第2章 优化设计的数学模型及基本要素.pdf

1 第 2 章 优化设计的数学模型及基本要素 第 2 章 优化设计的数学模型及基本要素 Chapter 2 Mathematical Modeling for Optimization 2 1 数学模型的建立数学模型的建立 mathematical modeling 建立数学模型 就是把实际问题按照一定的格式转换成数学表达式的过程 数学模型 建立的合适 正确与否 直接影响到优化设计的最终结果 建立数学模型 通常是根据设计要求 应用相关基础和专业知识 建立若干个相应的 数学表达式 如机械结构的优化设计 主要是根据力学 机械设计基础等专业基础知识及机 械设备等专业知识来建立数学模型的 当然 要建立能够反映客观实际的 比较准确的数学模型并非容易之事 数学模型建 的过于复杂 涉及的因素太多 数学求解时可能会遇到困难 而建的太简单 又不接近实际 情况 解出来也无多大意义 因此 建立数学模型的原则 建立数学模型的原则 抓主要矛盾 尽量使问题合理简 化 Principle The problem is simplified as much as possible 由于设计对象千变万化 即使对同一个问题 由于看问题的角度不同 数学模型建的 可能也不一样 建立数学模型不可能遵循一个不变的规则 本课也不准备把大量的时间花在 数学模型的建立上 仅想以几个例子来演示一下数学模型的建立过程 使学生从中得到一些 启发 Exp 2 1 例例 2 1 用宽度为cm24 长度cm100的薄 铁皮做成cm100长的梯形槽 确定折边的尺寸 x和折角 如图 2 1 所示 使槽的容积最大 解解 由于槽的长度就是板的长度 槽的梯形 截面积最大就意味着其容积最大 因此 该问题 就由 求体积最大变成求截面积最大 槽的梯形 截面积为 图 2 1 2 1 S 高 上底边 下底边 其中 上底边 x224 下底边 cos2224xx 高 sinx 定义 定义 该优化设计问题的目标函数是槽的梯形截面积S 设计变量为 x 问题可以简单地 归结为 选择适当的设计变量 x 在一定的限制条件下 使目标函数S达到最大 限制条 件为 120 2 0 n 设计空间就无法用图来表示 称为超越空间 transcend space 3 设计变量的选取 设计空间的维数表示设计的自由度数 设计变量越多 设计自由度就越大 可供选择 的方案就越多 容易得到比较理性的结果 但随着设计变量数目的增多 必然会使问题复杂 化 给寻优带来更大的困难 因此 在满足基本设计要求的前提下 应尽量减少设计变量的 个数 把对目标函数影响较大的那些参数选作设计变量 但也应注意实用性 如为了选择一 种最合适的材料 将材料的某些性能取为设计变量 但这样求得的最优值 从材料供应方面 往往难以实现 The variables are chosen as a few as possible 2 2 2 目标函数 Objective Function 1 目标函数的表示 在优化设计中用于评价设计方案好坏的衡量标准 Criterion 称为目标函数或评价函 数 它是设计变量的函数 记作 21n xxxfXfK 在工程实际中 优化设计问题的目标函数有二种形式 目标函数的极小化或极大化 即 Maximization Minimization min Xf或 max Xf 其实 目标函数 Xf的极大化就等价于的极大化就等价于 Xf 的极小化的极小化 为了统一优化算法和程序 以 后最优化均指目标函数的极小化最优化均指目标函数的极小化 建立目标函数是整个优化设计中的重要环节 在机械设计中 目标函数主要根据设计 准则来建立的 对于机构的优化设计 这个准则可以是运动学或动力学的特性 如运动误差 振动特性等 对于另部件的设计 这个准则可以是重量 体积 效率等 对于产品设计 也 可以将成本 价格 寿命等作为设计追求的目标 2 单目标和多目标优化问题 Single or Multi Objective Function 在优化设计中 数学模型中仅包含一项设计准则 即目标函数的称为单目标优化问题 同时包含若干个设计准则的就是多目标优化问题 一般来说 目标函数越多 对设计的评价 就越周全 设计的综合效果就应该越好 但对问题的求解就会越复杂 本课主要解决单目标 优化问题 在最后介绍一些多目标问题的求解方法 3 目标函数等值线 Level Curves Isoline 目标函数 Xf是设计变量x的函数 一组设计变量 T n xxxK 21 就代表一个设计方 案 在设计空间就确定了一个设计点 k x 就有确定的目标函数 k xf与之对应 但反过来 一定值的目标函数CXf 却有无穷多个设计点与之对应 这无穷多个目标函数相同的 09 6 设计点的集合 就称为目标函数的等值线 二维函数是等值线 三维函数是等值面 三维以 上是等值超曲面 2 2 3 约束条件 Constraint 如前所述 设计空间是所有设计方案的集合 但从工程实用角度上来说 不是所有的设 计方案都能接受 如负面积等 为了得到可以接受的 可行的 设计方案 feasible project 必须根据实际情况和要求 对设计变量的取值加以限制 这种限制就称为约束条件 1 约束种类 等式约束和不等式 Equality Inequality 12 0 1 2 uun gXgx xxum KK 2 1 0 21 npvxxxhXh nvv KK 其中 pm 分别表示不等式和等式约束的数目 注意p必须小于n 即np 图 2 5 09 7 应注意在本书中 不等式约束都写成0 Xgu的形式 对于0 Xgu的约束 可 以写成0 Xgu的形式 2 可行域与非可行域 Feasible Set 由于引入约束以后 设计点在n维设计空间内被分成二部分 满足约束条件的设计点 称为可行设计点 可行设计点的集合称为可行域 位于可行域边界上的设计点亦是可行点 Feasible Point 过该点的约束为起作用约束 Active Constraint 否则 为不起作 用约束 Inactive Constraint 不满足约束条件的设计点的集合为非可行域 下面以二维 问题为例说明之 四个不等式约束 一个等式约束 可行 非可行点 起作用 不起作用约束 如图2 6 所示 图 2 6 2 2 4 数学模型的一般形式 General Form 由设计变量 目标函数和约束条件组成的数学模型实际上就是优化问题的数学抽象 用文字 可以表述为 在满足一定的约束条件下 寻找一组设计变量 12 T n Xx xx K 使目标函数 Xf达到最优值 其数学表达式为 n n RXxxxfXf min 21 K ts 12 0 1 2 uun gXgx xxum KK 2 1 0 21 npvxxxhXh nvv KK 在数学模型中 如果目标函数和约束函数 XhXgXf vu 都是设计变量X的线 性函数 则称线性规划问题 Linear Programming 否则为非线性规划问题 Nonlinear Programming 当0 pm时 则 称 为 无 约 束 优 化 问 题 Unconstrained Optimization 当pm 中有一个不为零 即为约束优化问题 Constrained Optimization 在工程实际中 不加任何限制的设计问题是很少遇到的 研究它仅有理论意义 而绝大多数 的工程优化问题都属于非线性约束优化问题 The n dimensional vectors 12 T n Xxxx K whose values are restricted to 09 8 satisfy a number equations 0 v h X and a set of inequalities 0 u gX are searched to get the minimum of a function f X Review 2 Mathematical Modeling l General Form 12 12 12 min 0 1 0 1 n n uun vvn f Xf x xx xR stgxgx xx um h xh x xx vpn K K K K K The n dimensional vector 12 T n Xx xx K whose components are subjected to a set of constraints is searched to get the minimum of a function f X l Three factors Variable must be independent is continuous Expression 1 2 12 T n n x x Xx xx x K M vector Design space Choose The variables are chosen as a few as possible Objective function minimize fun minf X single objective