利息习题解答第六章d.pdf

版权所有 翻版必究 第六章习题答案 1现有期限为18个月的贷款 融资费用为贷款额的12 还款方式为逐月偿还 计算该贷款的APR 解 由题意得K 0 12 L 利用 K L 18 a18pj L j 1 22 于是APR 12 j 14 64 2某金融机构的贷款方式为 每100元的期限为16个月的贷款 每月需偿 还7 66元 计算贷款实利率 解 由题意得 100 7 66 a16pj j 0 025 于是APR 12 j 30 实利率i 1 j 12 1 34 49 3现有1年期的12000元贷款 可以在以下两种偿还方式中任选一种进行还 贷 A 在贷款获得批准时 支付1000元融资费用 每月偿还1000元 B 以 i 12 12 的利率逐月摊还 1 计算两种方式的APR 2 计算两种方式的利息差 解 1 1000 a12pj j 12000 1000 j 1 3647 APR 16 38 北京大学数学科学学院金融数学系第 1 页 版权所有 翻版必究 2 A 方式的利息差 K 1000 B 方式的利息差为 12 R L 12 12000 a12pj j 12000 794 26元 4某人走访了三家银行了解汽车贷款的报价 其中还款方式为两年内逐月偿 还 第一家银行每月偿还X 融资费用为原始贷款额与还贷年限的乘积再乘 以6 5 第二家银行每月偿还Y 实利率为12 6 第三家银行每月偿还Z 月 换算名利率为12 试比较X Y和Z的大小 解 第一家银行 K 2 6 5 L 24 X L 解得X 4 708 L 第二家银行 由L Y a24pj 以及 1 j 12 1 126 解得Y 4 703 L 第三家银行 由L Z a24p1 解得Z 4 707 L 故X Z Y 5一种年利率为12 的8000元贷款通过下面的3次还款偿还 3月底还2000元 9月 底还4000元 12月底还X 试分别用美国计息法和商人计息法计算X 解 美国计息法 3 月底8000 1 12 3 12 2000 6240元 9 月底6240 1 12 6 12 4000 2614 4元 12 月底2614 4 1 12 3 12 X 0元 X 2692 83元 北京大学数学科学学院金融数学系第 2 页 版权所有 翻版必究 商人计息法 8000 1 12 2000 1 12 9 12 4000 1 12 3 12 X 0 X 2660元 66 解 精算方法 10000 1 10 500 1 10 11550元 美国计息法 500 10000 10 1000 第二年底应还款 20000 10000 1 10 11000元 7某家庭计划购买一套价值160000元的住房 首期支付房款的25 余款 以30年9 的利率抵押贷款付清 如果结算日为9月16日 融资费用为两个 点 其中1 5个点计入摊还利息 计算本年度内偿还利息的总合以及APR 解 其中1 5个点计入摊还利息 如何理解 8某15年的抵押贷款 原计划内月偿还1000元 按月计息 实际上 除了每月 的正常还款外 借款人每月还多还一定金额 这部分恰好等于下一次正常 还款的本金 因此 只过了90个月 贷款提前还清 证明 节省的利息为 90000 1000 a180p s2p 元 证 每次多还了下一次正常还款的本金 每次相当于正常的两次还款 利息节省了原正常还款中第 2 4 180 次时的利息 北京大学数学科学学院金融数学系第 3 页 版权所有 翻版必究 总共节省 i 1000 a179pi a177pi a1pi 1000 1 v179 1 v177 1 v1 90000 1000v 1 v180 1 v2 9某建筑承包商获得总额为2000000元的建筑贷款 分3次拨款 当前可得1000000元 然后每隔6个月得到500000元 利息按半年换算名利率15 计算 直至第1年 底 从第1年底开始 所有的累积本金和利息按30年月换算名利率12 的抵押 贷款看待 已知还款方式为 加上条件 期末付款 前5年的月偿还金额为 以后各年的一半 计算第12次偿还的金额 解 设第一年底为比较日 前 5 年每次 X 元 1000000 1 15 2 2 500000 1 15 2 500000 2Xa360p1 Xa60p1 X 14671 54元 第 12 次偿还 14671 54 元 10已知100000元的贷款计划30年内按年度偿还 年利率为8 结算日支付的融 资费用为贷款额的2 且融资费用不计入贷款 实际上 在第2年底的正常 还款后 借款人将余额一次性还清 考虑融资费用和提前还贷因素计算该贷 款的实际年利率 解 设原计划每年还款为R 由L R a30p8 R 8882 74 于是B2 R a28p8 98163 89 现在L 100000 1 2 98000 利用 98000 R a pi 2 B2 1 i 2 i 9 14 北京大学数学科学学院金融数学系第 4 页 版权所有 翻版必究 11现有10年期可调利率抵押贷款 每季度偿还1000元 最初的季换算名利率 为12 从第13次还款后开始季换算名利率调整为14 计算第24次还款后 的未结贷款余额 解 利息调整后 还款期限不变 调整还款额 第 24 次还款后未结余额为 1000a27p3 a27p3 5 a16p3 5 12822 94元 12现有30年期100000元抵押贷款按以下方式偿还 前5年每年底的偿还金额 比前1年增加5 从第6年开始还款金额固定为第5年的还款金额 实利率 为9 1 计算第1年底的偿还金额 2 是否会出现负摊还的情况 解 1 设第一年底的偿还金额为R 由题意得 100000 R 1 1 5 5 1 9 5 9 5 R 1 054 a25p9 1 095 R 8317 8 2 会出现负摊还的情况 因第一年R I1 9000 13某家庭购买了120000元的住房 首期付款15 假定该家庭在10年前已经申 请了60000元年利率为8 的30年期抵押贷款 现在开始修正这笔贷款 仍然 按原计划的时间偿还 但是年还款额以年利率10 计算 计算总的年还款 额 解 利息调整后 还款期限不变 设调整前每期还款 R 元 调整后每期还款额 为 X Ra30p8 60000 R 5329 65元 Xa20p10 Ra20p8 X 6146 34元 北京大学数学科学学院金融数学系第 5 页 版权所有 翻版必究 14某退休夫妇拥有一套价值100000元的住房 若将此住房用于月换算名利率 为12 的年金方式抵押贷款 则该夫妇每月可得退休金500元 如果房子本身 以6 的比例逐年升值 计算第5年底该夫妇对这套房子拥有的价值 解 第五年底该夫妇拥有的这套房子的价值为 不明白此事件的实际操作过 程 100000 1 065 500s60p1 92987 7元 15现有1200元的贷款 融资费用为108元 计划在1年内按月等额偿还 分别用 四种APR的近似方法计算第4次还款后的未结贷款余额 解 R K L n 1200 108 12 109 第 4 次还款后未结余额为 最大收益法 1200 4 109 764元 最小收益法 1200 108 4 109 872元 固定比率法 1200 8 12 800元 直接比率法 1200 108 8 12 108 36 78 822 15元 北京大学数学科学学院金融数学系第 6 页 版权所有 翻版必究 16已知某贷款案直接比率法计算APR 且计划在9个月内偿还贷款 如果第2次 还款中的利息为20元 计算第8次还款中的利息 解 由题意得 20 K 8 45 I8 K 2 45 I8 5 17总额为690元的贷款计划在12个月内按月偿还 若前6次每次还50元 后6次 每次还75元 试用固定比率法近似计算贷款利率 解 L 690 K 50 6 75 6 690 60 因此按固定比率法 每次还款中有 K K L 2 25用于偿还利息 23 25用于偿还本金 于是 Bt 690 t 46 0 t 6 414 t 6 69 7 t 12 利用 i 12 K 12 t 1Bt i 14 697 18如果某贷款用最大收益法计算的APR为20 按最小收益法计算的APR为12 5 试计算用直接比率法的结果 解 由最大收益法和最小收益法的公式有 2mK n 1 L n 1 K 20 2mK n 1 L n 1 K 12 5 北京大学数学科学学院金融数学系第 7 页 版权所有 翻版必究 解得 n 1 L 2mK 6 5 n 1 K 2mK 1 5 用直接比率法计算 APR 2mK n 1 L 1 3 n 1 K 1 7 14 3 19已知某贷款在5年内按年度偿还 每次偿还P 且此贷款按直接比率法以年利 率i摊还 另有一笔贷款具有相同的还款时间和金额 当时贷款按精算方法 以年利率5 摊还 如果第2年底两种方法的未结贷款余额相同 计算 a5pi 解 设贷款总额为L 则按直接比率法 K 5 P L 因此B1 2 6 15 L P 按照精算方法 B2 2 L a3p5 a5p5 依题意有 B1 2 B2 2 L P a5pi a5pi 4 31 20某资产的折旧期为10年 残值为0元 如果第3年的折旧费为1000元 试分别 用偿债基金法 j 0 05 直线法和年限总合折旧法计算第9年的折旧费和资 产的最初价值 并说明为什么余额递减法在这里不适用 解 n 10 s 0 偿债基金法 R A S s10p5 D3 R 1 0 05 2 1000 北京大学数学科学学院金融数学系第 8 页 版权所有 翻版必究 解得 D9 R 1 0 05 8 1340 10 元 A 11408 52 元 直线法 D9 D3 1000 元 A Dt 10000 元 年限总和折旧法 D3 A S 55 8 1000 于是 D9 A S 55 2 250 资产最初价值为 A Dt 6875 元 余额递减法 余额递减法每次残值是成比例递减的 总不会是 0 元 不适用 21同时购买两台机器 买价均为40000元 折旧期均为20年 第一种机器按年限 总和折旧法计算的折旧后的残值为5000元 第二种机器按偿债基金法计算得 折旧 j 3 5 后的残值为S 如果在第18年底两种机器的账面价值相等 计 算S 解 A1 A2 40000 n 20 S1 5000 北京大学数学科学学院金融数学系第 9 页 版权所有 翻版必究 第 18 年底两种机器的帐面价值分别是 一 A1 S1 3 210 S1 5500 二 A2 S2 a20p a2p S2 5346 58 S2 a20p a2p a20p 解得 S2 177 32 元 22某种设备的买价为15000元 15年后的残值为2000元 开始其账面价值按复 利方式进行折旧计算 年利率为5 从第10年底起计算折旧的方法改为直线 法 计算第12年底该设备的账面价值 解 复利方式就是指偿债基金中 i j A 15000 S 2000 n 15 i j 15 R iA A S snpi i 1352 45 元 第 10 年底余额为 Sv5 Ra5pi 7422 45 元 第 12 年底的帐面价值是 7422 45 3 5 2000 2 5 5253 47 元 23某企业购买了甲 乙两种机器 预计寿命均为14年 残值均为1050元 已知 机器甲的买价为2450元 机器甲按直线法折旧 机器乙按年限总和折旧法折 旧 如果甲 乙两种机器各年折旧费用的现值之和以年利率10 计算之结果 相同 计算机器乙的买价 解 设乙机器的买价为A 1 甲机器每年折旧费为2450 1050 14 100 于是甲机器折旧费现值为PV1 100 a14p10 736 67 2 乙机器第t年折旧费为Dt 15 t 15 7 A 1050 于是乙机器折旧费现值为PV2 Da14p1 由PV1 PV2 A 2216 09 北京大学数学科学学院金融数学系第 10 页 版权所有 翻版必究 24某新机器价值为11000元 残值为900元 使用年限为100年 如果设 BV SLt 按直线法折旧在第t年底的账面价值 BV SDt 按年限总和折旧法在第t年底的账面价值 问 t取何值时 BV SLt BV SDt达到最大 解 1 直线法 每年折旧费为11000 900 100 101 BV SLt 11000 101t 2 Dt 101 t 5050 1100 900 2 101 t BV SDt 11000 t 1 Di t2 201t 110000 定义f t BV SLt BV SDt t2 100t 由 f0 t 0 t 50 25假定某资产的最初价值为5000元 n年后的残值为2000 如果按年限总和折 旧法计算 第12年的折旧费用为100元 计算n 解 Sn n n 1 2 Dt n t 1 Sn 3000 由D12 100 n 15或44 26假定寿命为n年的资产在t 0 t n 时刻的账面价值为t的连续函数Bt 如果按直线法计算的Bt与按固定比率法计算的Bt在t0时刻的差异最大 试 用n A和S表示t0 解 1 直线法Bt A A S n t 2 固定比率法由A 1 d n S d 1 S A 1 n 而Bt A 1 d t 于是差值f t A A S n t A 1 d t 由f0 t 0 t0 n ln 1 S A ln ln S A ln S A 北京大学数学科学学院金融数学系第 11 页 版权所有 翻版必究 27某机器的买价为10000元 10年后的残值为1000元 每年的维护费用为500元 年利率为5 计算 1 定期费用 2 资本化成本 解 1 H iA A S snpi M 500 9000 s10p5 500 1715 54 元 2 K H i 34310 8 28机器甲买价为1000元 9年后的残值为50元 机器乙买价为1100元 9年后的 残值为200元 如果假定两种机器每年的维护费用相同 问 在什么利率水平 时两种机器无差异 解 设两种机器维护费用为M 依题意有 1000 1000 50 i s9pi M i 1100 1100 200 i s9pi M i i 4 61 29已知某种品牌塑料托盘的使用寿命为8年 单价为20元 金属托盘的使用寿 命为24年 有用户需要这种金属托盘产品使用48年 同期的通货膨胀使托盘