福建省光泽县第二中学高中数学 正弦定理教案 新人教A版必修5(1).doc

福建省光泽县第二中学2014高中数学 正弦定理教案 新人教a版必修5教学目标知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。教学过程.课题导入: 在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事.明月高悬,我们仰望夜空会有无限遐想,不禁会问,遥不可及的月亮离地球究竟有多远呢?早在1671年,两个法国天文学家就测出了地球与月亮之间的距离大约为.他们是怎样测出两者之间距离的呢?.讲授新课探索研究 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图11-2，在rtabc中，设bc=a,ac=b,ab=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有，又, a则 b c从而在直角三角形abc中， c a b(图11-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图11-3，当abc是锐角三角形时，设边bc上的高是ad，根据任意角三角函数的定义，有ad=csinb=bsinc,则， a同理可得， c b从而 b d a c (图11-3)思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。（证法二:面积法）：如图11-3，当abc是锐角三角形时，设边bc上的高是ad，根据任意角三角函数的定义，有ad=csinb=bsinc,则在任意斜abc当中： 同理可得： 同除 即得：（证法三：向量法）：过点a作， c由向量的加法可得 则 a b ，即同理，过点c作，可得 从而 类似可推出，当abc是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（引导学生自己推导）从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即理解定理（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使，；（2）等价于，从而知正弦定理的基本作用为：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如；已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如。一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。例题分析例1：某游览风景区欲在两山之间架设一观光索道,为测两山之间b.c的距离,现在岸边选定1公里的基线ab,并在a点处测得a=60，在c点测得c=45,如何求得b.c两点的距离?cabd解： 根据正弦定理，公里例2在中，已知，cm， 求b（保留一位有效数字）。解：根据三角形内角和定理，；根据正弦定理，。评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。例3在中，已知cm，cm，解三角形（角度精确到，边长精确到1cm）。解：根据正弦定理，因为，所以，或 当时， 当时， ，评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。.课堂练习第5页练习第1（1）、2（1）题。.课时小结（由学生归纳总结）（1）定理的表示形式：；或，（2）正弦定理的应用范围：已知两角和任一边，求其它两边及一角；已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。(3)面积定理：.课后作业第10页习题1.1a组第1（1）、2（1）题。板书设计授后记课时1正弦定理习题a组基础巩固1在abc中，若，则与的大小关系为（ ）a. b. c. d. 、的大小关系不能确定2abc中,a=1,b=, a=30,则b等于 （ ）a60 b60或120c30或150 d120 3.在abc中，a10，b=60,c=45,则c等于( )abcd4在中，则 （ ）a、 b、 c、 d、5在abc中，若a=2bsina,则b为（ ）a. b. c. 或d. 或6在abc中，bcosaacosb ，则三角形的形状为（ ）a直角三角形b锐角三角形c等腰三角形 d等边三角形7在abc中，若，则b= （ ） a、30 b、45 c、60 d、90 8在abc中，若，则等于 a、2 b c、 d、9在abc中，a，b的对边分别为a,b，且a=60，那么满足条件 的abc （ ）a. 有一个b. 有两个c. 不存在d. 不能确定个数10在中，下列命题中正确的是（）a若，则b若，则c，的三角形有一解d，的三角形一定存在b组巩固提高11在abc中，c=，则的最大值是_。12.在等腰三角形abc中，已知sinasinb=12，底边bc=10，则abc的周长是 。13在abc中，已知，则边长 。14在abc中，a60，b45，则a ；b c组综合训练15在abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，且判断abc的形状。16若abc的三内角a，b，c成等差数列，且最大边为最小边的2倍，求三角形的三个内角。17在abc中，已知，a45，在bc边的长分别为20，5的情况下，求相应角c。18 (本小题共14分)在abc中，设，求a的值。19在abc中，已知角a，b，c的对边分别为a，b，c，且bcosbccoscacosa，试判断abc的形状20在abc中，已知边c=10, 又知=，求a、b及abc的内切圆的半径。参考答案:1.d 2.b 3.b 4.d 5.c 6.c 7.b 8.a 9.c 10.b 11.(提示:sinasinb=sinasin(90-a)=sinacosa=sin2a) 12. 50 13. 或14. a=,b=15.解:由已知=,又有正弦定理知= , sinacosa=sinbcosb,sin2a=sin2b ab, 2a=-2b,即a+b=.为直角三角形.16. 解: 2b=a+c,且a+b+c=180, b=60设a=60-.c=60+ 则三内角之比为1:2:3.17解：由正弦定理得 （1）当bc20时，sinc； （2）当bc时， sinc； 有两解 或120（3）当bc5时，sinc21； 不存在18解：根据正弦定理19解 bcosbccoscacosa，由正弦定理得：sinbcosbsinccoscsinacosa，即sin2bsin2c2sina