第5讲——二元函数最优化问题.doc

第五讲二元函数最优化问题 5.1 问题的引入 第 2 页 共 21 页第五讲 二元函数最优化问题5.1 问题的引入一、 引例【引例】某厂生产两种型号的钢笔，甲种每支售价为10元，乙种每支售价为9元，而生产甲种笔支，乙种笔支的总费用为元，问两种笔的产量各为多少时，企业利润最大？分析：此题讨论利润最大，属最优化问题，先建立函数关系因变量为企业利润由于而成本为二元函数二元函数故 二元函数故此问题为二元函数求最值问题二、 复习一元函数最值求法一元实际应用问题最值求法（步骤）1、 建立函数关系式2、 求最值(1) 求定义域(2) 求一阶导(3) 找所有可能极值点 使一阶导0的点驻点 使一阶导不存在的点实际问题通常可能极值点惟一(4) 将惟一可能极值点转化为最值点因为实际问题存在最大（小）值所以惟一可能极值点为最大（小）值点3、 答题显然，一元函数的最值与极值有关，若实际问题存在最值，则惟一可能极值点定是最值点，而可能极值点与一阶导有关二元函数与一元函数相类似，在二元函数中，若实际问题存在最值，则惟一可能极值点定是最值点，故二元实际问题应用，也将惟一可能极值点转化为最值点的一元函数可能极值点与一阶导有关，二元函数与一元函数相类似，只不过在一元函数中，为导数，而在二元函数中，不称为导数，而称为偏导数故二元函数极值的寻找也与一阶偏导数有关，判断仍与二阶偏导数有关故为了解最值，需先了解偏导数的概念及计算，以及如何根据偏导数寻找极值、判断极值第五讲二元函数最优化问题 5.2 二元函数的偏导数 第 6 页 共 21 页5.2 二元函数的偏导数一、二元函数一阶偏导数(一) 复习一元函数一阶导数定义一元函数在点处的导数定义为：其中：表示自变量在处的改变量表示当自变量在处有改变量时，函数相应改变量于是导数定义为：函数改变量比自变量改变量，当自变量改变量趋于0时的极限简称为：差商极限(二) 二元函数一阶偏导概念1、二元函数改变量概念二元函数在点处的改变量分为两类全改变量、偏改变量全改变量两个变量和都发生改变偏改变量仅一个变量发生改变，分为：偏改变量；偏改变量偏改变量仅发生改变（不变）偏改变量仅发生改变（不变）二元函数的导数，用的是偏改变量，因而称为偏导数2、二元函数在一点处的偏导数值定义函数在点处对的偏导数表示为：或，其定义如下：函数在点处对的偏导数表示为：或，其定义如下：一点处的偏导数、结果为数值3、二元函数一阶偏导函数概念函数在区域内每点对的偏导数都存在，则称函数在区域内对可偏导，于是对于区域内每一个点，都有惟一确定的对的偏导函数值相对应，于是在内定义了一个新函数，以为自变量，而对的偏导数值为因变量，称为函数在区域内的对的偏导函数，记作：或，其结果仍为的二元函数同理有函数在区域内的对的偏导函数，记作：或，其结果仍为的二元函数4、一点处偏导数与导函数间关系， (三) 二元函数一阶偏导的求法1、 思想转化为一元函数求导2、 具体操作方法按照偏导数定义仅变，不变，故暂时看成常数，形成一元函数仅变，不变，故暂时看成常数，形成一元函数故二元函数求偏导的方法转化为一元函数求导问题对求偏导，将看成变量，暂时看成常数对求偏导，将看成变量，暂时看成常数对谁求偏导，将谁看成变量，另一变量暂时看成常数【例1】已知函数，求和解：【变量，常数】【变量，常数】【例2】已知厂商的生产函数为二元函数，其中表示劳动投入量，表示资本投入量，求和解：【变量，常数】【变量，常数】【例3】已知函数，求和解：【变量，常数】【变量，常数】二、二元函数的二阶偏导（数）二元函数的二阶偏导共有四个1、符号及含义 偏偏；先偏再偏 偏偏；先偏后偏 偏偏；先偏后偏 偏偏；先偏再偏其中和称为二阶混合偏导2、求二阶偏导的方法(1) 先求一阶偏导；(2) 再对二阶偏导，即对一阶偏导结果再求一次偏导【例4】已知函数，求各二阶偏导解：【变量，常数】【变量，常数】【变量，常数】【变量，常数】【变量，常数】【变量，常数】此题中，两个混合偏导相等一般，只要两个混合偏导连续，则一定相等由于幂函数在定义域内一定连续，而幂函数的导数仍为幂函数，故幂函数的两个混合偏导一定相等故今后幂函数不需分别求两个混合偏导，只需求一个即可【例5】已知函数，求各二阶偏导解：【变量，常数】【变量，常数】【变量，常数】【变量，常数】【变量，常数】【变量，常数】第五讲二元函数最优化问题 5.3 二元函数的极值 第 9 页 共 21 页5.3 二元函数的极值一、 二元函数极值的概念设二元函数在点的某邻域内有定义，对于该邻域内任何异于的点 () 若恒有，则称为函数的极大值并称为函数的极大值点 若恒有，则称为函数的极小值并称为函数的极小值点注意：二元函数极值仍为局部概念二、 二元函数极值的求法1、 二元函数的驻点使的点称为驻点2、 极值存在必要条件定理：若二元函数在点处取得极值，则为驻点，或在点处偏导不存在【注意】与一元函数相同，二元函数的驻点只是可能的极值点，是否为真正极值点，必须根据极值存在充分条件做进一步判定3、 极值存在充分条件使用条件为驻点使用方法根据的符号其中：， 若，则不是极值点 若，则是极值点，且 若，则是极小值点 若，则是极大值点 若，则是否为极值点不定4、 二元函数求极值的步骤(1) 求两个一阶偏导和(2) 令，得驻点找使一阶偏导不存在点（一般无，若一阶偏导不存在，则二阶更不存在，无法用二阶判断了）(3) 求二阶偏导函数：，(4) 将驻点代入二阶偏导函数求值，得，(5) 用充分条件(还是)判断驻点是极小值点还是极大值点当有多个驻点时，重复(4)和(5)(6) 写出结论【例1】求函数的极值解：(1) ，(2) 令，即得驻点和无使一阶偏导不存在点(3) ，在点处：(4) ，(5) ，为极值点又，为极大值点，极大值为在点处：(4) ，(5) ，不是极值点(6) 函数有极大值【练习】求函数的极值解：(1) ，(2) 令，即，得驻点，无使一阶偏导不存在点(3) ， ， 在点处：(4) ，(5) ，不是极值点在点处：(4) ，(5) ，是极值点又由于，为极小值点极小值为(6) 函数有极小值第五讲二元函数最优化问题 5.4 二元函数的最值及其应用 第 12 页 共 21 页5.4 二元函数的最值及其应用一、二元函数最值概念若对于区域内的所有，都有，称为二元函数在区域内的最大值，称为最大值点若对于区域内的所有，都有，称为二元函数在区域内的最小值，称为最小值点最大值、最小值统称为极值，最大值点、最小值点统称为极值点二、实际问题求最值方法1、实际问题通常二元函数有惟一极值，则该惟一极值必为最值2、若实际问题存在最大（小）值，则惟一驻点定为最大（小）值点三、二元函数最值应用步骤1、建立函数关系式2、求极值(1) 求一阶偏导(2) 找所有可能极值点 找驻点 使一阶偏导不存在的点实际问题通常可能极值点惟一3、求最值因为实际问题存在最大（小）值所以惟一可能极值点为最大（小）值点4、答题四、经济学中二元函数最值应用举例【例1】某厂生产两种型号的钢笔，甲种每支售价为10元，乙种每支售价为9元，而生产甲种笔支，乙种笔支的总费用为元，问两种笔的产量各为多少时，企业利润最大？解：1、建立函数关系两种产品产量和为自变量，企业利润为因变量收益函数为总成本函数为利润函数2、求极值(1) ，(2) 令，即，得惟一驻点无使一阶偏导不存在点3、求最大值实际问题存在最大值惟一可能极值点为最大值点4、答：甲种型号钢笔生产120支，乙种型号钢笔生产80支，可使企业利润最大【例2】某商店销售A、B两种产品，A产品的成本为2元个，B产品的成本是3元个A产品的需求量为，价格为，B产品的需求量为，价格为两种产品的价格-需求方程分别为：，商店为得到最大利润，应如何对A、B两种产品定价？商店最大利润为多少？A、B两种产品的需求量各为多少？解：1、建立函数关系两种产品价格和为自变量，企业利润为因变量收益函数为总成本函数为利润函数2、求极值(1) ，(2) 令，即，得惟一驻点，无使一阶偏导不存在点3、求最大值实际问题存在最大值惟一可能极值点，为最大值点此时A产品需求量为：，B种产品需求量为：商店最大利润为4、答：A产品的销售价格为4元、B产品销售价格为5元时，商店利润最大，最大利润为100元，此时A产品需求量为40个，B产品需求量为为10个第五讲二元函数最优化问题 5.5 二元函数条件极值 第 15 页 共 21 页5.5 二元函数条件极值拉格朗日乘数法一、 问题的引入【引例】若某产品的产出函数为，为人工数量，为资金数量如果每个人工的费用30美元，每个单位资金的费用为60美元如果总预算为300000美元，求：如何分配这个总预算，可以获得最大的生产率？该题目求函数的最大值已知变量和满足条件称问题为函数在条件下的极值条件极值二、 解决条件极值的方法两种(1) 将条件代入函数，使函数减少一个变量，按极值方法计算(2) 拉格朗日乘数法三、 条件极值的拉格朗日乘数法以二元函数为例求函数在条件下的极值(1) 做拉格朗日函数三元函数(2) 求的驻点：即满足的(3) 由实际意义确定是极值【例1】若某产品的产出函数为，为人工数量，为资金数量如果每个人工的费用30美元，每个单位资金的费用为60美元如果总预算为300000美元，求：如何分配这个总预算，可以获得最大的生产率？解：(1) 明确问题：极大值：约束条件：(2) 构造拉格朗日函数：(3) 解一阶偏导数组成的方程组，求驻点则：，(4) 因为，为惟一驻点，故，为最大值点(5) 最大产出为【例2】某消费者购买甲、乙两种商品的价格为和，消费者用40个单位的费用购买这两种商品，又知当购买量分别为和时，消费者的效用函数，问消费者如何购买，可以得到最大效用？最大效用为多少？解：(1) 明确问题：极大值：约束条件：(2) 构造拉格朗日函数函数：(3) 解一阶偏导数组成的方程组，求驻点，因为实际问题存在最大值所以惟一驻点，为最小值点答：第五讲二元函数最优化问题 5.6 最小二乘法 第 21 页 共 21 页5.6 最小二乘法Method of least squares一、问题的引入我们前面讨论了经济中常用函数，并且讨论了边际、弹性、最优化等问题而这些问题讨论的前提是已知一个函数关系式如果没有这些关系，上述问题都将无法讨论那么，这些函数关系是如何建立的呢？回归分析是经济分析中常用的一种方法，它是通过最小二乘法的原理将一组数据拟合为初等函数引例：某种商品价格(：美元)与销售量(：件)间的数据如下表4.04.55.05.56.04.23.52.71.50.7试确定销售量与价格间函数关系式二、最小二乘法(一) 画（散点）图(二) 根据散点图确定拟合图形形状（函数类型）此题显然应拟合成直线可拟合为抛物线可拟合为指数函数也可拟合为直线也可拟合为分段函数当不能确定拟合为何种类型函数更合适时，可拟合多个函数，然后比较哪个更好，更贴切我们只将拟合为直线的方法，其他思想相同，请自学拟合为直线（线性函数）的方法线性回归(三) 拟合的最好标准为更能说明问题，采用下面图形1、图中各点依次称为，2、设拟合的直线方程为，其中为待定系数要通过最小二乘法，找到最好的和3、将代入，得，则为拟合直线上的点实际点与拟合直线上的点间有一个误差，该误差可能正，也可能负实际点与拟合直线上的点间有一个误差，该误差可能正，也可能负实际点与拟合直线上的点间有一个误差，该误差可能正，也可能负每个实际点与拟合直线上的点都有误差，且误差有正有负4、所谓最好，最贴切指误差最小5、但不能将这些误差直接相加，因为其中必然有正有负直接相加将相互抵消平方之和6、所有点误差平方之和为使其最小7、将中的和看成变量二元函数，问题转化为：求和的值使最小二元函数求最小值问题8、令 则：即：则：9、实际操作时，通常画表列出求和所需的参数：，三、 用最小二乘法线性回归的步骤【例1】已知某种商品价格(：美元)与需求量(：件)间的数据如下表4.04.55.05.56.04.23.52.71.50.7(1)