初中毕业生学业考试中进行推理能力考查的一些思考.doc

初中毕业生学业考试中进行推理能力考查的一些思考210013 江苏教育学院 章 飞在现实生活和科学研究中，人们需要把握事物之间的内在联系和规律，为此，需要通过一些现象或者已知的判断作出新的推断，这个过程就是一个推理的过程。因而推理能力是公民素质的一个重要方面，是义务教育阶段的一个重要目标。毋庸置疑，数学在发展学生推理能力方面，具有十分重要的作用。因此，数学课程标准把推理能力作为一个十分重要的数学教学目标。当然，同样也成为学业考试的一个十分重要的课程目标。那么，推理能力的内容有哪些，又如何进行推理能力的考查呢？从其内容组成上看，推理能力包括演绎推理能力（逻辑推理）和合情推理能力（如归纳、类比、统计推断等），它们都是数学发展中不可缺少的两种既不同又互补的推理能力，在数学学习中它们往往协同作用，因而它们都是推理能力考查的主体内容。具体的，其内容包括，能通过观察、实验、归纳、类比等活动获得数学猜想；能对所做出的猜想进行适当的佐证，能进行一些简单的严密的逻辑论证，并有条理地表达自己的证明，与他人交流；能对他人结论进行合理的质疑等。推理能力的发展，既可以在空间与图形的教学中，也可以借助数与代数、统计与概率，甚至日常生活等领域，因此考查推理能力的现实载体也必将是多样的。下面分别就合情推理、逻辑推理等谈谈推理能力考查的一些具体做法。当然，这几者的考查应是一个整体，只是为了描述的方便，将它们分开讨论，并在各个部分各有侧重而已。1在归纳、类比等活动过程中考察学生的合情推理能力归纳与类比等合情推理能力，在科学发现和学生发展中具有不可替代的作用，因此，应关注学生合情推理能力的考查。演绎是一个从一般到特殊的推理过程，而归纳是一个从特殊到一般的概括过程，类比是从具体到具体的迁移过程。因此，在合情推理能力的考查时，可以设计一些归纳性、类比性的活动，让学生经历一个观察、试验等活动过程，在活动中通过对大量特殊情形的观察猜想出一般情形的结论，或者通过一些简单对象的研究推移猜想出有关复杂对象的结论，获得有关猜想。当然，归纳和类比活动的目的是探索事物的内在规律，因此，所选背景一般应具有普遍性；研究的对象十分广泛，可以是一个几何图形、一个代数式，也可以是一个具体的数学方法、一个数学规律等。具体考查时，可以设计成客观题，如例1；但为了能够洞察学生获得结论的过程以及归纳和类比过程中的具体方法，一般多设计成主观题。在主观题设计时，可以设计一些问题串，明确要求学生在几个特殊情形或具体情形研究的基础上归纳或类比出一般结论，如例2；也可以直接要求学生研究一般的规律，但学生在一般规律的寻求中，可能需要借助于对一些特殊情形或一些简单的具体情形的思考，如例2中可以删去第（2）问，直接求第（3）问AnBnCnDn的面积，显然，后者要求学生具备一种归纳的主动意识，因而要求更高。例1 （04重庆北碚21）如图1所示，用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下图：则第n个图形中需用黑色瓷砖块 .（用含n的代数式表示）图1图2例2 （04贵阳26）如图2，四边形ABCD中，AC=6，BD=8且ACBD顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1；再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2如此进行下去得到四边形AnBnCnDn .（1）证明：四边形A1B1C1D1是矩形；（2）写出四边形A1B1C1D1和四边形A2B2C2D2的面积；（3）写出四边形AnBnCnDn的面积；（4）求四边形A5B5C5D5的周长.选择用以进行归纳或类比的载体可以是多方面的，既可以是空间与图形的，也可以是数与代数的或者统计与概率的。CABZA1S2S3S1图3例3 我们在学习勾股定理时构造了下面的模型：ABC是直角三角形，其中C是直角，分别以RtABC的三边为边向外作三个正方形，面积分别用S1，S2，S3表示，那么我们有：S1S2S3。（1） 如果我们分别以RtABC的三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，请你确定S1，S2，S3之间的关系并加以证明。（2） 小明说，如果分别以RtABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，为了使S1，S2，S3之间仍然具有上述关系，所作三角形应当具有相似的关系，你认为他的说法对吗？（3） 你能构造一个模型，即以RtABC三边为边向外作三个图形，使得三个图形的面积具有上述关系吗？具体做一做。图4评析：类比能力的考查形式可以是多样的。如本题第一问从题目中的正方形类比到正三角形，要求学生对结论进行类比；而第三问要求学生构造模型，是另一种情况的类比：对条件进行类比，这一步要求更高，学生需要对第二问提供的信息“相似”有充分的理解，同时，学生构造模型的不同也体现出学生的创造力和类比能力的差异，比如有的学生可能类比到三角形的特殊情况：等腰直角三角形，有的可能类比到一般的正多边形，也可能有学生类比到半圆（以三边为直径作圆），类比半圆学生思维的发散水平就相对高一些。例4（04大连第25题）阅读材料，解答问题。材料：“小聪设计的一个电子游戏是：一电子跳蚤从这P1(3，9)开始，按点的横坐标依次增加1的规律，在抛物线上向右跳动，得到点P2、P3、P4、P5(如图4所示)。过P1、P2、P3分别作P1H1、P2H2、P3H3垂直于x轴，垂足为H1、H2、H3，则即P1P2P3的面积为1。”问题：求四边形P1P2P3P4和P2P3P4P5的面积(要求：写出其中一个四边形面积的求解过程，另一个直接写出答案)；图5猜想四边形Pn1PnPn+1Pn+2的面积，并说明理由(利用图5)若将抛物线改为抛物线，其它条件不变，猜想四边形Pn1PnPn+1Pn+2的面积(直接写出答案)评析：本题选择了一个函数问题为背景，借助文字和图像先给出一个解题模式，要求学生进行适当的正向迁移和归纳推理，同时在本题的解决过程中，需要学生进行一定的阅读理解和代数运算，因而较好的考查了学生的阅读理解能力、代数计算能力、迁移运用能力和归纳推理能力。当然，经过计算，本题几种特殊情况的计算结果都是1，因而归纳的难度不是很大。因此，归纳过程的明晰程度、所归纳结论的外在特征、学生对归纳背景的熟悉程度等因素直接影响着试题的难度和有效性，因此在设计考查学生归纳能力的有关试题时，应注意分析上述三者，并据此调控试题的难度，保证试题的有效性。此外，也可以尝试借助计算器进行一定的归纳活动。例5、试通过计算器计算来探讨与（n3）的大小关系.评点：与（n3）有怎样的大小关系呢？学生事先并不知道这就要借助计算器计算出若干对特殊的值进行比较，得出猜想，例如，通过计算，等等，我们可以归纳出。题目没有给学生指明具体的探索方法，因而要求借助工具进行大胆的尝试、归纳猜测、更多的数据验证确认等活动，较好地考查了学生的归纳能力和意识。类似的，有：例6：借助计算器探索的结果。2 使用多种形式多角度考查逻辑推理能力考查学生的逻辑推理能力，过去已经作过比较多的尝试。因此，在命题中可以有很多丰富的形式。考查的形式，既可以是证明题，也可以是计算求解题；考查的知识背景，既可以以空间与图形为背景，也可以以数与代数为考查的背景。图6例7 （04贵阳23）同一底上的两底角相等的梯形是等腰梯形吗？如果是，请给出证明（要求画出图形，写出已知、求证、证明）；如果不是，请给出反例（只需画图说明）.例8（04南宁26（3）若梯形ABCD为等腰梯形，面积不变，请设计一种花坛图案，即在梯形内找到一点P，使得APBDPC且SAPD=SBPC，并说出你的理由。评析：本题是一个求解题，但确定P点的过程，实际上是一个根据逻辑分析的过程，因而本题同样考察了学生的逻辑推理能力。例9（04宁安25）宁安市与哈尔滨市两地相距360千米,甲车在宁安市,乙车在哈尔滨市,两车同时出发,相向而行,在A地相遇,为节约费用（两车相遇并换货后,均需按原路返回出发地）,两车换货后,甲车立即按原路返回宁安市,设每车在行驶过程中速度保持不变,两车间的距离（千米）与时间（小时）的函数关系如图所示,根据提供的信息,回答下列问题：求甲、乙两车的速度。评析：本题一改传统行程问题中要求学生列方程解应用题的一贯形式，需要学生通过观察出函数图像中两条直线斜率不同的情况（或者）推断出换货后乙车停止运动这一结论，然后进行计算，考察学生的推理能力。图7对于证明，既可以呈现一个完整的命题要求学生进行严格的证明（如例7），也可以更具开放性，给学生更多的空间和自主性，如可以要求学生通过观察自主寻找结论并进行证明（如例10、例11），也可以要求学生自己构造符合条件的命题并进行判别或证明（如例12）。例10 如图7，AB=AC，D、E分别是线段AC、AB上的点，且AD=AE，BD交CE于F，试在图中找出3对全等三角形和3个等腰三角形，并对其中一个结论给出证明。例11（04四地联考19）如图8，平行四边形ABCD中，AEBD，CFBD，垂足分别为E、F。（1）写出图中每一对你认为全等的三角形；（2）选择（1）中的任意一对进行证明。例12（04南宁21）如图9，下面四个条件中，请你以其中两个为已知条件，第三个为结论，推出一个正确的命题（只需写出一种情况）。 AE=AD，AB=AC，OB=OC，B=C 已知： 求证： 证明：此外，还可以呈现一定的活动过程，要求对活动过程中的现象进行解释，或者对所得到的结论进行证明。图8图9图10例13 如图10，D、E、F分别是ABC三边的中点，线段DE、EF、FD将ABC分成4个小三角形，小明说利用这个图形可以证明三角形的内角和定理，你估计他是怎么想的，试写出相应的证明过程。图11例14 小明说，如图，沿着三条虚线对折可以将三角形ABC的三个内角集中到D处，从而可以验证三角形的内角和定理。你知道图中的E、F点是如何确定的，你能利用该图证明三角形内角和定理吗？试写出相应得已知、求证与证明过程。例15 借助没有刻度的直尺，小明按照下图的顺序作出了角A的平分线AB，请写出其作图顺序，并说明他这样做的道理。 图 12 图13当然，由于课程标准中已经降低了几何证明的难度要求，因此在命制有关试题时，应注意控制试题的难度。3 借助对已有现象或推理过程的质疑，考查学生的推理意识和评判质疑能力质疑是学生理性思考的重要表现，因此在学业评价中可以呈现一些现象或者一些问题的解决方案，要求学生对现象或者方案作出自己的评判，以考查学生评判质疑能力。下面是几个案例。例16 有人这样证明三角形的内角和是1800：图14如图，D是三角形ABC内一点，连接AD、BD、CD，它们将三角形ABC分成了3个小的三角形。因此有：三个小三角形内角和的和比ABC的内角和多3600。如果设三角形的内角和是x0，则有：x0+x0+x0=x0+3600，易解得x=180.你认为这个证法正确吗？说说你的理由。例17 （1）用一条直线可以将一个正方形分成两个全等的部分，如下图。将正方形分成两个全等的图形的直线还有很多，试在图上另作出两条以上这样的直线。（2）将圆分成两个全等图形的直线有多少条，试在图上作出几条这样的直线。图15（3）将长方形分成两个全等图形的直线又有多少条呢？他们有什么共同的特征呢？ （4）小明发现，上