第十二章 非线性回归分析.doc

第十二章 非线性回归分析第一节 可化为直线回归的非线性回归 有些形式的曲线可以采用适当的数据转换方法转化为直线，从而用直线回归的方法来分析。一、 指数曲线 当0时其曲线形状见图12.1。 对公式(12.1)取导数 可知随着x的增加，0的曲线的绝对生长速度越来越快，而0.874，因此指数曲线回归关系在0.01水平上显著（实际P9.01106）。 带常数的指数函数 当0时其曲线见图12.3。其中，0.834，因此幂函数曲线回归关系在0.01水平上显著(实际P1.26106)，可建立幂函数曲线回归方程： 其图形也见图12.5，不同的x值对应的 值见表12.2。 本例也可作直线回归和指数曲线回归分析，结果均极为显著。 还可能求出其它也显著的曲线形式。实践中通常不存在支持某种曲线形式的绝对依据，选择合适的曲线形式的考虑之一是所研究问题的生物学意义。如温度或时间与生长量的关系一般应选用指数曲线，而直径或长度与重量或体积的关系一般可选用幂函数曲线等。 考虑之二是曲线的显著性。可根据散点图的特征试配几种不同的曲线，从中选择显著程度最高或较高的。本例从散点图看可配合直线、指数曲线和幂函数曲线，显著程度相差不多，但以幂函数曲线的生物学意义最为吻合，因此较合适。三、 对称S形曲线回归 许多害虫的日发生量在暴发期以前逐日增加，过了暴发期又逐日减少，基本上是对称的，接近正态分布。因此其累积发生量就成为上下对称的S形曲线，与正态累积函数曲线差不多，见图12.6。图12.6 对称S形曲线 以y为累积发生量，x为日期并令 可将此对称S形曲线转换为线性并估计a和b了。 y一般称为概率单位，可由概率单位表中查出。由回归方程求得 后也可从该表中反查出。 例12.3江苏东台县测定了1972年越冬代棉红铃虫不同时期（x，以5月31日为0）的化蛹进度（y，）结果见表12.3，试作回归分析。表12.3 棉红铃虫不同时期x(以5月31日为0)的化蛹进度y(%)图12.7 棉红铃虫不同时期x和化蛹进度y的散点图 解：从散点图（图12.7）中看出x与y基本上呈对称的S形曲线关系，将y转换为概率单位y后与x呈直线关系，因此作x与y的直线回归分析。 查r0.01(8)=0.765，|r|=0.99830.765，因此回归关系在0.01水平上显著(实际P3.641011)，也即有概率单位y与日期x间的直线回归方程 成立。将各x值代入回归方程求出同 并反查出值列于表12.3的最后两列，可见吻合得相当好。四、不对称S形曲线回归 动植物生长的普遍规律是先越来越快，过了生长高峰以后由于内外条件的限制则越来越慢直至停止。生长速度的变化呈不对称的单峰曲线，因此累积生长量呈不对称的S形曲线。有许多描述不对称S形曲线的方程，如 等，也可用y的概率单位对x的对数作线性回归。但是最常用且最符合生物学意义的还是Logistic曲线，见图12.8。 如果无阻抑时的生长情况可用指数曲线 来描述，有限制条件时的生长情况可用孵化曲线 来描述，那么整个生长周期可用Logistic曲线 可知当y0.735，回归关系在0.01水平上显著(实际P1.451010)，因此得Logistic曲线回归方程 : 此曲线的拐点为 即灌浆30d左右的灌浆速率最快，大约为第二节 多项式回归 多项式函数y=b0+ b1x+ b2x2+ bkxk 的曲线见图12.10。图12.10 二次和三次多项式曲线 任何一种连续函数都可以用分段多项式来逼近。 多项式回归的通用数学模型为此模型即转化为一般的多元线性回归模型(11.1) 一、二次多项式回归 令 可得正规方程组 并从中解出0、1和2的估计值 建立二次多项式曲线（抛物线）回归方程 为了进行回归的显著性检验需将y的平方和分解为回归平方和及离差平方和两部分U=b1L1y+b2L2y, Q=Ly,y-U 各有2个和n-3个自由度。 对回归系数的显著性检验不能完全沿用偏回归系数的检验方法 ,已知一次回归的平方和是 因此二次回归增加的平方和是 各有一个自由度。 例12.5有一小麦施肥量试验的结果见表12.5，试作二次多项式回归分析。图12.11 小麦施肥量(x,10kg/hm2)与产量(y,10kg/ hm2)的散点图 解：散点图（图12.11）显示施肥量x与产量y间的呈抛物线关系，因此做二次多项式曲线回归分析。根据表2.5的数据可求出 得正规方程组 解之有 得到二次多项式回归方程 回归方程进行显著性检验 首先分解平方和 然后进行F检验，结果见表12.6。显然，二次回归比一次回归增加的回归变异是显著的，因此用二次多项式曲线来描述本例的施肥量与产量之间的关系是合适的。表12.6 小麦施肥量与产量试验结果的方差分析表 抛物线属单峰曲线，其峰顶(谷底)值称极值。令二次多项式的导数为零 可解得极值 即： 由于肥料与粮食的价格不同，最高的产量不一定能获得最大的经济效益。设肥料的单价为px，粮食的单价为py。令 即可解出最佳效益的施肥量 xmax是px=0也即肥料资源无限时的施肥量， 当px0时xopt必然小于xmax。 本例如设px=15，py=5，则 相应的产量为成本及效益比较图12.12 小麦施肥量试验的总收入p1和去掉肥料成本后的收入p2的变化曲线 二、高次多项式回归分析 一般称最高次数k3的多项式为高次多项式。令 x1=x, x2=x2, , xk=xk 可得多项式回归方程的矩阵形式 y=Xb 及其正规方程组 XX=Xy 并用多元线性回归分析的方法解得 b=(XX)-1Xy, 一般来说多项式曲线回归分析的次数不宜太高，否则不但计算量大而且XX阵容易退化（xj间高度相关），求得的b不稳定。为了确定合适的次数需要检验每提高一次所增加的回归平方和，但除了最高次项所增加的回归平方和 以外，其余的只能由本次与低一次多项式的回归平方和之差求出。为此可采用消去变换求解正规方程组，从一次项开始每一次消去运算都可得到本次多项式的系数和逆阵，由此可求出本次所增加的回归平方和。 当k=3时问题更简单。因为一次项的回归平方和是 三次比两次增加的回归平方和是 所以两次比一次增加的回归平方和是 U2=U-U1-U3 例12.6测定某水稻土用HCl和Na2CO3调酸后的pH值x和铵态N含量y的结果见表12.7，试作多项式回归分析。表12.7 某水稻土PH值x和铵态N含量y的测定结果图12.13 水稻土PH值（x）和铵态N含量（y）的散点图 解：散点图（图12.13）显示x与y间呈近似的倒抛物线关系，部分点的拟合不算太好，因此做三次曲线回归分析可能有较好的效果。根据表12.7的数据可求得正规方程组42b1+462b2+4200b3=34.9462b1+5250b2+48972b3=552.74200b1+48972b2+466332b3=6316.6解之有由此得三次多项式回归方程 为了检验回归方程的显著性对y平方和进行分解表12.8 例12.6的方差分析表在0.05水平上一次和二次回归是显著的，但三次项不显著应去掉。与多元线性回归的方法一样，新的一次和二次回归系数为回归截距为得二次多项式回归方程第三节 作物密度与产量关系的回归分析 作物的种植密度与产量之间的关系通常是非线性的。设x为种植密度，Y为群体产量，则个体产量y=Y/x，其倒数y-1=x/Y意为获得单位产量所需的株数。根据y-1与x的变化规律来看密度产量关系可分为四种基本类型，它们的区别见图12.14。图12.14 四种密度产量关系曲线 一般说来等差型和混合型适用于群体调节能力较强的作物如小麦和水稻等，等比型和抛物线型适用于群体调节能力较差的作物如玉米等。一、等差型密度产量回归分析 等差型密度产量关系中y-1与x的关系为 意为随着种植密度x的变化形成单位产量所需株数y-1呈等差级数线性变化。的含义为x=0时的y-1即形成单位产量所需的最少株数。的含义为x每变化一个单位时形成单位产量所需株数的变化数，也即形成单位产量所需的面积。此时y与x的关系为 呈双曲线。Y与x的关系为 呈渐近线，见图12.15。图12.15 等差型x-y，x-Y曲线 当x=0时可得y的极大值即无限稀植时的单株产量ymax=a 1 当x=时可得Y的极大值即无限密植时的群体产量Ymax=b 1 因为y 1 与x的关系是线性的，所以只要令 即可运用直线回归分析的方法解出和的估计值a和b了。 例12.7低肥条件下春小麦密度x（104苗/hm2）与产量Y（10kg/ hm2）的试验结果见表12.9，试分析密度与产量间的关系。表12.9 低肥下春小麦等比型密度产量回归关系分析数据表图12.16 低肥下春小麦的密度x与群体产量Y和单株产量y的散点图 解：从散点图（图12.16）可看出随着x的增加Y达最大值后基本不再变化，有点象一条渐进曲线，而y却逐步下降，有点象一条指数曲线，因此作等比型密度产量回归分析。利用表12.9右边的数据求出 查r0.01(4)=0.917， | r | =0.99630.917，回归关系在0.01水平上显著（实际P2.05105）。因此有等差型密度产量回归方程 成立。当x=0和x=时分别有 二、混合型密度产量回归分析 混合型密度产量关系中y-1对x的回归方程为 K为常数，是x0时的y-1，即形成单位产量所需的最少株数。y-1的变化当x较小时近似等差型，而当x较大时则趋于等比型。y与x的关系为 Y与x的关系为 均呈混合曲线，见图12.17。 最适密度为 此时的群体产量为 因为是3参数曲线，所以需先求K值。选具备如下关系 的3个x值及对应的y-1值，有 如有多组数据(可含1个已用过的x值)均符合此条件，可用加权法平均之，即 然后令 y=ln (y-1-K), x=ln x, =ln 即可将方程线性化，并求得b和a的估计值。 例12.8高肥条件下春小麦密度x（104苗/hm2）与产量Y（10kg/ hm2）的试验结果见表12.10，试作混合型密度产量回归分析。表12.10 高肥下春小麦混合型密度产量回归关系分析数据表图12.18 高肥下小麦的密度x与群体产量Y和单株产量y的散点图 解：从散点图（图12.18）中可以看到随着x的上升Y达最大值后缓慢下降，而y却逐步下降，有点象一条指数曲线，因此做混合型密度产量关系曲线回归分析。先求K值，本例有2组x值符合条件(12.48)，即 x1=75, x2=150, x3=300 x1=150, x2=300, x3=600代入式(12.50)得 代入表12.10求出y后作线性回归分析，得 查r0.01(4)=0.917，|r|=0.99960.917，回归关系在0.01水平上显著(实际P2.40107)， 因此有混合型密度产量回归方程 成立。其最适密度为 ： 此密度下的最高群体产量为三、等比型密度产量回归分析 在等比型密度产量关系中y-1对x的回归方程为 意为随着x的变化y-1呈等比级数即指数曲线变化。此时y与x的关系为 呈负指数曲线。Y与x的关系为 呈不对称的单峰曲线。这2条曲线示于图12.19。图12.19 等比型x-y和x-Y曲线 当 xopt=b 1 时为最适密度，此时的群体产量为 : 因为y-1与x呈指数关系，所以令 即可将方程(12.52)线性化并解出和的估计值了。 例12.9一个玉米密度x(104株/hm2)试验的产量Y(10kg/hm2)结果见表12.11，试作等比型密度产量回归分析。表12.11 玉米等差型密度产量回归关系分析数据图12.20 玉米密度试验的密度x与群体产量Y和单株产量y的散点图 解：从散点图（图12.20）中可以看出随着x的增加，Y呈单峰曲线，y呈指数曲线，因此可作等比型密度产量回归分析。根据表12.11数据有 查r0.01(5)=0.874，|r|=0.99510.874，回归关系在0.01水平上显著(实际P=3.22106)，因此有等比型密度产量回归方程成立。其最适密度为 xopt=0.3284-1=3.045(104株/hm2) 相应的群体产量为 四、抛物线型密度产量回归分析 抛物线型密度产量回归方程为 据此得y与x的关系为 呈双曲线。Y与x的关系为 也是一种不对称的单峰曲线，见图12.21。 图12.21 抛物线型x-y和x-Y曲线 对Y求导可得其极值点为 此时群体的产量为 例12.10从例12.9的散点图（图12.20）中可看出群体产量的变化曲线也近似抛物线型密度产量回归曲线，见图12.22，因此也可进行抛物线型密度产量回归分析，有关分析数据见表12.12。表12.12 玉米抛物线型密度产量回归关系分析数据图12.22 玉米密度试验的密度x与群体产量Y和单株产量y的抛物线型图 解：根据表12.12进行计算得 和正规方程组 解得 回归关系的显著性检验见表12.13。表12.13 玉米抛物线型密度产量回归关系的显著性检验在0.01