双变量恒成立题型的思路探求2.doc

双变量恒成立题型的思路探求陕西师范大学数学系 （710062） 罗增儒2012年高考数学陕西卷文、理科最后一题（第21题）都有一问是“双变量恒成立题型”，我们将其整理为：例1 已知二次函数，若对任意的，有，求的取值范围它与下述竞赛题形式上有点类似（都是二次函数在闭区间上给出一个绝对值不等式，求某个系数的取值），但内在的数学结构很不相同：例2 已知，当时，试求的最大值（2010年高中数学联赛第9题）本文的重点是探讨“双变量恒成立题型”（例1）的解题思路（同时也会涉及考试技术），分4步作讲解如下1弄清条件是什么，一共有几个，其数学含义如何？我们说条件有2个： （1）给出上的二次函数这时，二次函数的相关性质可以视为已知比如，图象的开口向上，对称轴为，最大值为，最小值需分类讨论：或为（当时）、或为（当时）等这些性质在尔后的解题中可能用到、也可能用不到，没关系，理解题意时都要进行广泛的收集与动员（2）这个二次函数满足：对任意的，有这句话可以运算为，但不便于继续操作，因此，对这句话的数学含义作更便于操作的理解是本题求解的一个关键我们说，其中一个等价解释是：在上的最大值不超过4，（第一步转化）而在上的最大值，等于在上的最大值减去在上的最小值，又有等价条件 （第二步转化）这时，差只与有关（会在求差运算中消去），实质上是的函数，记为，有（第三步转化）下文会进一步揭示 2弄清结论是什么，一共有几个，其数学含义如何？题目的结论是一句话：求的取值范围包含充分性与必要性两个方面，不妨理解为两个结论（1）必要性：满足条件的都在这个“范围”里；（2）充分性：这个“范围”里的都满足条件3弄清题目的条件与结论有哪些数学联系，是一种什么样的结构条件间接提供的不等式，结论求的范围，把两者联系起来，在我们的眼前就出现这样一个数学结构：建立并求解的不等式；也可以说，找出一个有上界4的函数，由上界求自变量的范围问题是，不等式中有两个变量在上任意取值，如何处理“两个变量恒成立”构成了本题的难点和关键，也区别于“一个变量恒成立”问题（如例2）我们认为至少有两个途径可以化解难点、抓住关键：（1）一步到位，找“充要条件”如上所说条件“任意的，有”，等价于 问题转化为求，这是可操作的由抛物线的性质知： 记，有 这实际上是确定了函数的表达式，然后便可由值域去确定自变量的范围显然有（2）分两步走，先找“必要性”、再验证“充分性”这在可靠性上比找“充要条件”低（很容易出错），但比找“充要条件”容易下手如特别地，取为由任意的，有，更有，得 下来，只需验证时，对任意的，有恒成立特别地，取为，有，对任意的恒成立，得 ，对任意的恒成立，即 ，对任意的恒成立，得 下来，只需验证时，对任意，有恒成立至此，两条思路都基本打通4基本解法下面给出两个基本解法，读者不难写出更多的解法解法1 对任意的，有，等价于，等价于 据此分类讨论如下（1）当，即时，抛物线的对称轴位于区间外部，在上为单调函数，最大、最小值在区间端点取到，有 ，与题设矛盾（2）当，即时，抛物线的对称轴位于区间内部，有 恒成立综上得，的取值范围为解法2 （必要性）因为对任意的，有，更有，得 （充分性）当时，有，知抛物线的对称轴位于区间内部，对任意的，有 恒成立综上得，的取值范围为说明1 令，由，可转而讨论，这就更清楚表明是的函数说明2 找出的表达式可以揭示问题的深层结构，并使成为显然（画出的图象也很显然）说明3 下述一些解法，由于缺少充分性的步骤，均为考试的“会而不对、对而不全”当中，既有知识性错误，又有逻辑性错误误解1 因为对任意的，有，更有，即 ，得 所以，的取值范围为误解2 由，有 ，所以，的取值范围为误解3 在上取值，及，有 消去，可解得 有 ，对任意的恒成立但函数（）在时取到最小值，故得 所以，的取值范围为误解4 对任意的，有，相减 有 ，对任意恒成立，得 ， 即 ， 所以，的取值范围为联系地址陕西省 西安市 长安南路199号 陕西师范大学雁塔校区444信箱 邮编710062 手机-mail zrluosnnueducn约 稿 函罗老师：您好！我是课程导报编辑赵冠军，也是您曾经的学生（陕西师范大学数学系973班）。2012年全国高考已经结束，各地开始研究今年高考试题。课程导报教研周刊是一份服务于全国初高中教师的教研报纸。值此高考结束，我教研部打算在近期教研周刊上刊发一篇关于2012年高考试题研究的文章。应各地老师要求，特向您约稿。稿件题目自拟。稿件主题：2012年高