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不等式恒成立问题的求解策略江苏省海安高级中学-罗湘军Oxy4不等式恒成立问题是高中数学的一类重点问题，此类题型综合性较强，题中所涉及的未知数、参数数目有多个，处理时常常陷入困境之中.本文我们借助几条具体的例题，探讨这类问题的基本的解题的策略.一. 典例分析1. 数形结合例1 设若不等式恒成立，求a的取值范围.解析：设则，它表示的是圆心为半径为2的半圆（如图所示）.另设，它的几何意义是一条经过原点，斜率为a的直 线，将两者图像画在同一坐标系下，根据不等式的几何意义，要使得半圆恒在直线的上方（包括相交），当且仅当时才成立，所以a的取值范围就是.点评：本题是数形结合思想中的 “形”中觅“数”，“数”上构“形”的充分体现. 由表达式结构特征，能让我们联系到用其几何意义去处理.2. 变量分离例2已知二次函数若时，总有，试求a的取值范围.解析：当x=0时，恒成立.当时，即可化为令即当时恒有时，即又因为故点评：将所求变量与其他变量分离开，通过研究式中另外一个变量的已知范围来确定所求变量的范围.若所求变量为a，则根据af(x)恒成立af(x)max ； af(x)恒成立a2a+x恒成立的x的取值范围.解析：原不等式转化为(x-1)a+x2-2x+10在|a|2时恒成立,设f(a)= (x-1)a+x2-2x+1,则f(a)在-2,2上恒大于0，故有：即解得：x3. 即x(,1)(3,+).点评：在不等式中出现了两个字母：x及a,而我们都习惯把x看成是一个变量，a作为常数.本题可以转换视角，可将a视作自变量，则上述问题即可转化为在-2，2内关于a的一次函数大于0恒成立的问题. 此类题本质上是利用了一次函数在闭区间上的图象是一条线段，故只需保证该线段两端点均在x轴上方（或下方）即可.4.利用函数的单调性 例4 定义在R上的函数既是奇函数，又是减函数，且当时，有恒成立，求实数m的取值范围tg(t)o1t=m解析：由得到： 因为为奇函数，故有恒成立，又因为为R减函数，从而有对恒成立设，则对于恒成立，再设函数,对称轴为.当时，tg(t)o1即，又t=m当，即时,即,又,当时，恒成立.故由可知：.点评：此题属于含参数二次函数问题，求最值时，轴变区间定的情形，对轴与区间的位置进行分类讨论.对于二次函数在R上恒成立问题常采用判别式法，而对于二次函数在某一区间上恒成立问题往往转化为求函数在此区间上的最值问题.二变式训练1的取值范围.（）2 . 函数是奇函数，且在上单调递增，又，若 对所有的都成立，求的取值范围.（）3. 已知三个不等式，要使同时满足的所有x的值满足，求m的取值
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