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数学建模论文排版实例介绍2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 2109915 所属学校（请填写完整的全名）： 中国矿业大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 秦飞虎 2. 张欢 3. 叶斯俊 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 2009 年 9 月 13 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：B题 眼科病床的合理安排摘 要随着医疗改革的深入，医院就医排队问题越来越受到大家的关注。本文就此类问题进行讨论，在深入分析后将问题归结为排队论问题。在问题一中，本文分别从医院和病人的角度初步选定了床位安排评价指标，然后运用最优组合赋权法和变权排序法得出这两方面各指标的权重，进一步确定了评价指标：从医院角度考虑为病床使用率、病床周转次数、病床工作日和出院者平均住院日；从病人角度考虑为平均队长、平均队列长、平均等待时间。问题二中本文建立了医院排队模型，设定排队算法原理和排队启用点，通过对启用点前后数据的统计运用matlab软件进行求解，得出床位安排方案其中病人平均等待时间为9.7941天。在各指标权重的基础上建立评价体系，对两种床位安排方案的评价值进行分析比较，最终得本文所列床位安排方案较为合理。再运用排队论的知识对模型的性能进行检验可知模型的性能较好。问题三运用马尔科夫预测模型对病人门诊时间进行预测得出病人就诊情况，再根据问题二所列的床位安排方案得当日就诊病人等待时间区间：外伤病人，白内障（双眼）病人，白内障病人（单眼），其他眼科疾病病人。通过历史数据的统计得具体等待时间，恰落在相应时间区间内，从而证明模型的准确性。在问题四中本文通过重新设定白内障手术的时间，建立新的排队算法，运用matlab软件进行求解，得三种新的床位安排方案，并对方案进行比较得较优方案。问题五建立了基于排队论思想的病床比例分配模型，通过对病床数与平均逗留时间关系的挖掘，列出目标函数和约束条件。运用lingo软件求解得最优病床分配数：外伤 7，白内障8，白内障（双眼）18，青光眼12，视网膜疾病34。【关键词】：最优组合赋权法 排队论 马尔科夫预测模型 病床比例分配目录1问题的重述42问题的假设53符号说明54问题的分析及流程图64.1问题的分析64.2思路流程图75模型的建立与求解75.1床位安排评价指标的确定75.1.1最优组合赋权法确定权重85.1.2变权排序法确定权重135.1.3评价指标的进一步确定155.2床位安排模型155.2.1医院排队模型155.2.2评价体系175.3马尔科夫预测模型195.4不同规则下的床位安排方案235.5基于排队论的优化模型236模型的进一步讨论256.1全文所用模型的总述256.1.1排队系统的进一步讨论256.1.2马尔科夫链预测模型的进一步讨论267模型的评价267.1模型的优点267.2模型的缺点268给医院领导的一封信269参考文献271 问题的重述医院就医排队是大家都非常熟悉的现象，它以这样或那样的形式出现在我们面前，例如，患者到门诊就诊、到收费处划价、到药房取药、到注射室打针、等待住院等，往往需要排队等待接受某种服务。我们考虑某医院眼科病床的合理安排的数学建模问题。该医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床79张。该医院眼科手术主要分四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。附录中给出了2008年7月13日至2008年9月11日这段时间里各类病人的情况。白内障手术较简单，而且没有急症。目前该院是每周一、三做白内障手术，此类病人的术前准备时间只需1、2天。做两只眼的病人比做一只眼的要多一些，大约占到60%。如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。其他眼科疾病比较复杂，有各种不同情况，但大致住院以后2-3天内就可以接受手术，主要是术后的观察时间较长。这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、周三。由于急症数量较少，建模时这些眼科疾病可不考虑急症。该医院眼科手术条件比较充分，在考虑病床安排时可不考虑手术条件的限制，但考虑到手术医生的安排问题，通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS（First come, First serve）规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长，医院方面希望你们能通过数学建模来帮助解决该住院部的病床合理安排问题，以提高对医院资源的有效利用。问题一：试分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型的优劣。问题二：试就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。并对你们的模型利用问题一中的指标体系作出评价。问题三：作为病人，自然希望尽早知道自己大约何时能住院。能否根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。 问题四：若该住院部周六、周日不安排手术，请你们重新回答问题二，医院的手术时间安排是否应作出相应调整?问题五：有人从便于管理的角度提出建议，在一般情形下，医院病床安排可采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案，试就此方案，建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型。2 问题的假设1假设本文所搜集的数据与评价指标的计算方法是真实可靠的；2假设同类病人手术后经过相同时间的疗养后出院；3假设双眼的白内障手术应间隔一天；4假设我们安排床位时没有出现流行的眼疾；5假设一天内眼科手术的次数不受限制；6假设视网膜疾病和青光眼属于同一类疾病，无需分开考虑。3 符号说明为了便于描述问题，我们用一些符号来代替问题中涉及的一些基本变量，所示，其它一些变量将在文中陆续说明。表格 31 符号说明主要符号符号意义各评价指标的权重状态的初始概率一阶状态转移概率矩阵病人与医院之间的偏好系数排队系统中的原队列长度每天补足的四种病人数第种病人所拥有的病床数4 问题的分析及流程图4.1 问题的分析问题一要求确定合理的评价指标体系，我们考虑通过对相关资料的查阅分别从医院和病人的角度初步设定了床位安排评价指标，然后考虑运用最优组合赋权法和变权排序法确定出两方面各指标的权重，进一步确定了评价指标。考虑到排队论的思想我们可以建立医院排队模型，可以根据题意设定排队算法原理和排队启用点，通过对启用点前后数据的统计运用matlab软件进行求解，便可以得出新的床位安排方案。再运用排队论的知识可以对模型的性能进行检验，然后在各指标权重的基础上建立评价体系，代入指标值，对两种方案下的评价值进行分析比较判断优劣。问题三根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间，由于床位安排方案与该病人之后的病人就诊情况有关。我们考虑可以运用马尔科夫预测模型对病人门诊时间进行预测得当日就诊病人之后的病人就诊情况，再根据问题二所列的床位安排方案安排床位得当日就诊病人入院时间区间。若住院部周六、周日不安排手术，则问题二所建立的医院排队模型所依据的排队原理发生改变，我们考虑可以重新设定白内障手术的时间，设定新的排队算法，运用matlab软件进行求解，便得新的床位安排方案。进一步运用排队论的思想，我们可以建立基于排队论的优化模型，通过对病床数与平均逗留时间关系的挖掘，列出目标函数和约束条件。运用lingo软件求解便可得使得所有病人在系统内的平均逗留时间最短的病床比例。4.2 思路流程图图表 41 思路流程图5 模型的建立与求解5.1 床位安排评价指标的确定要评价病床安排模型的优劣，首先就要建立评价指标体系。从医院的角度考虑，医院常用病床使用率、病床周转次数、病床工作日和出院者平均住院日，对病床的安排情况进行统计用以衡量医院工作效率和管理质量。于是本文暂时选取病床使用率、病床周转次数、病床工作日和出院者平均住院日四个指标作为从医院角度评价医院病床安排的指标。医院对全体非急症病人是按照FCFS（First come, First serve）规则安排住院，但是根据笔者某段时间对某大型医院进行深入调研发现：该段时间内由于医院的病人人数增多而医院的病床的安排不合理，引发等待住院病人排队秩序混乱、有些病人等了几天仍未安排到病床、等待住院病人队列却越来越长等一系列问题，造成了病人的极大不满，于是本文又从病人的角度对病床的安排进行考虑。病人在医院的排队过程可以看做一个复杂的排队系统，在排队论中的衡量排队系统的基本指标是平均队长、平均队列长、平均等待时间、平均逗留时间。于是本文可以选取平均队长、平均队列长、平均等待时间、平均逗留时间作为从病人角度对医院病床安排评价的指标，由于平均逗留时间与出院者平均住院日所表示的意义是一样的，因此本文暂时选取平均队长、平均队列长、平均等待时间三个指标作为从病人角度的评价病床安排的指标。通过以上的分析本文暂时初步选取病床使用率、病床周转次数、病床工作日和出院者平均住院日四个指标作为从医院角度评价医院病床安排的指标，暂时选取平均队长、平均队列长、平均等待时间三个指标作为从病人角度的评价病床安排的指标。但是最终是否仍选取这些指标作为评价医院病床安排的指标，仍需要通过对各指标所占权重进行分析。5.1.1 最优组合赋权法确定权重主观赋权法和客观赋权法机理各异,评价效果各有优劣。前者易受主观判断的干扰，后者过分依赖客观数据，缺乏对实际问题的把握，具体运用时可能会出现偏差。为了综合这两种赋权方法的特点，本文考虑运用在离差最大化准则下最优组合赋权法8。设该问题方案集表示为，其属性表示为，第个方案对第个属性的属性值记为，成为属性矩阵或决策矩阵。通常属性可分为效益型、成本型。所谓效益型属性是指属性值愈大愈好的指标，成本型是指属性值愈小愈好的指标。由于不同属性往往具有不同的量纲和量纲单位，为了消除它们带来的不可公度性，在决策之前首先应将属性指标做无量纲处理。然而，决策属性类型不同，无量纲化处理方法也将不同。对于效益型属性，一般可令 对于成本型属性，一般令 式中：，根据上述的无量纲化处理矩阵成为规范化的决策矩阵，表示第方案对第个属性给出权重系数。设第种赋权方法给出的权向量值为式中：客观赋权法求解通过对数据的搜索，我们整理出的不同年份下眼科医院病床使用情况的相关数据10如下表：表格 51 不同年份下眼科医院病床使用情况年份病床周转次数（次）病床工作日（日）病床使用率（%）出院者平均住院日200324.5207.756.98.0200627.3197.254.06.8200726.0192.652.86.8200828.6200.855.06.5将以上数据带入以下熵值法求解步骤进行求解：1) 将各指标同度量化, 计算第项评价因子下第个评价等级的比重:2) 计算第j 项评价因子的熵值 :其中,自然对数, 。如果对于给定的就全部相等, 那么:此时取极大值, 即若,于是有013) 计算第项评价因子的差异性系数对于给定的, 的差异性越小,则 越大;当全部相等时, ,此时对于评价等级的确定, 评价因子毫无作用; 当各评价等级的评价人数相差越大时, 越小, 该项评价因子对于等级确定所起的作用越大。定义差异性系数:则当越大时,评价因子越重要。4) 定义权数:于是得熵值法所求权重：主观赋权法求解运用层次分析法步骤进行求解如下：第一步，选择判断尺度量化规则。为了将两两比较的结果数量化，需要有一个表示两个要素的相对重要性数量尺度，称为判断尺度。判断尺度有很多种，这里我们将采用层次分析法所常用的1-9 标度的判断尺度量化规则。第二步，构造比较判断矩阵。判断矩阵元素的值反映了评估人员对各个评估项对于最终结果的相对重要性的认识。矩阵内由评估人员根据实际情况构造判断矩阵A, 矩阵A中填入判断尺度量化规则中所标度的数字。第三步，计算最大特征根及其对应特征向量。最大特征根为，最大特征向量为。第四步, 判断矩阵的一致性检验。为了检验判断矩阵的一致性, 需要计算他的一致性指标和随机一致性指标以及一致性比率。，式中， 为矩阵阶数。值如下表所示。表格 52 随机一致性指标值1234567000.580.901.121.241.32当白内障（单眼）其他眼科疾病白内障（双眼）；在周三、周四、周五优先级别为外伤其他眼科疾病白内障（双眼）白内障（单眼）；在周六周日优先级别为外伤白内障（双眼）白内障（单眼）其他眼科疾病。根据以上排队规则，设定排队算法设计原理：病人入院的先后顺序由病人就诊的先后顺序（或等待时间长短）以及病人所属类型的优先级别综合确定。即在就诊病人的类型一致时按照先到先服务的原则对病人入院进行顺序进行安排，若该优先级别的病人已排满且仍有病床剩余，则考虑下一优先级别，按照先到先服务的原则进行排序。本文选取2008年8月7日为排队启动点，即将8月7日当天住院病人情况以及等待住院病人的情况还有8月7日后就诊的病人情况进行统计，根据所设定的排队算法原理运用MATLAB软件进行编程（代码见附录1）求解得新的从8月7日开始入院的病人床位安排方案，由于数据有限本文仅列出8月7日到8月17日的床位安排方案见（附录2）。5.2.2 评价体系在确定评价指标6时本文从医院和病人两个角度进行分析并确定权重，在对模型进行评价时我们仍需从医院和病人两个角度进行分析。设为最终评价值，为从医院角度考虑的评价值， 为从病人角度考虑的评价值。设从医院角度考虑的评价指标病床使用率、病床周转次数、病床工作日和出院者平均住院日依次为，。从病人角度考虑的评价指标平均队长、平均队列长、平均等待时间依次为，。根据全国中医药统计摘编指标说明我们可知： 对于不同的床位安排模型，从医院角度角度考虑的各评价指标可以由以上公式（24）（25）（26）（27）求得。同时根据排队论的知识，我们可得不同的床位安排模型中平均队长、平均队列长、平均等待时间的值，我们选取入院时间为8月7日到8月16日段时间内的安排方案进行求解，结果如下表：表格 54 原安排方案下各指标值医院角度平均周转次数0.9306病床工作日9病床使用率111.53%出院者平均住院日6.5病人角度平均对长167.33平均队列长88.33平均等待时间12.6943表格 55 新安排方案下各指标值医院角度平均周转次数0.9711病床工作日9病床使用率112.10%出院者平均住院日5.3病人角度平均对长164.47平均队列长85.47平均等待时间9.7941通过对指标的分析可知各指标中一部分属于效益型指标即指标值愈大愈好的指标，一部分属于成本型指标即指标值愈小愈好的指标。于是我们考虑对成本型指标转化成效益型指标再进行求解。由于不同指标具有不同的量纲和量纲单位，为了消除它们带来的不可公度性，在决策之前首先应将属性指标做无量纲处理：于是有，其中表示各从医院角度考虑的指标所占权重，其中表示各从病人角度考虑的指标所占权重。当面对医院角度要求病床利用率最高，而病人角度要求尽快入院两个方面的权衡，要选择一个令自己满意的组合方式。对二者赋予权重，称为偏好系数，则对模型的评价函数为： 在考虑医院和病人不同角度评价时，医院的因素所占权重相比病人所占权重大，因此，分情况讨论有：选取偏好系数为0.5则原病床安排模型的评价值为0.1353，新的病床安排模型的评价值为0.1368。选取偏好系数为0.6则原病床安排模型的评价值为0.1618，新的病床安排模型的评价值为0.1634。选取偏好系数为0.7则原病床安排模型的评价值为0.1883，新的病床安排模型的评价值为0.1901。由结果可知新的床位安排模型比原床位安排模型更为合理。根据上面的过程我们已经得到了评价模型的评价体系，我们认为这样只是从一个方面说明模型的结果比较好，就像产品的性能包括功能和质量两个方面，上文中的应用说明了模型的功能较好，但是这样并不能说明模型很好，为了验证我们的模型，下面我们将对我们的模型进行性能测试。为了能够更好的对此排队系统进行性能的测试分析，下面我们引入性能定义。性能：排队系统基于病床数改变的灵敏度分析；改变病床数得对应平均等待时间如下表：表格 56 改变病床数对应平均等待时间病床数787980平均等待11.028710.701110.2315通过对表中的数据进行分析，我们可以发现：当病床数少量改变时排队时间就会产生变化，说明我们的排队系统对病床总数的灵敏度很高；当病床改变相同数目时病床增多时平均等待时间变化的较多，这也说明我们的模型有很好的适应性，可以有效的阻止病床减少时的平均等待时间的增长速率。5.3 马尔科夫预测模型在问题三中需要对病人的入院时间做出预测，根据问题可知要对病人的入院时间进行安排要根据当时住院病人还要以及等待住院病人的统计情况，因此我们首先要对就诊的病人以后来人情况作出预测。通过对问题中所给的历史数据进行整理，得到一段时间每天来的四种病人的数量：如下表所示：表格 57 已知历史数据日期外伤白内障（双眼）白内障青光眼或视网膜疾病7月13日11147月14日03157月15日02357月16日12137月17日16147月18日24247月19日11357月20日21337月21日25207月22日10327月23日22577月24日00257月25日02127月26日00227月27日22237月28日21097月29日01137月30日21217月31日21088月1日34048月2日01148月3日03178月4日13118月5日00238月6日15448月7日2445由以上数据可知科室每天患者门诊人数存在一定的波动，某种类型疾病病人在相邻两三天间出现剧烈变化，这些都在客观上增加了预测难度。病人门诊时间问题，是一个动态的随机时间序列，为了能够更好的做出预测，我们这里采用马尔科夫链预测模型。马尔科夫预测7是马尔科夫链在预测领域的一种应用。马尔科夫链9是描述一类随机动态系统的模型，它是指系统在每个时间所处的状态是随机的，从当前时间（现在）到下一时间（未来）的状态按一定的概率转移，而未来状态仅与现在状态及其转移概率有关，而与以前状态无关，即无后效性。利用马尔科夫链进行预测是根据系统变量的现在状态及其变化趋势，预测其在未来某一特定时间可能出现的状态，从而为决策提供依据。为了更好的讨论，我们决定分别讨论这四种类型病人未来的到来情况，下面就以青光眼及视网膜疾病的情况为例。根据数据的分布情况，将数据按照组间距公式划分为4种状态，其中，则各状态设定范围为：状态1，结果如下表所示：表格 58 数据分布情况日期青光眼及视网膜疾病的实际人数状态7月13日437月14日537月15日537月16日327月17日437月18日437月19日537月20日327月21日017月22日227月23日737月24日537月25日227月26日227月27日327月28日947月29日327月30日117月31日848月1日438月2日438月3日738月4日118月5日328月6日428月7日53根据上表可以得到每种状态的初始概率为：一阶状态转移概率矩阵为： 通过对上面的数据进行处理计算，我们可以利用下式对9月12日的门诊情况进行预测：求得时刻1时的状态概率为：，根据结果可以看出状态3发生的概率较大，根据下式继续向下运算： 我们可以得到以后每天的发生情况，结果如下表所示：表格 59 预测情况日期8/88/98/108/118/128/138/148/158/168/17状态3333333333上表中的计算数据可以看出每天都是状态3发生的概率比较大，但是状态2的发生概率也较大，所以我们认为状态2是有可能发生的，而状态1和4相对于状态2和3的概率较小，因此我们认为可以不考虑状态1和4的发生，但是状态2的发生要适当考虑，因此我们认为最终取的预测空间为3-5人，也就是说我们最终得到的是每天有3-5个青光眼或视网膜疾病的病人来门诊。利用上面的过程，我们可以依次对外伤、白内障（双眼）、白内障情况进行讨论，得到最终结果为：表格 510 预测最终结果日期外伤白内障（双眼）白内障青光眼或视网膜疾病8/80-22-31-23-58/90-22-31-23-58/100-22-31-23-58/110-22-31-23-58/120-22-31-23-58/130-22-31-23-58/140-22-31-23-58/150-22-31-23-58/160-22-31-23-58/170-22-31-23-5根据以上结果，本文考虑选取各类病人人数区间的下限值和上限值分别计算。设病人8月7日前来就诊，根据问题二中所设定的病床安排方案运用matlab软件编程求解。将所预测的病人人数区间的下限值代入床位分配方案中可得外伤病人等待入院时间为0日，白内障（双眼）病人等待入院时间为8日，白内障病人（单眼）等待住院时间为7日，其他眼科疾病病人等待入院时间为7日；将所预测的病人人数区间的上限值带入床位分配方案中可得外伤病人等待入院时间为2日，白内障（双眼）病人等待入院时间为10日，白内障病人（单眼）等待住院时间为10日，其他眼科疾病病人等待入院时间为14日。于是可得各类病人的等待时间区间分别为：外伤病人等待入院时间区间为，白内障（双眼）病人等待入院时间区间为，白内障病人（单眼）等待住院时间区间为，其他眼科疾病病人等待入院时间区间为。同时对历史数据进行统计，得具体的等待时间，作出对比图如下：表格 511 时间区间与实际时间对比图病人类型等待时间区间等待时间（日）外伤1白内障（双眼）10白内障（单眼）10其他眼科疾病10由对比图可知实际的等待时间均落在我们所预测的时间区间中，由此可知我们所确定的时间区间的方法是合理可行的。运用该模型可以根据病人特定的疾病类型和特定的就诊时间预测出较为合理的时间区间。5.4 不同规则下的床位安排方案若该住院部周六、周日不安排手术，则问题二中模型的床位安排方案需作出调整。由于住院部周六、周日不安排手术，我们考虑此时白内障病人的手术时间可以进行调整，通过对题意的充分理解我们可以将白内障手术时间分别安排在周一和周三、周二和周四还有周三和周五。于是我们可以就这三种情况分别讨论：当白内障手术时间分别安排在周一和周三时，周六、周日不安排手术，利用问题二中的排队原理，仍选取2008年8月7日为排队启动点，即将8月7日当天住院病人情况以及等待住院病人的情况还有8月7日后就诊的病人情况进行统计，运用MATLAB软件进行编程，得病人平均等待时间为18.97日。当白内障手术时间分别安排在周二和周四时，其它条件与上述一致得病人平均等待时间为19.44日。当白内障手术时间分别安排在周三和周五时，其它条件与上述一致得病人平均等待时间为21.88日。由以上分析可知将白内障手术时间定在周一和周三时，就诊病人入院等待时间最短，较为合理。5.5 基于排队论的优化模型在考虑病床的比例分配时，由于病人流量不稳定，每种病人的来源不稳定，各种病人之间也没有形成严格的比例，随机性大，可控性小，这样的情况就导致如果我们简单的按病人的大致比例进行病床分配时就可能出现某一天某一类病人的病床利用率很小，而另一类病人却排队成龙的情况，所以这种简单的划分是不科学的，因此我们希望通过排队论3的相关知识，结合平均等待时间等指标与服务器台数之间的关系，确定最终的病床分配。通过对此题中所给的数据进行相关检验，我们可以发现病人到达时间及病人的住院时间均不服从某种特定的分布，因此只能做一般分布处理。根据排队论2理论，这种排队系统的解很难得到，为了简化问题的求解，我们可以认为在高负荷状态下，即系统的所有病床都被长期占有。因此整个系统可看作一个类似以T为到达间隔。于是对各类病人进行一般分布处理得：外伤类病人病床数与等待时间统计时间：2008年7月13日9月11日统计天数：61天等待住院病人总数为：64；平均每天到达病人数：1.05人次，即每天病人平均到达间隔：0.9524天，标准差为：0.9308，方差为：0.8664住院总数为：63，平均住院天数6.8545天，标准差：1.7101，方差：2.9243白内障（单眼）类病人病床数与等待时间统计时间：2008年7月13日9月11日统计天数：61天等待住院病人总数为：100；平均每天到达病人数：1.6393人次，即每天病人平均到达间隔：0.61天，标准差为：1.2015，方差为：1.4437住院总数为：79，平均住院天数5.2361天，标准差：1.4385，方差：2.0693白内障（双眼）类病人病床数与等待时间统计时间：2008年7月13日9月11日统计天数：61天等待住院病人总数为：133；平均每天到达病人数：2.1803人次，即每天病人平均到达间隔：0.4586天，标准差为：1.5418，方差为：2.3773住院总数为：104，平均住院天数8.5610天，标准差：2.0783，方差：4.3195青光眼类病人病床数与等待时间统计时间：2008年7月13日9月11日统计天数：61天等待住院病人总数为：63；平均每天到达病人数：1.0328人次，即每天病人平均到达间隔：0.9683天，标准差为：0.9912，方差为：0.9825住院总数为：48，平均住院天数10.4872天，标准差：1.6775，方差：2.8139视网膜疾病类病人病床数与等待时间统计时间：2008年7月13日9月11日统计天数：61天等待住院病人总数为：170；平均每天到达病人数：2.7869人次，即每天病人平均到达间隔：0.3588天，标准差为：1.6408，方差为：2.6923住院总数为：134，平均住院天数12.5446天，标准差：2.4395，方差：5.951通过对上述数据的分析，进一步可以得到每一类病人在理论上所需床位数的最小值，如下表所示：表格 512 各类病人所需最少床位数外伤白内障（双眼）白内障青光眼视网膜疾病89191135观察上表，不难发现这时候所需的最小床位数已经大于医院总共提供的床位数79，因此并不能按照这种方法进行分配，但是根据排队论的相关知识，我们可以得到床位变化时，每一类病人相应的等待时间的变化，因此我们考虑通过最优所有病人的等待时间进而确定等待时间最短时病床的分配情况。为了对问题进行说明，我们现对符号进行定义：第类病人所分到的病床数；：第类病人平均等待时间；：第类病人平均逗留时间；：第类病人的平均到达间隔；：第类病人的平均住院时间；：第类病人到达时间间隔的方差；：第类病人的住院时间的方差；通过对此系统进行分析，我们可以得到等待时间的近似表达式如下： 题目中希望我们能建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间最短的病床比例分配模型，我们决定对平均逗留时间进行优化处理，建立优化模型。目标函数：条件函数： 为整数；通过LINGO(代码见附录3)求解可以得到此问题的最终结果为：外伤 7，白内障8，白内障（双眼）18，青光眼12，视网膜疾病34。6 模型的进一步讨论6.1 全文所用模型的总述在本文的求解过程中，我们共建立了5种模型：权重确定模型、评价模型、排队系统模型、预测模型及优化模型。问题一我们以进行了较详述的讨论，也就是说本文中的权重确定模型，本身就已经很全面、系统，不需要再进行进一步的讨论。评价模型直接建立在所得到的指标的基础上，可以直接进行求解比较，因此评价模型也不需要展开后进行进一步的讨论。对于问题5中的优化模型，虽然原则上很正确，但是却不能寻找最优解，不过这个我认为并不是说模型的问题，因此这里也不进行相关讨论。那么这样的话，只有排队系统模型和预测模型是不够完美的，下面我们将分别进行进一步的讨论。6.1.1 排队系统的进一步讨论在前文中的排队模型中，我们在深刻分析题意的基础上得到了相关的病人入住的相关原则，对病人的入院进行了分日期的讨论，但是这样的模型仅仅是一个分配模型，通过主观认为其结果，很难有说服力，虽然对问题进行了评价及检验得到模型的结果和性能都不错，但是为了使得模型的结果本身就能体现出其结果的优劣，我们认为可以将评价模型所用的评价指标作为约束条件对排队模型的结果进行优化。这样问题就转化为一类优化问题。优化目标是医院病床的利用率和病人的满意度能够同时达到较理想的效果，使病人和医院达到双赢。为了统一病床的利用率与病人满意度，我们引入了偏好系数的概念，同上文中一样，目标函数为：这样通过编程，在运行时动态掌握目标值，不断对安排入院的人进行尝试改变，最终得到的结果既可满足医院要求也可满足病人要求。6.1.2 马尔科夫链预测模型的进一步讨论观察前面的马尔科夫链模型，我们不难发现通过马尔科夫链预测得到的结果基本以后每天都是一样的，我们认为这样太过于理想化，而实际的生活中并不可能达到这种理想状态，分析马尔科夫链的过程我们可以发现那是一个必然的过程，如果由时刻0向时刻1改变时，系统变成了某种状态，不难发现这种状态本身发生的概率就很大，而且之所以会转向这一状态说明这个状态接受转移的概率较大，当由时刻1再向时刻2转移时就强化了这时向此状态转移的优势，所以就导致了这种必然的结果，通过对数据进行不断的预测，最终的状态出现概率趋于稳定，这样也就更证实了我们的分析。通过分析，我们认为一般情况下医院的病人数是每天差别不太大的，所以我们可以把每天的病人数量分为两