从物理学到财务金融.pdf

物理雙月刊 廿七卷六期 2005 年 12 月 795 從物理學到財務金融 漫談跨學科的結合 文 林蒼祥 蔡蒔銓 摘要 財務金融 尤其是財務工程己經發展成為橫跨財務這個社會學科和物理 數學 電腦等理工學科的新領域 不論是在學 術研究上 或是在實務應用上 這樣的多門學科的連結與融合 都日益明顯 非財務出身而在財務界表現傑出的學者或實務 人才不勝枚舉 包括 1997 年諾貝爾經濟學奬得主 Robert C Merton 2002 年 Quantitative Finance 期刊的風雲人物 Alexander Lipton Lifschitz 出版過許多與財務工程相關書籍的 Paul Wilmott 等等 財務界以 Geometric Brownian motion 來描述股價 油價 滙率等財務上重要變數的時間序列 並因此與許多物理學上的 模型與定律產生重大的連結 而數學上處理 Brownian motion 的技巧也因此常被財務研究人員借用來做理論的推導與實務的 應用 例如財務上著名的 Black Scholes Merton 偏微分方程式便與量子力學上薛定愕方程 Schr dinger equation 有極大的 相似性 若能具備對財務深入而正確的認識 配合上數學以及電腦等強有力的工具 理工學科人才便能在財務的領域中 擁 有紮實的競爭優勢 壹 前言 在近十年來 愈來愈多理工背景出身的人才投入 財務領域的工作 而華爾街在徵求財務工程人才時也 已經把專業要求從財務轉到數學 物理學 或其他的 理工電腦科系 據估計 有超過半數以上的財務工程 從業人員是來自與這些理工電腦科系 這樣一個明顯 的現象代表財務實務界對於人才需求的新趨勢 以及 看似毫不相關財務與理工學科背後深層的密切相關 性 財務學界及實務界這幾年來大量借用數學的技巧 和物理學的基本模型 並因複雜的模型與大量的資料 處理需求而逐漸依賴電腦的運算處理 因此財務界向 數學 物理學 或其他的理工電腦科系舉才的現象日 益明顯 非財務出身而在財務界表現傑出的學者或實 務人才不勝枚舉 包括 1997 年諾貝爾經濟學奬得主 Robert C Merton 2002 年 Quantitative Finance 期刊的 風雲人物 Alexander Lipton Lifschitz 出版過許多與財 務工程相關書籍的 Paul Wilmott 等等 當討論到財務與物理學之間的相關性 很自然的 要從布朗運動 Brownian motion 談起 財務界以 Geometric Brownian motion 來描述股價 油價 滙率 等財務上重要變數的時間序列 並因此與許多物理學 上的模型與定律產生重大的連結 而數學上處理 Brownian motion 的技巧也因此常被財務研究人員借 用來做理論的推導與實務的應用 一個明顯的財務與物理學相關的例子就是在財務 學上應用Girsanov s理論改變Brownian motion的drift 項 Martingale Representation Theorem 就如同物理 學上的座標轉換 在轉換的前後距離和面積並不因此 而改變 市場風險價格的考量以及 Radon Nikodym derivative 導出的 Martingale Measure 共同組成現代財 務研究的重要基礎 當然在古典力學上應用廣泛的動 態積分 例如 path integral 亦成為財務模型推導上 的重要工具 貳 理科人在財務領域 許多數學和物理學出身而進入財務領域的人 在 學術以及實務上表現卓越並作出重大貢獻 在此僅舉 數例以供讀者參考 Robert C Merton 是一位數學背景出身而獲得諾 物理雙月刊 廿七卷六期 2005 年 12 月 796 貝爾經濟學獎的著名學者 他於西元 1966 年及 1967 年在哥倫比亞大學和加州理工學院分別取得他的工程 數學學士和應用數學碩士的學位 在那幾年的數學學 習生涯 Merton 首次對隨機過程和最優控制理論產生 了濃厚的興趣 他特別癡迷於 John Chu 的熱傳導課 程 它使他認識到了高深的數學在解決現實問題時的 力量 之後 Merton 決定離開加州理工學院 也離開數 學 去學習經濟學 他師從著名的經濟學者 Paul Samuelson 並於西元 1970 年取得麻省理工學院經濟 學博士的學位 Merton 與 Myron Scholes 及已故數學 家 Fischer Black 根據源於物理學的隨機過程所發展 出的 Black Scholes Merton Option Pricing Model 為 包括股票 債券 貨幣 商品在內的新興衍生金融市 場的各種以市價價格變動定價的衍生金融工具的合理 定價奠定了基礎 Merton 更擴展了原模型的內涵 使之同樣運用於許多其他形式的金融交易 瑞士皇家 科學協會 The Royal Swedish Academy of Sciences 讚譽他們在期權定價方面的研究成果是之後 25 年經 濟科學中的最傑出貢獻 Alexander Lipton Lifschitz 從莫斯科大學取得數 學碩士及博士的學位後 從事與地球磁性動態 the Earth s magnetohydrodynamic 的充電原漿物理 the physics of charged plasmas 的相關研究 並曾榮獲俄 羅斯科學協會 The Russian Academy of Science 所頒 發的最佳青年物理學家獎 在西元 1989 年以政治避護 身份到了美國後 曾在麻省理工學院從事研究 並成 為伊利諾大學的教授 後來 Lipton 因為家庭的關 係 進入華爾街工作 開始運用他在數學和物理學上 的專業知識 從事財務工程的實務應用 在他進入華 爾街的四年內 他就成為在新奇選擇權訂價的領域中 著名的創新研究者 他運用物理學上自我相似性 Self Similarity Technique 的技巧 推導出新的亞式選 擇權 Asia Options 及回顧選擇權 Lookback Options 的訂價模型 並對動態波動性所造成避險模型的執行 困擾有重大的貢獻 他也因此獲得風險雜誌 Risk Magazine 評選為 2000 年最佳數量分析人員的殊榮 Lipton 接受著名期刊 Quantitative Finance 訪問時表 示 物理學和財務工程背後的機制有很大的相似性 運用數學和物理學上的技巧來解決財務上所遇到的難 題 是再自然也不過的事了 他認為擁有完整而嚴謹 的數學和物理學的訓練 對於想要進入財務領域的人 來說 有顯著的競爭優勢 Paul Wilmott 則是正統物理學出身的學者 他主 要的研究領域是在根據 Newtonian 原則所導出來的 Navier Stokes 公式為中心的流體力學 他的博士論文 是有關潛水艇的移動 他曾在英國牛津大學研究過相 當多與物理學相關的問題 例如 玻璃纖維的製造 飛機機翼的設計 渦輪引擎扇片的冷卻等等 在這個 過程中 他學習到以開放的心來運用他完整而嚴謹的 數理訓練來解決實際的問題 在八 年代末期 他開 始注意到一些在財務領域中有趣的數學問題 在此之 後 他逐漸把工作以及研究的重心轉移到財務工程領 域 現在他是英國牛津大學皇家科學院的研究學者 並 出 版 過 許 多 財 務 工 程 相 關 的 著 作 例 如 Derivatives The theory and practice of financial engineering 他同時也是許多財務工程顧問公司的合 夥人 以及軟體公司的執行長 他也擔任 Applied Mathematical Finance 以及其他許多著名期刊的主編 或編輯 像 Paul Wilmott 這樣從傳統物理學出身 而 在財務工程領域創造事業高峰 並對相關學術及實務 界有重大影響力的研究人員在過去十年來有逐漸增加 的趨勢 參 物理學對財務領域的影響 物理學對財務領域的影響是全面且深遠的 在此 僅舉數例說明 英國植物學家 Robert Brown 於西元 1827 年觀察 花粉在水裡不斷的舞動 這種現象稱為布朗運動 Brownian motion 愛因斯坦 Albert Einstein 以 獨特的眼光分析是微小的水分子在作祟 還利用數學 方法計算出分子的大小和亞佛加厥常數 證明分子的 存在 三年後 法國物理學家佩蘭通過實驗印證了愛 因斯坦的理論 物理雙月刊 廿七卷六期 2005 年 12 月 797 早在西元 1900 年 Bachelier 以數學方法分析巴 黎股票交易的價格變化 自此 財務研究人員開始將 股票價格的變化 與物理學上布朗運動所描述的微粒 子動態軌跡的數學模型相互連接 之後 以布朗運動 來描述股票價格的動態軌跡 更成為財務上連續時間 Continuous Time Finance 研究的重要基礎 假設 W 服從布朗運動 則 W 的變化 dW 是一個符合常態 分配的隨機變數 dW 的期望值為 0 變異數為時間的 變化 dt 十九世紀初 在物理學上提出的熱傳導偏微分方 程式 Heat Partial Differential Equation 亦廣泛地運 用在財務領域 熱傳導偏微分方程式除了在物理學上 解釋熱流的動態軌跡外 還可以用來分析例如 煙粒 子在空氣的運動 Belousov Zhabotinsky 等化學模 型 Hodgkin Huxley 電流活動模型等等 一般常用來 描述溫度的簡單熱傳導偏微分方程式為 2 2 uu tx 其中 u 是溫度 x 是 spatial coordinate 而 t 是時間 在這個偏微分方程式中 可看出溫度對 x 的二次微分 與其對 t 的一次微分之間的平衡 在財務領域中 最重要的偏微分方程式無疑是 Black Scholes Merton 偏微分方程式 假設股票價格服 從幾何布朗運動 geometric Brownian motion 則 d SS dtS dW 其中 dS 為瞬間股價之變動 是股票的瞬間期望報 酬 是股票的瞬間波動度 W 為 Wiener process 假設 V 是一種衍生性金融工具 其價值為股票價格及 時間的函數 即 V V S t 根據 Ito s Lemma 2 22 2 1 2 VVV dVd td SSdt tSS 購買一單位的V 並賣出 放空 單位的S 以創 造一個新的投資組合F 則 2 22 2 1 2 FV S t S VVV dFdtd SSd tdS tSS 選擇 使得新的投資組合F成為無風險資產 即 2 22 2 1 2 VVV dFdtSd t StS 此 在財務上稱為完全避險比率 Delta Hedging Ratio 在此比率下 新的投資組合F的隨機不確定 性降為零 Delta Hedging亦是財務上動態避險的一 種 避險比率隨著V對S的一次微分在不同時間的變 化而改變 既然新的投資組合F是無風險資產 在無套利空 間的前題下 投資組合F的瞬間期望報酬應該等於無 風險資產的瞬間期望報酬 假設為r 即 2 22 2 1 0 2 VVV dFrF dtSrSrF tSS 這就是財務上著名的Black Scholes Merton偏微分方 程式 這個類似量子力學上薛定愕方程 Schr dinger equation 的偏微分方程式 可以物理學上的反應 傳 達 擴散 reaction convection diffusion 來解釋 第一部 分是類似熱傳導偏微分方程式中的V對S的二次微分 與其對t的一次微分之間的平衡 可視為擴散項 diffusion 2 22 2 1 2 VV S tS 唯一和熱傳導偏微分方程式中的擴散項不同的是 V 對S的二次微分前面的係數是的S函數 這在物理學 上 可 以 解 釋 為 熱 傳 導 的 介 質 具 有 非 同 質 性 Non homogeneity 第二部分是V對S的一次微分 可視為傳達項 convection V rS S 物理雙月刊 廿七卷六期 2005年12月 798 如果這個方程式代表某種物理系統 譬如煙粒子在空 氣的運動 則此傳達項表示微風將煙粒子吹往特定方 向的效果 最後一部分可視為反應項 此項和時間導 數之間的平衡 可決定半生命週期與r相關的放射性 物體衰退模型 整體來看 這就是個完整的反應 傳達 擴散 reaction convection diffusion 模型 事實上 Black Scholes Merton偏微分方程式就像是污染物隨 著河流擴散 並有部分被河底泥沙吸收的物理模型 水中的擴散為擴散項 水流為傳達項 河底泥沙吸收 為反應項 值得一提的是 在推導Black Scholes Merton偏 微分方程式的過程中 我們隱含了一個重要的假設 那就是個別資產與投資組合的交易成本為零 一個假 設沒有交易成本的財務世界 與一個假設沒有磨擦阻 力的物理世界 有著極為相似的意函 若要將交易成 本 磨擦阻力 放入考量 原模型應作相應的調整 此外 推導過程中所使用的Ito s Lemma 其實就是數 學上泰勒展開式二階的應用 在財務連續時間研究的 意義上 與1932年諾貝爾物理學獎得主海森堡 Werner Heisenberg 在量子力學上所提出的測不準 原理有異曲同工之妙 測不準原理由海森堡在1927 年提出 主要說明一個微觀粒子的位置與動量 不可 能在同時間測得準確值 因此 泰勒展開式中的高階 次項可以被忽略 除了Black Scholes Merton偏微分方程式外 深 受物理學影響的財務連續時間研究 更擴展到一般財 務學術及實務的各個領域 尤其在資產定價 衍生性 金融商品評價 利率期間結構理論 投資組合選擇理 論 實質選擇權等財務的核心領域 財務連續時間研 究更成為財務研究及實務應用的主流 並提供更多的 經濟意涵 財務連續時間研究在上述各個領域中推導 出許多可以實証研究驗証的假說 也相對促進測試財 務連續時間模型的計量經濟理論在過去十年來長足的 發展 兹就上述各個領域在財務連續時間研究上的發 展概述如下 一 資產定價 財務連續時間研究在資產定價領域中 最主要圍繞在幾個實証上發現的幾個重要現象 首先 Mehra and Prescoot 1985 發現在現實經濟 社會所觀察到的股東權益風險溢酬遠高於所有財 務模型所能產生的水準 自此 便有許多研究探 討可能的解釋 其次 資產報酬長期的記憶效果 以及違約風險溢酬被証實可以用來預測股東權益 未來的報酬 另外 實証上觀察到的無風險利率 較財務模型所預測的結果明顯平穩許多 這樣一 個理論與實証上的波動度差異吸引了許多相關的 財務研究 二 衍生性金融商品評價 吸取數學及物理學資源的 財務連續時間研究在衍生性金融商品領域上產生 革命性的發展 在前述的Black Scholes Merton 偏微分方程式發表之後 數以千計的研究論文從 事包括各式選擇權 遠期契約 期貨 交換等等 在定價上的探討 這些研究論文大致可分為以下 四類 1 推導包括新奇選擇權 交換選擇權 波 動度交換 房貸証券化等複雜衍生性金融商品的 定價模型 2 上述複雜的衍生性金融商品定價模 型通常無法推導出清楚的定價公式 而是必需借 用數學及物理學上各種的數值運算方法來求解 3 研究一些使用簡單的Black Scholes Merton定 價模型所無法解釋的市場現象 例如 波動度的 期間結構 volatility smiles 4 探討有關交易限 制及交易成本在衍生性金融商品的交易 定價 避險等各方面的影響 類似在物理學上有摩擦力 的情況下改變原有的運動定律 三 利率期間結構理論 無風險利率期間結構是財務 連續時間研究另一個具有重大影響力的領域 Robert C Merton在1975年研究動態成長模型下 利率結構的均衡之後 許多學者便致力於發展利 率期間結構的動態模型 其中 著名的單變量模 型包括Vasicek 1977 Langetieg 1980 等 多變 量模型包括Longstaff and Schwarts 1992 Hull and White 1990 等 四 投資組合選擇理論 Cox Ross and Huang 1989 物理雙月刊 廿七卷六期 2005年12月 799 以及Karatzas Lehoczky and Shreve 1986 1987 1990 証明應用Martingale Representation理論 類似物理學上的座標轉換 可以將財務上的動態問題在完全市場的情況下簡 化為一個靜態的問題 Barberis 1999 及Cambell and Viceira 2000 等研究最佳投資組合與投資期 間 投資者的風險趨避程度 動態投資機會等要 素的相關性 這些研究大多利用數學上的Bellman 方程式的概約求解來推導最適投資組合模型 五 實質選擇權 實資選擇權著重在投資決策復原成 本高而投資方案未來報酬不確定的情況下 投資 者在決定投資時所放棄的等待選擇權 並擴展到 各種與決策者的決策彈性有關的決策選擇權 Dixit and Pindyck 1994 及Amram and Kulatilaka 1999 發展出許多在不確定市場情況下的投資決 策理論 值得一提的是 在實質選擇權領域的先 趨者之一Nalin Kulatilaka亦是理工出身投入財務 金融研究而有卓越成就的學者 肆 實務上應用之一例 選擇權訂價模型是 標 準 歐 式 買 權 C 到 期 的 現 金 流 量 是 Max 0 S T K 以C T Max 0 S T K 為邊界條件 式 配合Black Scholes Merton偏微分方程式 可以 推導出標準歐式買權的定價公式為 12 2 1 21 00 01 2 C S N d K exp r T N d S ln r T K d T ddT 而標準歐式賣權 P 到期的現金流量是Max 0 K S T 以P T Max 0 K S T 為 邊 界 條 件 式 配 合 Black Scholes Merton偏微分方程式 可以推導出標準 歐式賣權的定價公式為 21 2 1 21 00 01 2 P K exp r T N d S N d S ln r T K d T ddT 然而 對於比較複雜的選擇權 尤其是一些美式新奇 選擇權 這樣的定價公式並不存在 選擇權定價經常 需要以數值方法解多元常態累積分配機率 常用來計 算選擇權價格的數值方法包括 一 二項或三項樹狀法 Binomial or Trinomial Tree Method 二 有限差分法 Finite Difference Method 三 蒙 地 卡 羅 模 擬 法 Monte Carlo Simulation Method 限於篇幅 在此僅就蒙地卡羅模擬法在選擇權定 價上的應用簡要說明 蒙地卡羅模擬是根據衍生性商 品標的資產價格變動之隨機過程進行模擬 並進而求 算出此一衍生性商品的價值 假設新奇選擇權的價值 V 不僅受到到期日資產價格 ST 的影響 也受到 從發行日至到期日之間資產價格的路徑 T SS 0 所影響 即 0TT SSfV 其中 f為新奇選 擇權的收益函數 若短期無風險利率為常數 即r r 則此一新奇選擇權在發行日之價值為 00 rT T VeE f S S 其中E 為風險中立下之期望值 蒙地卡羅模擬法即利 用此方程式來進行評價 更明確的說 若資產價格 S 服從幾何布朗運動 則資產價格的瞬間變動為 dW dS dt S W 之定義同前 利用Ito s Lemma可將此式改 寫為 2 dW 2 d lnS dt 亦即ln S在一段時間內 如從時點t至T 的變動 物理雙月刊 廿七卷六期 2005年12月 800 服從常態分配 2 T t 2 Tt ln Sln S N Tt 即 Tt lnSlnS 是平均數為 2 2 Tt 標準差為 T t 之 常 態 分 配 在 風 險 中 立 評 價 法 下 Risk Neutral Valuation 我們以無風險利率r代替 則 2 T t 2 Tt lnS N lnS r Tt 故在時點T之資產價格 ST 可表示為 2 2 Tt SS exp r Tt Tt 其中 為自平均數為0 標準差為1之標準常態分配 中所抽取之隨機樣本 在資產價格模擬時 將新奇選 擇權的存續期間分割成N期 每期皆為 t T N 然後自標準常態分配中抽出N個獨立之隨機樣本後 依據上式即可計算出在時點0 t 2 t T時之 資產價格 如此便產生一條資產價格模擬之路徑 並 可以利用 0TT Vf S S 求算新奇選擇權之收益 值 每一條資產價格模擬路徑與相應的新奇選擇權收 益值之計算 稱為一次的模擬試行 Simulation Trial 在經過大量的模擬試行之後 譬如100 000次 可以 得到100 000條資產價格模擬路徑及其對應的新奇選 擇 權 收 益 值 新 奇 選 擇 權 的 價 值 即 為 00 rT T VeE f S S 亦 即 將 模 擬 所 得 之 100 000個新奇選擇權收益值予以平均 再以無風險利 率折現 便可得出該新奇選擇權價值的估計值 在此舉一個較複雜的多資產連動債券為例 說明 蒙地卡羅模擬法在選擇權定價上的應用 假設有一以 美金計價連結8檔香港股票的連動債券 投資期間為 4年 每年觀察一次 每年評價日根據以下不同情境 配息 情境A 所有連結個股股價都上漲高於期初進場價 配息6 並提前出場 情境B 所有連結個股股價都下跌10 配息6 並 提前出場 情境C 連結個股有漲有跌 80 表現最差的個股 100 則配息4 情境D 連結個股有漲有跌 60 表現最差的個股 80 則配息2 情境E 連結個股股價有漲有跌 表現最差的個股 60 則不配息 茲就可能發生的實際情況 以具體的數字舉例分析如 下 狀況一狀況一 情境A 若連動個股股價全數高於其期初股 價之100 本債券提前到期還本並配息6 年度年度 最差個股最差個股 表現表現 最佳個股最佳個股 表現表現 本息給付本息給付 到期與到期與 否否 1 102 132 106 是 狀況二狀況二 情境C 情境D 本債券未提前到期 且每 年定期支付配息 年度年度 最 差 個最 差 個 股表現股表現 最佳個股最佳個股 表現表現 本息給付本息給付 到期與到期與 否否 1 85 98 4 否 2 62 91 2 否 3 82 106 4 否 4 91 102 104 是 狀況三狀況三 情境E 本債券未提前到期 且未給付票息 到期仍100 保本 年度年度 最 差 個最 差 個 股表現股表現 最佳個股最佳個股 表現表現 本息給付本息給付 到期與到期與 否否 1 42 92 0 否 2 58 99 0 否 3 52 102 0 否 4 49 91 100 是 狀況四狀況四 情境B 若連動個股股價全數跌破其期初股 價之90 本債券提前到期還本並配息6 年度年度 最 差 個最 差 個 股表現股表現 最 佳 個最 佳 個 股表現股表現 本息給付本息給付 到 期 與到 期 與 否否 1 67 86 106 是 物理雙月刊 廿七卷六期 2005年12月 801 使用以下參數代入蒙地卡羅模擬 計算此一多資產連 動債券之理論價值 美元無風險利率 美元無風險利率 Bloomberg FWCV 時間時間 1 年期年期 2 年期年期 3 年期年期 4 年期年期 利率利率 4 27 4 308 4 34 4 357 波動度 波動度 股股 票票 代代 碼碼 330 HK 494 HK 17H K 12H K 4H K 1H K 8H K 13H K 連 結 連 結 標 的 標 的 思 捷 環 球 控 股 利 豐 新 世 界 發 展 恆 基 地 產 九 龍 倉 集 團 長 江 實 業 電 訊 盈 科 和 記 黃 埔 波 動 度 波 動 度 24 0 0 29 0 0 27 0 0 16 0 0 19 0 0 16 0 0 17 0 0 18 0 0 根據上述蒙地卡羅模擬法的運算邏輯 針對此8 檔具有中國概念且連動性高的港股進行10 000次的模 擬試行 可求得此一多資產連動債券的理論價值如 下 多資產連動債券理論價值多資產連動債券理論價值 伍 結語 財務金融 尤其是財務工程己經發展成為橫跨財 務這個社會學科和物理 數學 電腦等理工學科的新 領域 不論是在學術研究上 或是在實務應用上 這 樣的多門學科的連結與融合 都日益明顯 不可諱言 的 財務工程領域在近幾年來的蓬勃發展 其高挑戰 性及高報酬的特點 吸引了無數的高階理工人才相繼 投入 這些物理 數學 及其它理工學科出身的優秀 人才 在財務工程領域表現傑出 他們在學術及實務 上的貢獻 直接促成了財務工程學科在這幾年的長足 進步 數學以及電腦是在財務工程領域中強有力的工 具 理工學科人才的優勢 不僅在於對模型的推導 處理 以及應用能力 也在於從嚴格而完整的數理訓 練中產生的邏輯思考以及組織能力 然而 我們要強 調的是 正如從事物理研究工作一樣 所有數學以及 電腦的技巧 絕對必須配合完整的物理理論基礎才能 獲致實用 因此 唯有具備對財務深入而正確的認識 配合上這些工具的輔助 才能在財務的領域中 擁有 紮實的競爭優勢 因此 証諸歷史 預見未來 財務 工程人才將被定位為結合財務 數學 電腦 物理應 用等的高階人員 並將引領財務工程繼續成為發展快 速的嶄新學科 參考文獻 Amram M and N Kulatilaka Real Options Managing Strategic Investment in an Uncertain World Harvard Business School Press Barberis N 1999 Investing for the Long Run When Returns are Predictable Working paper University of Chicago Black F and M Scholes 1973 The Pricing of Options and Corporate Liabilities Journal of Political Economics 81 637 659 Broadie 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