高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.2 立体几何中的向量方法 第3课时 空间向量与空间角课件 新人教A版选修21.ppt

第3课时空间向量与空间角 第三章 3 2立体几何中的向量方法 1 理解直线与平面所成角的概念 2 能够利用向量方法解决线线 线面 面面的夹角问题 3 掌握用空间向量解决立体几何问题的基本步骤 学习目标 栏目索引 知识梳理自主学习 题型探究重点突破 当堂检测自查自纠 知识梳理自主学习 知识点一两条异面直线所成的角设两条异面直线a b所成的角为 它们的方向向量分别为a b 则cos 范围 答案 知识点二直线和平面所成的角设直线和平面所成的角为 且直线的方向向量为a 平面的法向量为b 则sin 范围 返回 答案 题型探究重点突破 题型一两条异面直线所成角的向量求法例1如图 在直三棱柱a1b1c1 abc中 ab ac ab ac 2 a1a 4 点d是bc的中点 求异面直线a1b与c1d所成角的余弦值 解析答案 反思与感悟 解以a为坐标原点 分别以ab ac aa1为x y z轴建立如图所示的空间直角坐标系axyz 反思与感悟 建立空间直角坐标系要充分利用题目中的垂直关系 利用向量法求两异面直线所成角的计算思路简便 要注意角的范围 反思与感悟 跟踪训练1如图 在长方体abcd a1b1c1d1中 ad aa1 1 ab 2 点e是棱ab上的动点 若异面直线ad1与ec所成角为60 试确定此时动点e的位置 解析答案 解以da所在直线为x轴 以dc所在直线为y轴 以dd1所在直线为z轴 建立空间直角坐标系 如图所示 设e 1 t 0 0 t 2 所以t 1 所以点e的位置是ab的中点 解析答案 反思与感悟 解析答案 反思与感悟 设平面amc1的法向量为n x y z 解析答案 反思与感悟 设bc1与平面amc1所成的角为 反思与感悟 借助于向量求线面角关键在于确定直线的方向向量和平面的法向量 一定要注意向量夹角与线面角的区别和联系 反思与感悟 跟踪训练2如图 正方形amde的边长为2 b c分别为am md的中点 在五棱锥p abcde中 f为棱pe的中点 平面abf与棱pd pc分别交于点g h 解析答案 1 求证 ab fg 证明在正方形amde中 因为b是am的中点 所以ab de 又因为ab 平面pde de 平面pde 所以ab 平面pde 因为ab 平面abf 且平面abf 平面pde fg 所以ab fg 2 若pa 底面abcde 且pa ae 求直线bc与平面abf所成角的大小 并求线段ph的长 解析答案 解因为pa 底面abcde 所以pa ab pa ae 如图 建立空间直角坐标系axyz 则a 0 0 0 b 1 0 0 c 2 1 0 设平面abf的一个法向量为n x y z 则 解析答案 令z 1 则y 1 所以n 0 1 1 设直线bc与平面abf所成角为 设点h的坐标为 u v w 解析答案 即 u v w 2 2 1 2 所以u 2 v w 2 2 因为n是平面abf的一个法向量 即 0 1 1 2 2 2 0 题型三二面角的向量求法例3如图 四棱柱abcd a1b1c1d1的所有棱长都相等 ac bd o a1c1 b1d1 o1 四边形acc1a1和四边形bdd1b1均为矩形 1 证明 o1o 底面abcd 解析答案 证明因为四边形acc1a1为矩形 所以cc1 ac 同理dd1 bd 因为cc1 dd1 所以cc1 bd 而ac bd o 且ac 底面abcd bd 底面abcd 因此cc1 底面abcd 由题意知 o1o c1c 故o1o 底面abcd 2 若 cba 60 求二面角c1 ob1 d的余弦值 解析答案 反思与感悟 解因为四棱柱abcd a1b1c1d1的所有棱长都相等 所以四边形abcd是菱形 因此ac bd 又o1o 底面abcd 从而ob oc oo1两两垂直 如图 以o为坐标原点 ob oc oo1所在直线分别为x轴 y轴 z轴 建立空间直角坐标系oxyz 不妨设ab 2 易知 n1 0 1 0 是平面bdd1b1的一个法向量 设n2 x y z 是平面ob1c1的一个法向量 解析答案 反思与感悟 设二面角c1 ob1 d的大小为 反思与感悟 反思与感悟 解析答案 跟踪训练3如图所示 正三棱柱abc a1b1c1的所有棱长都为2 d为cc1的中点 求二面角a a1d b的余弦值 返回 解如图所示 取bc中点o 连接ao 因为 abc是正三角形 所以ao bc 因为在正三棱柱abc a1b1c1中 平面abc 平面bcc1b1 所以ao 平面bcc1b1 解析答案 解析答案 又bd ba1 b bd 平面a1bd ba1 平面a1bd 所以ab1 平面a1bd 又因为二面角a a1d b为锐角 返回 当堂检测 1 2 3 4 5 a 解析答案 1 2 3 4 5 2 已知两平面的法向量分别为m 0 1 0 n 0 1 1 则两平面所成的二面角的大小为 a 45 b 135 c 45 或135 d 90 二面角的大小为45 或135 c 解析答案 1 2 3 4 5 解析答案 1 2 3 4 5 解析建立如图所示的空间直角坐标系 设bb1 1 则a 0 0 1 即ab1与c1b所成角的大小为90 答案b 1 2 3 4 5 解析答案 4 正方体abcd a1b1c1d1中 bb1与平面acd1所成角的余弦值为 1 2 3 4 5 解析设正方体的棱长为1 建系如图 则d 0 0 0 b 1 1 0 b1 1 1 1 答案d 5 在长方体abcd a1b1c1d1中 已知da dc 4 dd1 3 则异面直线a1b与b1c所成角的余弦值为 1 2 3 4 5 解析答案 解析如图 建立空间直角坐标系 由已知得a1 4 0 0 b