两侧从起点开始每隔米大道两侧从起点开始每隔 1010 米各种一棵树 相邻两棵树之间放一盆花 这样需米各种一棵树 相邻两棵树之间放一盆花 这样需 要要 A A 树 树 200200 课 花课 花 200200 盆 盆 B B 树 树 202202 课 花课 花 200200 盆 盆 C C 树 树 202202 课 花课 花 202202 盆 盆 D D 树 树 200200 课 花课 花 202202 盆 盆 分析 共需树分析 共需树202 1 10 1000 2 共需花 共需花200 10 1000 2 2 2 20042004 在一条长在一条长 36003600 米的公路一边米的公路一边 从一端开始等距竖立电线杆从一端开始等距竖立电线杆 每隔每隔 4040 米原已挖好一个坑米原已挖好一个坑 现改为每隔现改为每隔 6060 米立一根电米立一根电 线杆 则需重新挖坑和填坑的个数分别是 线杆 则需重新挖坑和填坑的个数分别是 D D A A 5050 和和 4040B B 4040 和和 5050C C 6060 和和 3030D D 3030 和和 6060 分析 分析 4040 和和 6060 的最小公倍数是的最小公倍数是 120120 在 在 120120 米的距离内需挖一个新坑和填掉原来的两个坑 故需重新挖坑和填坑的个数分别米的距离内需挖一个新坑和填掉原来的两个坑 故需重新挖坑和填坑的个数分别是是 3030 和和 6060 四 运动问题四 运动问题 20042004 在一条公路上在一条公路上 汽车汽车 A A B B C C 分别以每小时分别以每小时 8080 7070 5050 公里的速度匀速行驶公里的速度匀速行驶 汽车汽车 A A 从甲站开向乙站从甲站开向乙站 同时车同时车 B B 车车 C C 从乙站出发与车从乙站出发与车 A A 相向而行开往甲站 途中车相向而行开往甲站 途中车 A A 与车与车 B B 相遇两小时后再与车相遇两小时后再与车 C C 相遇 那么甲乙两站相距 相遇 那么甲乙两站相距 D D A A 20102010 公里公里B B 20052005 公里公里C C 16901690 公里公里D D 19501950 公里公里 分析 设甲乙两站相距分析 设甲乙两站相距l公里 则公里 则 5080 2 7080 ll 解得 解得1950 l 五 简单方程应用问题五 简单方程应用问题 1 1 单位量与总量问题 单位量与总量问题 1 1 20042004 某校有若干女生住校 若每间房住 某校有若干女生住校 若每间房住 4 4 人 则还剩人 则还剩 2020 人未住下 若每间住人未住下 若每间住 8 8 人 则仅有 间未住满 那么该校有女人 则仅有 间未住满 那么该校有女 生宿舍的房间数为 生宿舍的房间数为 C C A A 4 4B B 5 5C C 6 6D D 7 7 分析 设女生宿舍的房间数为分析 设女生宿舍的房间数为x 则 则xxx8204 1 8 解得 解得6 x 注 选项验证法 注 选项验证法 2 2 20052005 某项工程 某项工程 8 8 个人用个人用 3535 天完成了全工程量的天完成了全工程量的 3 1 如果再增加 如果再增加 6 6 个人 那么完成剩余的工程还需要的天数是 个人 那么完成剩余的工程还需要的天数是 A 18A 18B 35B 35C 40C 40D 60D 60 分析 设完成剩余的工程还需要的天数是分析 设完成剩余的工程还需要的天数是x 则 则x 68 2 1 358 故 故40 x 即正确选项为 即正确选项为 C C 2 2 和倍 差倍 和差问题和倍 差倍 和差问题 小明今年一家四口人 全家年龄之和为小明今年一家四口人 全家年龄之和为69岁 父亲比母亲大一岁 姐姐比小明大两岁 四年前全家年龄之和为岁 父亲比母亲大一岁 姐姐比小明大两岁 四年前全家年龄之和为54岁 则父亲岁 则父亲 今年多少岁 今年多少岁 D D A A 28 B B 29 C C 30 D D 31 六 分数 比六 分数 比 百分数应用问题 百分数应用问题 1 1 20032003 某工厂产值三月份比二月的增加 某工厂产值三月份比二月的增加 0 0 10 四月份比三月的减少 四月份比三月的减少 0 0 10 那么 那么 A A 四月份与二月份产值相等 四月份与二月份产值相等 B B 四月份比二月份产值增加 四月份比二月份产值增加 99 1 6 C C 四月份比二月份产值减少 四月份比二月份产值减少 99 1 D D 四月份比二月份产值减少 四月份比二月份产值减少 100 1 分析 设二月份的产值为分析 设二月份的产值为a 则四月份的产值为 则四月份的产值为a99 0 所以四月份比二月份产值少 所以四月份比二月份产值少 100 199 0 a aa 2 2 20042004 甲 乙两种茶叶以 甲 乙两种茶叶以 x x y y 重量比 混合配制成一种成品茶 甲种茶每斤 重量比 混合配制成一种成品茶 甲种茶每斤 5050 元 乙种每斤元 乙种每斤 4040 元 现甲种茶价格上元 现甲种茶价格上 涨涨 1010 乙种茶价格下降 乙种茶价格下降 1010 后 成品茶的价格恰好仍保持不变 则后 成品茶的价格恰好仍保持不变 则yx 等于 等于 C C A A 1 1 1 1B B 5 5 4 4C C 4 4 5 5D D 5 5 6 6 分析 由于分析 由于yxyx 1 04040 1 05050 4050 所以 所以 5 4 y x 3 3 20052005 20052005 年 我国甲省人口是全国人口的年 我国甲省人口是全国人口的c 其生产总值占国内生产总值的 其生产总值占国内生产总值的d 乙省人口是全国人口的 乙省人口是全国人口的e 其生产 其生产 总值占国内生产总值的总值占国内生产总值的f 则 则 20052005 年甲省人均生产总值与乙省人均生产总值之比是 年甲省人均生产总值与乙省人均生产总值之比是 A A cd ef B B ce df C C cf de D D de cf 分析 设全国人口为分析 设全国人口为 p p 国内生产总值为 国内生产总值为 h h 则甲省人均生产总值为 则甲省人均生产总值为 cp dh 乙省人均生产总值为 乙省人均生产总值为 ep fh 所以甲省人均生产总值与 所以甲省人均生产总值与 乙省人均生产总值之比是乙省人均生产总值之比是 cf de 即正确选项为 即正确选项为 D D 4 4 20062006 一个容积为 一个容积为 1010 升的量杯盛满纯酒精 第一次倒出升的量杯盛满纯酒精 第一次倒出a升酒精后 用水将量杯注满并搅拌均匀 第二次仍倒出升酒精后 用水将量杯注满并搅拌均匀 第二次仍倒出a升溶液升溶液 后 再用水将量杯注满并搅拌均匀 此时量杯中的酒精溶液浓度为后 再用水将量杯注满并搅拌均匀 此时量杯中的酒精溶液浓度为 49 49 则每次的倒出量 则每次的倒出量a为 为 B B 升 升 A A 2 552 55B B 3 3C C 2 452 45D 4D 4 分析 根据题意 分析 根据题意 49 0 10 10 10 10 a a a 即 即49 10 2 a 解得 解得3 a 七 其他问题七 其他问题 1 1 一顾客去甲商店买价格为一顾客去甲商店买价格为48元的鞋子元的鞋子 给了甲店主一张给了甲店主一张50元钞票元钞票 因甲没有零钱因甲没有零钱 所以到乙商店换钱所以到乙商店换钱 然后将鞋子和然后将鞋子和2元元 钱一起给了该顾客 顾客走后 乙店主发现那张钱一起给了该顾客 顾客走后 乙店主发现那张50元钞票为假币 索要甲店主一张元钞票为假币 索要甲店主一张50元真币 问甲店主赔了多少钱 元真币 问甲店主赔了多少钱 A A A A 50元元 B B 48元元 C C 100元元 D D 98元元 2 2 相同表面积的立方体和球 谁的体积大 相同表面积的立方体和球 谁的体积大 B B A A 前者前者 B B 后者后者 C C 一样大一样大 D D 无法确定无法确定 3 3 20032003 EDCBA 五支篮球队相互进行循环赛 现已知五支篮球队相互进行循环赛 现已知A队已赛过队已赛过 4 4 场 场 B队已赛过队已赛过 3 3 场 场 C队已赛过队已赛过 2 2 场 场 D队队 已赛过已赛过 1 1 场 则此时场 则此时E队已赛过队已赛过 A A 1 1 场 场 B B 2 2 场 场 C C 3 3 场 场 D D 4 4 场 场 注 排除法 利用奇 偶数性质 注 排除法 利用奇 偶数性质 4 4 20062006 100100 个学生中 个学生中 8888 人有手机 人有手机 7676 人有电脑 其中有手机没电脑的共人有电脑 其中有手机没电脑的共 1515 人 则这人 则这 100100 个学生中有电脑但没有手机的共个学生中有电脑但没有手机的共 有 有 D D 人 人 7 A A 25 25B 15B 15C 5C 5D 3D 3 分析 根据题意 既有电脑又有手机的人数为分析 根据题意 既有电脑又有手机的人数为731588 所以有电脑但没有手机的人数是 所以有电脑但没有手机的人数是37376 解法解法 2 2 根据题意根据题意 2424 个没有电脑的人中个没有电脑的人中 1515 个人有手机个人有手机 因此既没手机又没有电脑的人只有因此既没手机又没有电脑的人只有 9 9 人人 从而在从而在 1212 个没有手机的人中个没有手机的人中 只有只有 3 3 人有电脑 人有电脑 第二部分第二部分 代数代数 内容综述内容综述 一 数和代数式一 数和代数式 1 1 实数的运算 实数的运算 1 1 乘方与开方乘方与开方 乘积与分式的方根 根式的乘方与化简 乘积与分式的方根 根式的乘方与化简 xyyxxxxyx y x yxyx aabaaba a a aaa 2 2 绝对值绝对值aaababa aa a aa a 0 0 0 0 2 2 复数的运算及其 复数的运算及其几何意义几何意义 虚数单位 实部 虚部 共轭复数 模 幅角 虚数单位 实部 虚部 共轭复数 模 幅角 ibaz 22 baz a b tan ba 212121222111 bbiaazzibazibaz biaz biaz 1111 sincos izz 2222 sincos izz sin cos 21212121 izzzz sin cos 2121 2 1 2 1 i z z z z 1 0 zz 3 3 几个常用公式 和与差的平方 和与差的立方 平方差 立方和 立方差等 几个常用公式 和与差的平方 和与差的立方 平方差 立方和 立方差等 222 2 bababa 32233 33 babbaaba 32233 33 babbaaba 22 bababa 2233 babababa 2233 babababa 1 2 i 8 二 集合与函数 微积分 二 集合与函数 微积分 1 1 集合运算 交集 并集 补集 全集 运算律 摩根律 集合运算 交集 并集 补集 全集 运算律 摩根律 BABACABACBA CBACBAACABABA I 2 2 函数 函数 1 1 概念 定义 两要素 图形 反函数 概念 定义 两要素 图形 反函数 Dxxfyyx 1 xfy 2 2 简单性质 有界性 单调性 简单性质 有界性 单调性 奇偶性 周期性奇偶性 周期性 xfxxfxxfxxfxxfx a T xgb a T xafTbaxfbaxfxg 3 3 幂函数 指数函数 对数函数幂函数 指数函数 对数函数 含义 性质 常用公式 含义 性质 常用公式 xyxyxyayxy a xa ln lg log a x xxyxyx y x yxxy b b a y log log log lnln lnlnln lnlnln 三 代数方程 三 代数方程 1 1 二元一次方程组解的存在性 二元一次方程组解的存在性 2 2 一元二次方程 一元二次方程 1 1 求根公式 判别式 求根公式 判别式 2 2 根与系数的关系 根与系数的关系 0 2 cbxax acb4 2 a c xx a b xx a acbb x 2121 2 2 4 3 3 二次函数的图像 开口 对称轴 顶点坐标 二次函数的图像 开口 对称轴 顶点坐标 a bac a b xacbxaxy 4 4 2 2 22 四 不等式四 不等式 1 1 不等式的基本性质及基本不等式 算术平均数与几何平均数 绝对值不等式 不等式的基本性质及基本不等式 算术平均数与几何平均数 绝对值不等式 性质 性质 0 0 kbkakbakbkakba cbdadbcadcba 基本不等式 基本不等式 abba 2 1 baba 2 2 几种常见不等式的解法 几种常见不等式的解法 绝对值不等式 一元二次不等式绝对值不等式 一元二次不等式 分式不等式 指数不等式 对数不等式等 分式不等式 指数不等式 对数不等式等 0 2 cbxax 0 a axfaxfaxf 0 五 数列五 数列 1 1 数列的概念 数列 通项 前 数列的概念 数列 通项 前n项的和 各项的和 数列与数集的区别 项的和 各项的和 数列与数集的区别 21n aaa n k knn aaaaS 1 21 9 2 2 等差数列 等差数列 1 1 概念 定义 通项 前 概念 定义 通项 前n项的和项的和 2 2 简单性质 中项公式 平均值 简单性质 中项公式 平均值 2 1 2 1 2 1 1 1 21 111 n n nknkn nnnnn aa n aaa aaa dnnnaSdnaadaaa 3 3 等比数列 等比数列 1 1 概念 定义 通项 前 概念 定义 通项 前n项的和项的和 2 2 简单性质 中项公式 简单性质 中项公式 2 1 1 1 1 1 1 0 nknkn n n n n n n nn aaa q q aSqaaq a a aa 六 排列 组合 二项式定理六 排列 组合 二项式定理 1 1 分类求和原理与分步求积原理 分类求和原理与分步求积原理 2 2 排列与排列数 排列与排列数 1 1 定义 定义 2 2 公式 公式 1 2 1 mnnnnP m n 注注 阶乘 全排列 阶乘 全排列 mPm m 3 3 组合与组合数 组合与组合数 1 1 定义 定义 2 2 公式 公式 m m m nm n m m m n m n P P CPCP 3 3 基本性质 基本性质 n n k k n m n m n m n mn n m n CCCCCC2 0 1 1 4 4 二项式定理 二项式定理 n k knkk n n baCba 0 七 古典概率问题七 古典概率问题 1 1 基本概念 基本概念 必然事件 不可能事件 和事件 积事件 互不相容事件 对立事件必然事件 不可能事件 和事件 积事件 互不相容事件 对立事件 2 2 概率的概念与性质 概率的概念与性质 1 1 定义 非负性 规范性 可加性 定义 非负性 规范性 可加性 2 2 性质 性质 1 0 AP 0 P BAPBPAPBAP 3 3 几种特殊事件发生的概率 几种特殊事件发生的概率 1 1 等可能事件 古典概型 等可能事件 古典概型 n m AP 2 2 互不相容事件 互不相容事件 BPAPBAP 对立事件 对立事件1 BPAP 3 3 相互独立事件 相互独立事件 BPAPBAP 4 4 独立重复试验 独立重复试验 如 果在 一次试 验中 某 事 件发 生的 概 率 为如 果在 一次试 验中 某 事 件发 生的 概 率 为p 那 么在 那 么在n此独 立重复 试验中 这个 事件恰好 发生此独 立重复 试验中 这个 事件恰好 发生k次 的概率为次 的概率为 knkk nn ppCkP 1 典型例题典型例题 10 一 数和代数式一 数和代数式 1 1 若 若Cz 且且122 iz 则 则iz22 的最小值是的最小值是 B B A A 2 B B 3 C C 4 D D 5 分 析 分 析 1 22 22 iziz表 示 复 数表 示 复 数z对 应 的 点 在 以 点对 应 的 点 在 以 点 2 2 为 圆 心 半 径 是为 圆 心 半 径 是1的 圆 周 上 的 圆 周 上 22 22iziz 最小 是指复数最小 是指复数z对应的点到点对应的点到点 2 2 的距离最短 此最短距离为的距离最短 此最短距离为3 2 2 如果 如果 1 x整除整除1 223 axxax 则实数 则实数 a D D A 0 A 0 B 1 B 1 C 2 C 2 D D 2 2 或或1 分析 分析 1 x能够整除能够整除1 223 axxax说明说明 1 x是是1 223 axxax的一个因子 因此当的一个因子 因此当1 x时 时 1 223 axxax的值应为的值应为0 即 即 011 2 aa 解得解得2 a或或 a1 二 集合和函数二 集合和函数 1 1 已知 已知0 a 函数 函数dcxbxaxxf 23 的图像关于原点对称的充分必要条件是的图像关于原点对称的充分必要条件是 D D A A 0 b B B 0 c C C 0 d D D 0 db 分析分析 函数函数dcxbxaxxf 23 的图像关于原点对称的充分必要条件是函数的图像关于原点对称的充分必要条件是函数 xf为奇函数为奇函数 故其偶次项的系数为故其偶次项的系数为0 即即0 db 注 也可利用注 也可利用 1 1 0 0 ff f 求得求得0 db 再说明当 再说明当0 db时 时 xfy 的图像关于原点对称的图像关于原点对称 2 2 设 设0 0 ba 且 且abba7 22 那么 那么 3 1 lnba B B A A ln ln 2 1 ba B B ln 2 1 ab C C ln ln 3 1 ba D D ln 3 1 ab 分析 由于分析 由于0 0 ba 所以选项 所以选项 A C A C 不正确 不正确 11 根据根据 9 2 ln 2 1 3 1 ln 2 1 3 1 ln 22 2 abba baba 及及abba7 22 可知可知 3 1 lnba ln 2 1 ab 三 代数方程和简单的超越方程三 代数方程和简单的超越方程 1 1 设 设0 c 若 若 21 x x是方程是方程0 2 cbxx的两个根 求的两个根 求 2 1 1 2 21 2 2 2 1 x x x x xxxx 3 2 3 1 xx 分析 根据韦达定理可知分析 根据韦达定理可知cxxbxx 2121 所以 所以 cbxxxxxx22 2 21 2 21 2 2 2 1 cbxxxxxxxx42 2 21 2 2 2 1 2 2121 c cb xx xx x x x x2 2 21 2 1 2 2 2 1 1 2 2 221 2 121 3 2 3 1 xxxxxxxx 2 2 指数方程组 指数方程组 632 1624 yx yx 的解的解 A A A A 只有一组只有一组 B B 只有两组只有两组 C C 有无穷多组有无穷多组 D D 不存在不存在 分析 在方程组分析 在方程组 632 1624 yx yx 中每个方程的两端取对数 得中每个方程的两端取对数 得 6ln3ln2ln 16ln2ln4ln yx yx 由于由于x与与y的系数不成比例 所以此方程组只有一组解 的系数不成比例 所以此方程组只有一组解 四 不等式四 不等式 已知集合已知集合 32 xxA 集合 集合 0 1 2 axaxxB 若 若AB 求 求a得取值范围 得取值范围 分析 分析 2 11 2 4 1 1 2 2 1 aaaaa x 当当1 a时 时 1 xaxB 当 当1 a时 时 1 axxB 所以当所以当1 a时 不会有时 不会有AB 当 当1 a时 若时 若AB 则 则5 a 五 数列五 数列 1 1 设 设 n a是一等差数列 且是一等差数列 且64 111032 aaaa 求 求 76 aa 和和 12 S 分析 由于分析 由于 76 aa 112103 aaaa 所以 所以 12 76 aa 32 2 111032 aaaa 192 6 7612112112 aaaaaaS 2 2 设 设 n a是一等比数列 且是一等比数列 且48 12 53 aa 求 求 101 a a和和 62a a 分析 设数列分析 设数列 n a的公比为的公比为q 则 则4 2 3 5 q a a 所以 所以 3 4 12 2 3 1 q a a 153623 99 110 qaa或或1536 2 3 99 110 qaa 5764812 5362 aaaa 六 排列 组合 二项式定理六 排列 组合 二项式定理 1 1 5 5 个男生和个男生和 2 2 个女生拍成一排照相 个女生拍成一排照相 1 1 共有多少种排法 共有多少种排法 7 7 P 2 2 男生甲必须站在一端 且两女生必须相邻 有多少种排法 男生甲必须站在一端 且两女生必须相邻 有多少种排法 2 2 5 5 2 2 PPP 2 2 100100 件产品中 只有件产品中 只有 3 3 件次品 从中任取件次品 从中任取 3 3 件 件 1 1 恰有一件次品的取法有多少种 恰有一件次品的取法有多少种 2 97 1 3C C 2 2 至少有一件次品的取法有多少种 至少有一件次品的取法有多少种 3 97 3 100 CC 3 3 至多有两件次品的取法有多少种 至多有两件次品的取法有多少种 3 3 3 100 CC 3 3 求 求 9 21 x 展开式中所有无理项系数之和 展开式中所有无理项系数之和 分析 无理项指的是分析 无理项指的是x的指数是非整数的项 根据二项式定理可知要求的和为的指数是非整数的项 根据二项式定理可知要求的和为 9 9 97 9 75 9 53 9 31 9 22222CCCCCS 七 古典概率问题七 古典概率问题 1 1 在 在 100100 件产品中 只有件产品中 只有 5 5 件次品 从中任取两件 件次品 从中任取两件 1 1 两件都是合格品的概率是多少 两件都是合格品的概率是多少 2 100 2 95 C C 2 2 两件都是次品的概率是多少 两件都是次品的概率是多少 2 100 2 5 C C 3 3 一件是合格品 一件是次品的概率是多少 一件是合格品 一件是次品的概率是多少 2 100 1 95 1 5 C CC 2 2 甲 乙两人各投篮一次 如果两人投中的概率分别是 甲 乙两人各投篮一次 如果两人投中的概率分别是6 0和和5 0 1 1 两人都投中的概率是多少 两人都投中的概率是多少 5 06 0 13 2 2 恰有一人投中的概率是多少 恰有一人投中的概率是多少 5 04 05 06 0 3 3 至少有一人投中的概率是多少 至少有一人投中的概率是多少 5 04 01 3 3 将 将 1010 个球等可能地放到个球等可能地放到 1515 个盒子中去 求下列事件的概率 个盒子中去 求下列事件的概率 1 1 某指定的 某指定的 1010 个盒子中各有个盒子中各有 1 1 个球 个球 10 15 10 2 2 正好有 正好有 1010 个盒子中各有个盒子中各有 1 1 个球 个球 10 10 15 15 10 C 样题与真题样题与真题 一 基本概念一 基本概念 1 1 求阶乘不超过 求阶乘不超过200的最大整数的最大整数 A A 3 B B 4 C C 5 D D 6 2 2 20042004 实数 实数cba 在数轴上的位置如下图表示 在数轴上的位置如下图表示 O b ac 图中图中 O O 为原点 则代数式为原点 则代数式 ccaabba A A A A ca23 B B caba2 C C ba2 D D a3 分析 因为分析 因为cab 0 所以 所以 cacacbabaccaabba23 3 3 20042004 zarg表示表示z的幅角 今又的幅角 今又 21arg 2arg ii 则 则 sin D D A A 5 4 B B 5 3 C C 5 4 D D 5 3 分析 由于分析 由于 5 1 cos 5 2 sin 5 2 cos 5 1 sin 所以 所以 5 3 sincoscossin sin 注 排除法 注 排除法 4 4 20052005 复数 复数 2 1 ziz 的模 14 A 4A 4B 2B 22C 2C 2D D 2 分析 因为分析 因为21 i 所以 所以21 1 2 2 ii 即正确选项为 即正确选项为 C C 5 5 20062006 复数 复数 i z 1 的共轭复数的共轭复数z是 是 A A A A iB B i C C 1 1D D 1 分析 由于分析 由于i i z 1 所以 所以iz 二 函数运算二 函数运算 1 1 设函数 设函数 1 x x xf 1 0 xx 则 则 1 xf f A A A A x 1 B B x 1 1 C C 1 x x D D 1 x 分析 分析 x x x x x xf xf xf f 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 xx 三 乘方运算三 乘方运算 1 1 在连乘式 在连乘式 5 4 3 2 1 xxxxx展开式中 展开式中 4 x前面的系数为前面的系数为 C C A A 13 B B 14 C C 15 D D 16 分析 分析 4545 15 54321 5 4 3 2 1 xxxxxxxxx 2 2 20032003 已知实数 已知实数x和和y满足条件满足条件1 99 yx和和1 100 yx 则 则 101101 yx 的值是的值是 A A 1 B B 0 C C 1 D D 2 根据条件 得根据条件 得 1 1 yx yx 或或 1 1 yx yx 解得解得 1 0 y x 或或 0 1 y x 3 3 20052005 设 设p为正数 则为正数 则 2 99 xpx A A 9 11 xx B B 9 11 xx C C 9 11 xx D D 9 11 xx 分 析 选 项 验 证 法 由 于分 析 选 项 验 证 法 由 于9920 11 9 2 xxxx 992 11 9 2 xxxx 992 11 9 2 xxxx 9920 11 9 2 xxxx 根据题意便知正确选项为 根据题意便知正确选项为 C C 15 4 4 20052005 已知 已知510 xyzy 且 则 则 222 xyzxyyzzx A 50A 50B 75B 75C 100C 100D 105D 105 分析 由于分析 由于10 5 yzyx 所以 所以5 xz 从而 从而 75 2 1 222222 xzyzyxzxyzxyzyx 故正确选项为 故正确选项为 B B 四 代数方程 一元二次函数四 代数方程 一元二次函数 1 1 设 设30 x 则函数 则函数2 2 2 xy的最大值为的最大值为 C C A A 2 B B 1 C C 2 D D 3 分析 分析 0 50 511 522 53 x 2 1 1 y 如图 最大值只可能在端点取到 如图 最大值只可能在端点取到 2 2 20032003 函数 函数 0 2 acbxaxy在在 0 上单调增的充要条件是上单调增的充要条件是 A A 0 a 且 且0 b B B 0 a 且 且0 b C C 0 a 且 且0 b D D 0 a 且 且0 b 分析 根据题意 抛物线分析 根据题意 抛物线 0 2 acbxaxy的开口朝上 对称轴在的开口朝上 对称轴在y轴左侧 故轴左侧 故0 2 0 a b a 所以 所以0 a 且且0 b 3 3 20042004 已知 已知1 ab 且满足 且满足0320082 2 aa和和0220083 2 bb 则 则 B B A A 023 baB B 032 baC C 023 baD D 032 ba 分析 由于分析 由于 6 2420082008 4 2420082008 22 ba 且 且1 ab 所以 所以 当当 4 2420082008 2 a时 时 6 2420082008 2 b 当当 4 2420082008 2 a时 时 6 2420082008 2 b 从而有从而有032 ba 或根据或根据0 32 200894 22 baba 也可以推出有 也可以推出有032 ba 4 4 20062006 方程 方程20072006 2 xx 所有实数根的和等于 所有实数根的和等于 C C A 2006A 2006B 4B 4C 0C 0D D 2006 分析 分析 16 当当0 x时 时 2 2007420062006 2 x 当当0 x时 时 2 20074 2006 2006 2 x 所以方程所以方程20072006 2 xx的所有实数根的和等于的所有实数根的和等于0 5 5 20062006 设二次函数 设二次函数cbxaxxf 2 的对称轴为的对称轴为1 x 其图像过点 其图像过点 2 2 0 0 则 则 1 1 f f D D A A 3 3B B 2 2C C 2 2D D 3 3 分析 根据题意分析 根据题意024 1 2 cba a b 所以 所以2 0 a b c 从而 从而 3 1 3 1 1 1 1 a b a b ba ba f f 五 幂 指 对函数五 幂 指 对函数 比较比较 6 0 4 0与与 4 0 6 0谁大 谁大 B B A A 前者前者 B B 后者后者 C C 一样大一样大 D D 无法确定无法确定 分析 考虑函数分析 考虑函数 6 0 6 0 x xgxxf 则则 6 06 0 4 06 0 4 0 6 0 ff 6 04 0 6 06 0 6 0 4 0 gg 六 函数简单性质六 函数简单性质 1 1 函数 函数 1ln 2 xxxf 是是 B B A A 周期函数周期函数 B B 奇函数奇函数 C C 偶函数偶函数 D D 单调减少函数单调减少函数 分析 分析 1ln 1