李云龙 数形结合 (1).doc

1目 录摘 要 . 1引 言 . 21 数形结合的思想. 31.1 数形结合的思想发展. 31.2 研究数形结合思想的意义及作用. . 32 数形结合思想的模型. . 3 2.1 集合模型. . 32.2 函数模型 . . 3 2.3 不等式问题 . . 32.4 最值问题 . . 32.5 空间几何. . 33 数形结合的解题运用. . . 4 3.1 集合模型. . 43.2 函数模型 . . 53.3 不等式问题 . . 83.4 最值问题 . . 103.5 空间几何. . 124 数形结合的解题的优越性. 13 4.1简洁性 . 13 4.2奇异性. 13 4.3突破性. . 14 5总结. 156成果声名. 167 致谢. 178参考文献. 18I数 形 结 合李云龙摘要：数形结合是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题,它包含以形助数和以数解形两个方面.利用它可使复杂问题简单化,抽象问题具体化,它兼有数的严谨与形的直观之长,是优化解题过程的重要途径之一,是一种基本的数学方法；同时也是培养和发展学生的空间观念和数感,进行形象思维与抽象思维的交叉运用,使多种思维互相促进,和谐发展的主要形式。数形结合通过“以形助数”、“以数赋形”使某些抽象的数学问题直观化、生动化，变抽象思维为形象思维。关键词：数形结合思想 数学方法 意识培养The number shapecombination Li YunlongAbstract： Number form combination is through the correspondence between the number and shape and transformation to solve mathematical problems, it contains in order to help the number and the equations form two aspects. The use of it can make the complex problems simple, abstract problem specific, it and have the strict and intuitive, is one of the important way to optimize the problem solving process, is a kind of basic mathematical methods; Also cultivate and develop the students space conception and feeling, cross use of image thinking and abstract thinking, promote each other make a variety of thinking, the main form of harmonious development. Number form combination through to help, number informs makes some abstract mathematical problems intuitive, vivid, change the abstract thinking is the thinking in image. Keywords: number shape union thinking mathematics consciousness awareness training引 言 在数学思想中，有一类思想是体现基础数学中的具有奠定性和总结性的思维成果，这些思想可以成为数学基本思想。在中学阶段，我们学习不同的基本数学思想，大致可以分为：分类讨论思想，数形结合思想，变换与转换思想、整体思想、函数和方程的思想、抽样统计思想、极限思想等等。中学教学中处处渗透着基本数学思想，如果能使它落实到学生学习和运用数学的思维活动上，它就能在发展学生的数学能力方面发挥出一种方法论的功能。在这些数学思想方法中数形结合思想是一种很重要的方法，它贯穿于的整个中学数学教学课程。 数学结合思想在整个中学数学有着重要的作用。其思维模式具有较强逻辑性和感官性。利用数形结合思想方法解题,能够充分调动了学生的直觉思维和逻辑思维3。学生审题,要根据题目中的已知条件对问题的大致方向,所牵涉的知识要点,相关知识结构,利用直觉思维进行最直接的判断,即判断是否可以利用数形结合思想解题。简而言之,直觉思维是能否利用数形结合思想解题的最初判断。而我国的数学教育一直侧重于学生逻辑思维能力的培养,强调的是对数学概念的明晰度,逻辑推理的严密度,而对学生直觉思维的培养甚少。因而,直觉思维对于数形结合思想的运用在一定程度上存在影响。直觉思维越活跃往往可以将数形结合思想掌握的更牢固运用的更灵活。数与形的结合，不仅为我们解题带来空间和结构的想象，同时也在磨练自己的思维。1 数形结合的思想概念1.1数形结合的思想发展在数学早期，在度量长度、面积以及体积时，人类就已经做到数和形的结合.在我国宋元时期，人们能简浅地引进了几何问题转化为代数问题的方法，通过代数的形式来说明部分几何的特性，把图与图之间的一些几何关系转化为代数式之间的代数关系.这是数形结合思想早期的形成。而“数形结合”一词最初由数学家华罗庚提出来.他把数形结合的应用的角度分为两大类：第一 种是“以数解形”，第二种是“以形助数”.前者是对部分比较简单且不太容易得到规律的图形赋值，如给边长赋值等.后者“以形助数”是指通过生动直观的图形来系统的描述困难抽象数学问题，并能提高解题速度，绕过生硬的逻辑推理或者复杂繁琐的计算。1.2研究数形结合思想的意义及作用在中学教育中却出现了这样一种不和谐的现象，许多同学觉得数学是一门枯燥乏味、晦涩难懂的课程。他们对数学学习的兴趣逐渐淡漠，甚至开始厌恶数学。反思这种现象的成因，数学教学与生活脱节是一个重要因素，同时我们在教育或学习中对数学的内涵，对数学内在的魅力的理解和体会不够。而数形结合思想的运用，可以弥补这些空洞，促进学生学习数学的兴趣和爱好,也有助于加强学习数学的记忆，从而提高数学成绩。2 数形结合思想的模型在近年高考数学试卷中，数形结合思想的运用越来越受到关注，每年的题目和内容各有特点，但数形结合思想总是少不了，而且占到很大的比值。对此，我将以下列几种常见的模型来解答数形结合的思想：（1）集合模型：如数轴、文氏图等来解决集合的交、并、补等运算，从而使问题简单化，轻松解决集合问题，达到“以形助数”的效果；（2）函数模型：常见的有一次函数（）二次函数（）曲线函数（）； （3）不等式问题；（4）最值问题；（5）空间几何问题。3 数形结合思想的解题应用3.1集合的解题应用从初中学习数轴开始，我们就建立起了有理数与数轴上点的对应关系。在高中，集合走进了我们的生活，补充我们对数学的认识，开启了从简单的几何、代数运算到复杂的逻辑结构2。集合的利用与拓展，是数学从狭义思想到广义的境界。集合是每年高考的必考点，在生活中运用广泛。例1 （文氏图） 设是两个非空集合，定义M与N的差集为：= x |xM，且xN，则等于( ). A B C D分析 这是一道信息迁移题，属于应用性开放问题，“”是学生们在课本中不曾学过 的一种集合运算关系，根据它的元素的属性，可以用Venn图解。 （1）当时，由图知，为图中的阴影部分，则和显 然是； （2）当时，此时有 图1例2 已知全集,则( ) (A) (B) (C) (D) 解 根据题意，易得，画出韦恩图 (如图2)，显然 故选(C)。 点评：通过这两道题，我们发现数形结合的直观性是一目乐然，数与形的结合，在读懂 题意后构造出简单的几何图形。以“形”助“数”是解决集合快捷有效的方法。3.2 函数模型 函数是一个复杂多变的思想和逻辑，但总的来说，在对应的自变量内，都能找到与之对应的应变量，这时函数最简单的模型，比如一次函数和二次函数的复合运用。又如曲线方程与直线或者其他的组合，这些构造了函数的多变性和复杂性。例3 当时，关于的方程的解的个数是多少？图3 函数图像分析 本题原方程中包含有绝对值运算符号，我们直接求解比较困难，所以，我们能想到求方程解的个数等价于就其相对应函数图形的交点。解 由于，则令和如图3所示，我们把函数和 的图像画出来，其交点个数就是我们方程所以求得的解的个数.即原方程解的个数是三个。例4关于的方程的两根都在1和3之间，求的取值范围.分析：令，其函数图像与x轴的横坐标就是方程的解由的函数图像可知，要使两根都在1和3之间，只须：，同时成立，由此即可解得或。其中，表示时的函数值。解：令，由题意及二次函数的图像可知：即 解得或 图 4 点评：一元二次方程，一元二次不等式均与二次函数有密切的关系，有关二次方程、 二 次不等式中较繁难的问题运用二次函数的图像来解决常常会起到意想不到的效果。例5 定长为3的线段AB的两个端点在y=x2上移动，AB中点为M，求点M到x轴的最短距离。分析 （1）可直接利用抛物线设点，如设A(x1,x12)，B(x2，X22)，又设AB中点为M(x0y0) 用弦长公式及中点公式得出y0关于x0的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。 （2）M到x轴的距离是一种“点线距离”，可先考虑M到准线的距离，想到用定义法。 （解法一）设A(x1，x12)，B(x2，x22)，AB中点M(x0，y0)，则 图 5 由得， (x1-x2)21+(x1+x2)2=9 即(x1+x2)2-4x1x21+(x1+x2)2=9 由、得2x1x2=(2x0)2-2y0=4x02-2y0代入得(2x0)2-(8x02-4y0)1+(2x0)2=9， 当4x02+1=3 即 时，此时.（解法二）如图5， 即， 当AB经过焦点F时取得最小值。M到x轴的最短距离为。点评：解法一是列出方程组，利用整体“消元”思想消去x1，x2，从而形成y0关于x0的函数，这是一种“设而不求”的方法。而解法二利用了抛物线的定义，巧妙地将中点M到x轴的距离转化为它到准线的距离，再利用梯形的中位线，转化为A、B到准线的距离和，结合定义与三角形中两边之和大于第三边（当三角形“压扁”时，两边之和等于第三边）的属性，简捷地求解出结果的，但此解法中有缺点，即没有验证AB是否能经过焦点F，而且点M的坐标也不能直接得出。3.3 不等式问题不等式在中学数学有着重要地位，而不等式的证明又是个难题，它的题型广泛、灵活.下面我将从运用代数式的几何意义或借助函数的图像构造几何图形入手，利用数形结合的思想来巧妙地求解不等式问题。例5已知都是正数，且，求证：.分析：要从不等式的结构上观察，可以联想到三角形相似比的问题，因此 可以构造图形来进行证明。证明：如右图6所示，构造一个直角三角形 ，在边上取一点，并且使得， 过点作，垂足为 令 .由于 即 图 6 利用简单的几何图形求解不等式基本方法之一，但是遇到复杂的不等式，我们怎么做，是直接推到还是利用图形，那么看下面的例子。 例6 已知实数，证明下述不等式的成立 分析 我们可以先把不等式变形，再根据变形后不等式，联想到三角形的重心，这道题将通过引入函数图形进行数形结合对其进行证明。证明 原不等式等价为设二次函数，则可将看作曲线上的三个点，则原式的左边是三点纵坐标平均值，右边是横坐标平均值的平方，这样为由这三个点构成的三角形的重心坐标为.图 7曲线的图形如图7所示，画出函数的图形，A、B、C三点在函数上，分别表示点 。此时G是的重心，轴于p且与曲线交于点M，则有点G和M的坐标为、如图11所示，显然有，则有不等式成立，即可证得原不等式成立.点评：通过平时的练习和积累能较快掌握，这类不等式的证明题,恰当的应用数形结合思想，构造几何图形来解决是这类题目的难点,同时构造适当的函数，利用函数图像性质证明不等式也是捷径之路。3.4 最值问题求函数的最值的类型题有很多种4，例如：给出函数，根据其定义域求最值。这种题型与求函数的值域是相类似的，另一种类型的求最值的题型则是给出所满足的方程，再求另一个关于的函数式的最值，我们常用数形结合来解这类问题，正确地画出图像，必要时还要配合一定的计算。例7 求函数的最大值和最小值。 分析 对于这种特殊的函数，应注意观察，利用其特殊的性质，把函数看作是定点（3，2）与单位圆上的点P连线的斜率。解 这可以看作是定点A（3，2）与单位圆上的点P连线的斜率。因此，y的最值就是当直线AP与单位圆相切时的斜率。（如图8）单位圆x2+y2=1中斜率为k的切线方程为 由于该切线过点A（3，2），故 以上是利用“数形结合”的方法来求最值的， 图8 让我们对比一下用纯代数的方法看看它们有什么区别。原式可化为： 3y+=2+ |1 8y2 12y+30 例8 求函数 的最小值。分析 首先看题目，遇到这样的题目是比较复杂且难算，特别是式子中带有根号的。用 方程思想解题更怕很难。所以，我们的换个思想与方法。把题目中的式子进行转化，变 为已知的，利用图形进行求解，所以本体的解题过程如下。解 y表示x轴上点P(x,0)到A(1,1),B(3,2)两点的距离之和， 求出A关于X轴的对称点A（1，-1）。 又两点之间直线段最短 的最小值为 图93.5 空间几何 空间几何是高中教学的难点之一，也是高考的考点，每年的考题层次不穷，很多考生在做题时，易错、没有读懂题意，混淆图形是经常的，数形结合，把图形拆解，是捷径之一6。例9 如图，四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD,E为BD的中点。G为PD的中点，连接CE并延长交AD于F。求证：AD平面CFG解 满足直角三角形的内接圆的性质，如图11,有 OA=OB=OC所以这本题中有） 图 10 图 11点评：空间几何图形是“数”与“形”结合的完美表现，其综合性与逻辑性强。通过题目 和图形，是在最短的时间内解决为题的有效方法。4 数形结合思想在解题中的优越性 数形结合是数学中一种重要思想方法，也是高考要考查的重点思想方法之一， 数形结合以解题的直观、形象、简洁著称，下面从几方面说说其在中学数学解题中的优越性10。4.1 简洁性 例10 若方程有实数根，求实数的取值范围。分析 此题是一个含参数的对数方程，若按方程思想来加以解决，那必须要注意函数的定义域，而后利用一元二次方程更的分布思想来加以解决，需要进行分布讨论，过程比较复杂，若改变思路、方法，利用函数图像。那么问题可以简单的加以解决。解 由原方程可得：即，那么。令 ，在同一坐标系中做出函数图像，如图，实数的意义就 是直线在轴上的距离，由图可知;当时两曲线有交点，又因代入原方程，得所以实数取值范围是 图124.2奇异性例11 如已知等差数列中，前项和为，若，求的值。分析 这是数列中一个典型问题，可以利用数列的不同方法来加以解决，此处能充分理 解数列的函数属性7，利用函数图像来加以解决，那问题就一目了然，具有画龙点睛的效率，充分体现了数学中的奇异性，在数列的学习中我们知道等差数列前项和是关于的二次函数，且常数项为0，因为，所以和关于对称轴对称，如如图，从图像上，我们可以看出，所以。图134.3 突破性例12 如是判断方程的解的个数分析 这是我们经常能见到的一种题目类型，要解出方程式不可能的，但题目只要求我们判断房产的个数我们若能突破传统2的解题思想，转而利用图形的观点来处理，那么这类问题的解决会变得轻而易举，方程 的解的个数，实质上是和的图像交点的个数，分别画出的图像，如图易得两曲线得焦点有两个，所以本题的解为2。图14 总结 数学这门学科主要研究现实世界的数量关系以及空间形式，而数和形是相互联系、相互转化的。而中学数学是一门承上启下的学科.数形结合思想始终贯穿整个中学教学，在集合、函数、不等式、最值问题、空间集合中运用广泛。只有通过不断的练习，才能熟练掌握其思想精髓。我国大数学家曾说过“数学是很好玩的”，若果我们不去练，不去玩，我们会失去对数学的学习兴趣。而数形结合为我们打开了学习数学的技巧，利用其思想会大力提高中学生的学习兴趣。在上面的例子中通过数形结合在求解集合、函数、不等式、最值问题、空间几何中有着重要的作用，但是在求解过程中，我们要注意：第一我们要理解集合、函数、不等式、最值问题、空间几何等问题的题目意思，把数学语言转换为图形求解；第二是对于不同问题要合理构造图形或者函数求解，这是题目的难点；第三是对于最值问题，我们应该根据题目利用适当的图形辅助求解。特别是数形结合思想的优越性，熟练掌握它，在做选择题时，能为我