第二章第六节 显式凸曲面.doc

第二章 曲面论第六节 凸曲面本节讨论的对象是由显式方程表示的曲面。一、凸曲面的概念 设是凸区域，是在上有定义的函数，若是上凸函数，则称曲面是凸曲面。二、 凸曲面的例子例1、 证明：锥面在上为凸曲面.证明：设，对任意，成立 ，于是成立，即得是凸函数，曲面是上的凸曲面.例2、设一元函数在上是递增的，又是凸的，求证：旋转曲面在上是凸曲面.证明：设，对任意，成立 ，由于是递增的，又是凸的，于是，成立，即是凸函数，曲面是上的凸曲面.三、 凸曲面的判定法 设，。定义， 。命题 在上是凸函数当且仅当对任意，在上是凸函数。 证明 必要性 设在上是凸函数。对任意，成立。于是，即得在上是凸函数；充分性对任意，是凸的，由此，得，即得在上是凸函数。设，显然，若，则 。记，则有，为函数在点处的海森矩阵。我们知道，对，则在上是凸函数的充分必要条件是，。定理 设在上是凸函数当且仅当对任意，有，。引理 对称方阵，是半正定的，必须而且只需，并且 .证明：因为对称方阵是半正定的，指的是：对任意，成立；在上式中分别取，就得；不访设注意到，由此即得证. 容易知道，当且仅当是半正的。 利用引理，我们立刻得到定理 设凸区域，于是在上是凸函数当且仅当是对一切，是半正的方阵；也就是说对一切成立。例3 设 ，求证：下半球面，是凸曲面。证明 由于，所以，由此可得 ，根据定理的结果，可知下半球面是凸曲面。例4、 讨论曲面，其中为常数.求此曲面在上为凸曲面的必要充分条件. 提示：二次连续可微，设，是凸的当且仅当：对任意，一元函数是凸的，这等价于，由此出法可证得结论.例5、在上定义曲面，其中，和，均为常数.设，求证：该曲面在上是凸曲面.例6、设是一个凸区域，函数二阶连续可导，求证：在上为凸函数的必要充分条件是，曲面上的每一张切平面都不在曲面的上方.例7、 设是凸区域，函数是上的凸函数，证明或否定：是上连续.注：函数为凸函数的定义是任意，以及成立.证明 结论是在上连续，我们分两步证明结论，（1） 对于以及上的一元凸函数，容易验证任意，成立，从而，由此即得在处连续，一般地，可得开区间上的一元凸函数连续.(2) ，则有，使得，注意到固定或时，作为一元函数都是凸函数，由（1）的结论，都是上的连续函数，从而他们有界，于是存在常数，使得 ，进一步，由（1）的结论， ，由此，即得在点处连续，故在上连续.类似于证凸函数是局部Lipschitz连续的证明过程。题名 凸曲面的内蕴几何学 作者 (苏)亚历山大洛夫著 吴祖基译出版地 北京 出版社 科学出版社 出版时间 1962.06 页数 620 开本 32 中图分类号 51.561 太极弓-凸曲面与凹曲面乌龟有很大的负重能力，用重物压在它的背壳上，或者干脆站上去，再来看乌龟壳有没有压碎？没有，龟壳并没有被破坏。乌龟壳之所以吃得起重物的压力，并不是因为组成龟壳的物质有特殊的抗压能力，根本的原因是龟壳的形状。力学上有一条极其有价值的原理，决定某一物质的牢度，除了构成物质的本身强度外，还有一个重要因素，那就是它的几何形状。什么样的几何形状最好呢？对于受外力来说，凸曲面形最好。乌龟壳，鸡蛋壳，蚌壳都是这样的几何形状。现代建筑学上的薄壳顶结构也是这样的形状。凸曲面能把外力沿曲面均匀地分散开来，在很大程度上避免了弯折现象。鸡蛋不容易捏碎，龟壳不容易压碎，就是这个道理.凸曲面的背面就是凹曲面，与凸曲面的情况正好相反，凹曲面便于力量的集中。太极拳外部都是凸曲面，内部是凹曲面，从姿势结构上保证了既能承受外力，又便于自身力量的集中。如何组成这样的结构呢？ 太极拳用“沉肩坠肘”使手臂组成这样的形状。 太极拳用“含胸拔背”使躯干组成这样的形状。 太极拳用“松腰松膝”使两腿组成这样的形状。 两腿组成的形状如同拱形桥，稳固地支撑着人的身体。三个部分组成整体的圆弧形状。从外表看处处都是平滑的弧线，无一处有棱角。姿势的转换是圆弧的吻接，一个一个圆弧将各个姿势连成一个整体，形成了