复变函数教学大纲.doc

复变函数（专业基础课）Functions of Complex Variables以下部分标题填写用黑体五号字体，具体填写内容字体为宋体五号）【课程编号】BX26138【课程类别】学科基础课【学分数】1.5【编写日期】2010.3.30【学时数】30=27+3【先修课程】高数【适用专业】电子，自动化和通讯 一、教学目的、任务复变函数和积分变换是电子专业本科的专业基础课，是后继专业课程的学习所必需，也是今后学习和研究必不可少的工具。本课程主要讲授复变函数和积分变换的内容，着重让学生掌握最基本的理论知识和计算方法。学习本课程的主要目的是:掌握复变函数导数和积分的定义和性质，掌握泰勒级数和洛朗级数的展开，可以使用留数定理计算定积分，熟练进行傅里叶变化和拉普拉斯变换，并利用傅氏变换和拉氏变换求解微积分方程组。获得本门课程领域内分析和处理一些基本问题的能力。了解复变理论对于以后课程学习的重要作用。二、课程教学的基本要求复变函数论是微积分学在复数域上的推广和发展，通过复变函数论的学习能使学生对微积分学的某些内容加深理解，提高认识。复变函数论在联系和指导中学数学教学方面也有重要的作用，学生通过复变函数论的学习对中学数学的某些知识有比较透彻的理解与认识，从而增加做好中学数学教育工作的能力。三、教学内容和学时分配 6 + 4 + 3 + 4+ 4 + 5 + 4 = 30第一章 复数与复变函数 6学时主要内容：1、 复数的各种表示方法2、 复数的代数运算3、 复数及其代数运算的几何意义4、 扩充复平面5、 平面点集，复变函数的概念及其几何意义6、 初等函数的定义及性质。教学要求：牢固掌握复数的各种表示方法及其运算。了解区域的概念。理解复变函数的概念，了解指数函数、对数函数、幂函数和三角函数的定义及其主要性质。其它教学环节：1习题第二章 导数 4学时主要内容：1、 复变函数的极限、连续和导数的概念2、 解析函数的概念；函数解析的充分必要条件；解析函数与调和函数的关系3、 由解析函数的实部求其虚部和由虚部求其实部的方法4、 初等函数的解析性。教学要求：理解复变函数的导数和复变函数解析的概念，掌握复变函数解析的充分必要条件。了解调和函数与解析函数的关系，掌握从解析函数的实（虚）部求其虚（实）部的方法。 了解初等函数的解析性。其它教学环节：1 习题第三章 积分 3学时主要内容：1、 复变函数积分的定义和计算方法2、 柯西积分定理及其推广3、 柯西公式，解析函数的高阶导数。教学要求：理解复变函数积分的定义，性质，了解求复变函数的积分的计算方法。理解柯西积分定理、柯西积分定理的推广定理。掌握柯西积分公式和高阶导数公式。 其它教学环节：1 习题第四章级数 4 学时主要内容：1、 复数项级数2、 幂级数（阿贝尔（Abel）定理，收敛圆和收敛半径，和函数的解析性，解析函数的泰勒展式，一些初等函数的泰勒展开式）3、 罗朗（Laurent）级数解析函数的罗朗展式。教学要求：理解幂级数：收敛圆和收敛半径，解析函数的泰勒展式相关定理。会求、的麦克劳林（Maclaurin）展开式，并能利用它们将一些简单的解析函数展开为幂级数。理解罗朗（Laurent）定理，会求简单的函数在圆环内展为罗朗级数。其它教学环节：1 习题第五章 留数 4 学时 主要内容：孤立奇点的分类及其类型的判定方法留数的概念和留数定理，孤立奇点处留数的计算方法应用留数计算定积分。教学要求：掌握孤立奇点的分类方法，正确理解留数的概念，会求孤立极点处的留数。 理解留数定理，掌握用留数求围道积分的方法，会用留数求一些简单实积分。其它教学环节：1学时 习题第六章傅里叶（Fourier）变换5 学时主要内容： 傅里叶积分的概念；频谱的概念；傅里叶积分定理傅里叶变换的定义、性质、应用函数函数的概念、性质及其傅里叶变换。教学要求：了解傅里叶积分，频谱的概念，会求一些常见函数的傅里叶变换。正确理解傅里叶变换性质，理解卷积的概念及卷积定理，会用这些性质来求傅里叶变换，解线性微分方程。了解单位脉冲函数（函数）的概念及筛选性质并会用此性质来求一些函数的傅里叶变换。其它教学环节：1学时习题课第七章 拉普拉斯变换 4个学时 主要内容： 拉普拉斯积分的概念及其存在定理；常用函数的拉普拉斯变换；拉普拉斯逆变换概念定理拉普拉斯变换的性质、应用；应用部分分式、卷积性质求拉普拉斯逆变换方法应用拉普拉斯变换求解微分方程和微分方程组方法。教学要求：.理解拉普拉斯变换的概念、知道拉普拉斯变换的存在定理。理解拉普拉斯变换的性质，会用拉普拉斯变换的性质、部分分式法及查表的方法求拉普拉斯变换。会用拉普拉斯变换方法求解线性微分方程及微分方程组。四、教学重点、难点及教学方法重点：复变函数的概念及其几何意义。解析函数的概念；函数解析的充要条件；解析函数与调和函数的关系；初等函数的解析性。柯西积分定理及其推广；柯西公式；解析函数高阶导数公式。解析函数在圆及圆环内展为级数的理论。留数的概念、计算、留数定理。傅里叶变换的概念、性质、应用。拉普拉斯变换的概念；性质；应用。难点：初等函数中的多值函数。函数解析的充要条件的证明。柯西公式；解析函数高阶导数公式的证明。应用留数计算定积分。函数的概念。 五、考核方式及成绩评定方式：考查六、教材及参考书目 推荐教材： 复变函数与积分变换